計算進化史：改變數學的命運

二刷，還是看得很艱難，本想着學過編程的我慢慢啃慢慢磨是可以拿下的，事實證明要讀透它，我還差好幾個計算機系和哲學系的學生……小小篇幅二百多頁，卻是全程高能的硬通貨，非常燒腦，作者寫得簡潔凝練，多數專業名詞都蜻蜓點水，隨便一個句子都可以引申出宏大的數理背景和一座座高聳的邏輯大山，沒有太多的時間去查資料，總體看下來大概脈絡是瞭解了，收穫也挺多，但是那些蜻蜓點水的專業名詞似懂非懂……只怪自己綜合素養還不夠。 “數學”活動最古老可以追溯到公元前2500年，美索不達米亞平原和古埃及的會計師們會做一些基本的加減乘除計算，比如分配糧食，測量土地等，公元前5世紀畢達哥拉斯學派對“無窮”的引入，實現了抽象的數學對象與自然中的實際物體之間的分離，三角形不再是一塊田地的形狀，而是無窮無盡個三角形形狀抽象出來的概念，畢達哥拉斯定理適用於這個三角形，還有千千萬萬個三角形也適用嗎？單靠簡單的測量再計算已經不夠，思維方法的改變勢在必行，要用推理來代替計算，這個轉變，視爲數學史的誕生。書裏用了一章的篇幅解釋了什麼是推理，最典型的例子就是歐幾里得的專著《幾何原本》，這本書一直都被視爲數學方法的原型：先提出公理，然後利用顯式或隱式的演繹規則，由公理證明定理。從此，計算常常被視爲數學知識中最基礎的一部分，做計算也經常被看成是缺乏創造性的枯燥工作，數學家們自己對計算頗有成見，甚至認爲推理纔是解決數學問題的唯一途徑。作者本書《計算進化史》爲計算正名，認爲解決問題需要把推理的步驟和計算的步驟巧妙地融合起來，講述了自20世紀70年代開始，數學方法的基石——證明的概念逐漸發生的演變，讓被人忽視的數學概念“計算”重新回到了舞臺中央（隨着算法的出現和計算機的發展，不少數學家嘗試是否能用算法代替推理，結果均已失敗告終），並展現了計算爲數學研究發展帶來的全新前景。 下面講講我幾個看得懂的也饒有興趣的幾個概念。 謂詞邏輯的發明：要證明某個命題，自然語言有着嚴重的不精確性，比如“所有人都愛着某個人”就會產生歧義，可以是所有人都愛着同一個某人，也可以理解爲所有人都有一個自己愛着的某個人，戈特洛布·弗雷格和查爾斯·桑德斯·皮爾士等數學家，引用了變量、關係謂詞以及“任取”和“存在”等量詞豐富了命題的語法，只要調換量詞的順序，就可以降歧義消除掉，比如“存在某個人x，對於任何一個人y，都有y愛着x”表示所有人都愛着同一個某人，而“任意一個人y，都存在某個人x，y愛着x”則表示任何一個人都有自己愛着的某個人。這樣嚴謹的謂詞邏輯就可以表述演繹規則了（ps:弗雷格的謂詞邏輯反駁了康德的數學判斷都是先天綜合判斷，認爲應當是先天分析判斷）。但是，謂詞邏輯也有缺陷，在這個邏輯中，出現可以證明一個命題以及它的對立面同時成立，比如我們可以構造一個集合R，它包含所有不是自身元素的集合，可以證明，集合R既不是自身的元素，又是自身的元素（通俗版就是有名的“我是說謊者”）。悖論的出現讓謂詞邏輯根基不穩，後來羅素首先在1903年爲弗雷格的邏輯提出了一個修正方案——類型論才修復了謂詞邏輯。 可計算性理論：如果一個問題可以用算法解決，我們就說它是“可判定”或是“可計算”的。比如求兩個數的最大公約數就是可計算性的，那麼有沒有一種算法，能夠判定在謂詞邏輯下的命題是否可以證明成立呢？通俗來講，就是設有一個關於命題的函數，該命題可證明成立則函數值爲1，否則爲0，這樣的函數存在嗎？答案是不存在，丘奇和圖靈用歸謬法證明（通俗講，就是設置一個程序C，指令是當C不停機時C停機，當C停機時C不停機……像不像讓一個人把自己抱起來？）所以，計算和推理完全是兩回事：某些數學問題無法用計算解決，需要推理。細思極恐，如果這樣的算法存在，那麼計算機以後可能會是可怕的存在，人腦太不堪一擊了。 可構造性理論：通過舉出一個例子來完成的存在性證明叫作“構造性”證明，而被舉出的例子則稱爲“例證”。但現實很多問題是無法用構造性證明的，比如一枚硬幣掉進一個看不見的箱子，要嘛它正面向上，要嘛反面向上，但由於箱子是密封的看不見，所以你無法舉出“例證”，到底是正面還是反面，這個時候只能用排中律，一件事和它的對立面不可能同時是錯的，如果正面向上得到數字2，反面向上得到數字4，排中律可以確定得到的數字一定是偶數。有些命題的已知證明必須依賴排中律，結果導致有人承認它們是定理，而其他人則不承認——構造主義危機。構造主義危機的主要意義在於，它讓人們注意到了日常語言中“存在”一詞的不同含義。我們今天可以用“存在”一詞來表示我們能夠構造這個對象，明天就用同樣一個詞來表示對象應當存在，雖然我們不知道如何構造它。構造主義危機算是解決了。 後面第三篇的公理化危機看得囫圇吞棗，有時間有精力再續……

Masterpiece! 把數學放在了更廣的背景之下！試圖尋找“無公理的數學”更是一種新的路徑。丘奇論題（可形式機械規則化）比丘奇定理（機械規則必須停機）給出了更深入的見解，而“物理丘奇論題-唯物主義解釋”的結合已經足以證明“R規則=M物理=H心智”；我用斯賓諾莎的語言轉述一下就是R規則就是實體，M物理就是自然/宇宙，H心智就是思想。當然作者只給出了R-M-H之間的關聯和可能的制約，並沒有得出我這個斯賓諾莎主義者這般強制的結論。推理和計算可以是等價的，因爲兩者都是邏輯的不同體現；而公理是概念的隱性定義；那麼“定義-公理-推理/計算”是需要整體考慮的事情，他們之間的關係必然是非線性的；我們需要從語法（推理/計算）中生長出語義（定義），而公理是我們中途的腳手架，建成之後可以拆除。

當數學跨界遇到哲學、科學，這本書帶你重新認識什麼是“計算”。 這本書從計算的變遷這一獨特視角回顧了數學、邏輯學和哲學的歷史沿革，展現了計算爲數學研究發展帶來的全新前景，展望了這場數學革命在自然科學、信息科學與哲學領域引發的重大變革。本書榮獲年法蘭西學術院哲學大獎，一直是數學、計算機科學和哲學領域的暢銷讀物。

篇幅不長，但理解難度卻非常高的神作。作者對計算的入路是從最早數學的實用計算主義到古希臘的推理體系，然後再到希爾伯特時期的討論進行深入淺出延伸的。其後又對計算機是否可以進行證明提出了探討：四色問題是否是一個證明？並且由此延伸出，現代數學的分析發展必然是後天分析，而計算是否可以取代公理，最終實現自由的計算+演繹的證明模式。這無疑將會爲數學的發展建立一天黃金之路：雖然沒有辦法實現希爾伯特夢想中的完美自洽同時可以完美理解的數學，但依然可以爲數學繞開難以處理的公理邏輯。如果可以實現，那麼計算機註定就可以爲數學帶來一條新的康莊大道。

這本書的信息密度過大，包含的概念非常多，講述公理，邏輯推理和計算三者的關係基礎，涵蓋了不少現代數理邏輯基礎，也就是數學的數學。 我的水平還無法對這本書就行評價，前半部還能看懂一些，後半部主要就是看概念，瞭解一些專業詞彙了，這是講述數學之道的書，如果只想學習數學知識本身，只求術的話，還是建議不要看了。

某種意義上說西方文明體系間組分間也並非完全孤立的，任何單一命題追本溯源都會回到古希臘哲學的基本命題，世界是數的（畢達哥拉斯學派），世界是物質的（泰勒斯），以及世界是邏輯的（亞里士多德）。從物理史角度人們更關心泰勒斯與亞里士多德的交匯（世界的物質性和精神性極其基於的邏輯結構，形而上學），從這本數學史中可以洞察畢達哥拉斯與亞里士多德的交流（證明or計算），畢竟亞里士多德的三段論奠定了邏輯表達的基礎（雖然不夠嚴謹），同時亞里士多德也定義世界問題的了”形而上”和物理學這個名詞。也就不難理解爲什麼20世紀是物理學轉身，形式邏輯哲學興起（丘奇，維根特斯坦，哥德爾），第二次數學危機的發端（羅素悖論，希爾伯特，），以及控制論（維納）的出現、計算機概念（圖靈）的興起，因爲一切都可歸咎於這樣一個命題”是否存在一個物理系統，他可以解釋世界”，19世紀牛頓的答案被否定了（機械系統），哥德爾定理（形式邏輯系統），羅素悖論（集合系統），圖靈機（計算系統），而這一切都又不是完全孤立的。

太棒了，全書如聽仙樂耳暫明，特別是謂詞邏輯命題那塊。 後面最後一章，感覺後勁不足，如果作者有物理學背景，和分析哲學背景，對“消除公理，靠計算規則和演繹規則來證明命題”這個問題，就感覺能給出更好的理解了。 這本書對了解計算機的由來，和符號分析哲學，和數論的發展歷史，都是很有幫助的，思考的歷史，爲什麼要去做那些 ，對動機的歷史記錄，是寶貴的價值。

本來想對計算有所瞭解讀了這本《計算進化史》，和我想象的差異很大。 但是，確實讓我對計算的起源發現有了瞭解。對計算、分析、推理、排中律等有了更深的理解。 我又讀了第二遍，比讀第一遍有了更多的理解。 這本書從數學的起源說起，再說到計算和推理的發展。計算與推薦之間關係的演變以及在數學中的作用。 對進位制的出現，歐幾里得《幾何原本》的出現，都有了新的瞭解。 這本書太難了，不懂的知識太多了，我要再繼續讀其他的書，爭取對這本書有更多的理解。 以及進位制的來源，判斷

其實我是想看圖靈機和數學哲學的關係 這本書還有好一部分是有疑惑的，因爲涉及到很本質的問題，有難度，加上自己知識點的缺乏，不能全部讀透，但已經再很大程度上幫助我去思考什麼是推理，什麼是計算，他們到底有沒有邊界。後續會再讀的

從數學的發展看計算的進化，從計算的進化看數學的發展，令人耳目爲之一新。 往深裏走，數學的基礎定義、公理、演繹和計算可以非常簡潔，以致於是一個像丘奇“β歸約”這麼“弱”的系統。正如圖靈機，看似很弱，其實很強。 丘奇講那麼多，圖靈講那麼少，有點奇怪了。丘奇定理是演繹的方法，在純數學上的意義很大，非常厲害。而圖靈機是計算的方法，除了跟丘奇定理等價外，還爲現代計算機奠定基礎。哪個更厲害？