幾何原本（果麥經典）

《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得約公元前300年寫的，公認"數學史上第一本真正意義上的書"，它的意義得拆成幾層說，不只是"一本講幾何的教材"那麼簡單。 公理化方法的起點 這本書最核心的貢獻不是發現了多少幾何定理（裏面大部分結論前人早就知道了），而是第一次把零散的數學知識收攏進一套"定義—公理—公設—命題—證明"的體系。全書13卷，從23個定義、5條公設、5條公理出發，一步步推出465個命題，覆蓋了平面幾何、比例論、數論、立體幾何。 這套"從少數不證自明的前提，用純邏輯推理出整座知識大廈"的路數，是人類思想史上的一個拐點——它證明了知識可以不靠經驗堆砌，而靠演繹搭建。後來牛頓《自然哲學的數學原理》、斯賓諾莎《倫理學》都照這個架子寫，連"公理體系"這個詞都是從這兒來的。 對科學史的輻射 《幾何原本》在西方的流傳度有點誇張：自古騰堡發明印刷術之後，它是僅次於《聖經》的印刷量第二的書，從公元4世紀到19世紀末近1700年裏，一直是歐洲標準的數學教材。它的推理範式直接喂出了整個近代科學的方法論底色——伽利略、笛卡爾、牛頓這批人少年時都啃過它，演繹邏輯+公設驗證的路數，基本是從這本里浸出來的。 中國這條線：利瑪竇 + 徐光啓 1607年，利瑪竇和徐光啓合譯前六卷，定名"幾何原本"——"幾何"這兩個字作爲術語就是徐光啓這次定的（取"多少"古義），沿用至今。徐光啓當時給的評價是"不必疑、不必揣、不必試，畢然之畫也"，說的是演繹推理那種"前提對了結論必然對"的確定性，他意識到這套東西對中國傳統注經式學問是個補丁。後九卷是1857年李善蘭和偉烈亞力補譯的，中間隔了250年。 非歐幾何出來之後它的位置 19世紀高斯、羅巴切夫斯基、黎曼把"第五公設"換掉搞出非歐幾何，看起來是"推翻"了《幾何原本》，但其實恰恰印證了它的方法論威力——正是因爲它把公設釘得足夠清楚，後人才能精準地"換一條試試"。所以非歐幾何不是否定它，是把它的"公理化方法"推廣到了更寬的地方，後來希爾伯特《幾何基礎》再把歐氏幾何的公理系統徹底形式化，也是沿着它開的頭往下走。 現代教育這條線 國內中學"平面幾何"的推理訓練，骨子裏還是《幾何原本》的架子——初一初二那陣"因爲…所以…"兩步一證的寫法，練的不是算面積算邊長，是"給定前提→嚴格推導→不能跳步"的思維習慣。這種訓練在現行課標裏被砍了一些，但邏輯底色沒變。愛因斯坦說過一句挺到位的話：一個人成年後忘了學校教的具體知識，剩下來的那部分就是教育；而《幾何原本》留給文明的"剩下來的部分"，就是"什麼叫證明"這件事本身。 所以它真正的意義可能不是"講了哪些幾何定理"，而是第一次把"知識可以長成一個嚴密的、可追溯的、不容含糊的體系"這件事做給人看——這一步踏出去，數學、物理、哲學、法學都跟着換了寫法。

小時候看過另一個版本的《幾何原本》，翻譯得並不足夠順暢和精準。近期發現了這個版本，由於對譯者張卜天頗有好感，故決定重讀。粗略翻閱了一遍，確實比之前看的版本翻譯得好，且定義、公理、公設、命題等重要信息均附有英文輔助理解，閱讀起來很方便。因此決定在這裏留下自己對《原本》的看法，也是我認爲這本書現在依舊值得我們閱讀的理由。 曾看到數學家奧瑟曼說：“最重要的是確定感。在一個充滿非理性信仰和無稽臆測的世界裏，《原本》裏的陳述——被絲毫無疑地證明爲真。”這不禁讓我想起自己最初被數學吸引的原因——系統且嚴密，而《原本》正是數學從經驗性的、非系統的推理過渡到一個基於邏輯推理和公理體系的嚴密學科的標誌。它不僅是數學史上的里程碑，也對哲學和科學的發展產生了深遠影響。 數學的典範：公理化體系的奠基 《原本》通過簡單但直觀的公理，構建了一個完整的幾何學體系，每一個定理都可以通過公理和已證明的定理嚴格推導出來。這種公理化的方法不僅確保了幾何學的邏輯自洽性，也爲形式主義提供了基礎結構。 歐幾里得的幾何公理和推理規則展示瞭如何通過符號操作建立一個自洽的數學系統，這種形式化的思維方式預示了現代數學中公理化方法的普遍應用，也爲形式主義數學哲學奠定了基礎。 儘管書中的一些定理不夠清晰準確、一些證明不夠完整嚴謹，但其清晰的邏輯鏈條和形式化的思維方法使得數學成爲一門以嚴密性和確定性爲核心的學科。 由此可知，閱讀本書可以訓練我們的邏輯和系統思維，也可以幫助我們理解數學公理化的核心思想及其在其他數學領域中的應用。 哲學的思辨：從幾何到形而上學 《原本》展示了幾何學作爲一種純粹理性活動的力量。通過對幾何對象的抽象描述，歐幾里得證明了人類理性可以在不依賴經驗的情況下，建構一個完整的知識體系。這一成就對形而上學產生了深遠影響，特別是在康德的哲學體系中，幾何學的先驗性被用來論證人類認知的先天形式，進而影響了對空間、時間等形而上學概念的理解。 康德在《純粹理性批判》中以歐幾里得幾何爲例，提出了幾何學作爲先驗知識的典範。康德認爲，幾何學的公理和定理並非來自經驗，而是源於人類認知的先天結構。通過這種方式，幾何學被看作是揭示人類理性本質的工具，推動了對認識論和形而上學問題的深入探討。 隨着非歐幾何的出現，人們又開始重新審視歐幾里得幾何的基礎性和必然性。羅巴切夫斯基（此處不討論抄襲爭議）和黎曼等人通過挑戰歐幾里得第五公設的普遍性，揭示了多樣的幾何結構和可能性。這一轉變不僅改變了數學的面貌，也對哲學產生了深遠的影響，促使哲學家們不斷反思真理、現實與人類認知之間的關係。 由此可見，閱讀《原本》可以幫助我們更好地理解這些哲學討論的背景和來源。 科學的啓示：從形式邏輯到現代科學 愛因斯坦說：“西方科學的發展是以兩個偉大的成就爲基礎的，那就是希臘哲學家發明的形式邏輯體系，以及通過系統的實驗發現有可能找出因果關係。”這裏的“希臘哲學家發明的形式邏輯體系”，即《原本》中的公理化體系。牛頓的經典力學體系就是在歐幾里得幾何學的公理化框架基礎上構建的，他在《自然哲學的數學原理》中通過系統的幾何化方法描述物理世界、解釋天體運動，展示了幾何學在科學中的應用，使得物理學從哲學和直覺推理走向了嚴格的數學化和系統化。 《原本》的影響不僅限於古典科學，它還在現代物理學的發展中扮演了重要角色。非歐幾何通過對歐氏幾何第五公設的挑戰，擴展了人類對空間性質的理解。愛因斯坦的廣義相對論則利用非歐幾何來描述引力，進一步改變了人類對宇宙結構的認識。科學的進步，尤其是在幾何學的發展過程中，展現了公理體系的不斷擴展，以應對新的觀測和實驗結果。正如科學的認知是在不斷擴展其“公理體系”一樣，《原本》也在不斷地通過新的闡釋和理解，推動着我們對宇宙的更深刻認識。 因此，瞭解《原本》不僅有助於我們理解科學和技術中的幾何應用及其歷史背景，而且有助於我們掌握更復雜的數學和科學問題。 綜上所述，我們不僅可以在《幾何原本》中看到幾何學的力量，還能認識到數學思想如何深刻影響人類對世界的理解，故本書是無論何時都值得閱讀的經典。 以上是我截止目前的一些拙見，如有錯漏不當之處，還望指正。

#自然學科-c數學# 書名“原本”意為“要素”，即構建幾何學的根本原則。該本首創公理化體系，從少數公設/公理出發，以邏輯演繹導出大量定理，奠定了數學證明的範式，是數學史上最偉大著作。

在我看來數學實際是如何利用已有的條件創造和推理出更復雜內容的一門藝術，學數學的年紀尚不諳世事，如今慢慢體會到數學的邏輯就是我們生活在世如何用已有條件創造自己生活的邏輯，每個人都將以已知條件推導出或一目瞭然或精妙複雜的生活的公式。

真心調研，這本書的讀者的年紀、性別、讀此書的原因、完本了麼？ 我： 46歲 男 與兒子共讀 纔讀到第一卷命題十

數學，原來也可以如此性感 記得小時候，如果數學考試沒考好，家長們就會非常鄭重地告訴我們： “數學可是非常重要的，如果數學沒學好，去買菜老闆找錯錢你都不知道，那就虧大了。” 到後來，有人開始反對數學。準確的說是反對高等數學，給出的理由是： 你買菜會用到微積分麼？那些日常的計算問題，我學會了初中的加減乘除就已經足夠了，對於那些不是科學家、工程師的人，可能他一輩子也不會再用到什麼解析幾何、微積分，那我還要浪費時間去學這些東西幹嘛呢？所以，一般人數學只要學到初中就夠了。 這種觀點你一聽很想去反駁，但是仔細一想好像確實也有道理，畢竟買菜真的不需要微積分。 爲什麼我們會覺得上面兩種說法好像都很有道理呢？爲什麼我們潛意識裏會覺得“學好數學以方便買菜”是理所當然的事情呢？因爲我們的數學，自古以來就是奔着實用性去的。 中國古代以農業立國，給每個農民分多少地，這需要去測量計算。造物造船等工程問題，也需要去計算各種物料。可以說，如何更好的計算這些實際問題，就是中國古代數學的核心。 因此，我們古人其實並不說什麼“數學”，而是說“算術”，算術算術，直觀的看，這就是和計算相關的一些技巧和經驗。 中國古代數學以實用性爲導向 對中國古代影響最大的數學書是什麼？答案是《九章算術》，它在中國被當了一千多年的數學教科書。 如果翻一翻這本書就會發現它跟我們現在的數學書風格上是完全不一樣的。它就是一本應用問題集，蒐集了246個與生產、生活實踐相關聯的應用問題。 書的第一章第一段就是這樣寫的：“假如一塊方田廣15步，縱16步，它的面積是多大？答：1畝。” 後面也都是這種問答的形式，在這裏看不到什麼“公理”“定理”這樣熟悉的數學字眼，沒有什麼整數或者直線的定義，也沒有什麼證明和推理，看到的都是跟生活相關的各種實際計算題。 《九章算術》給中國的古代數學定了一個基調，於是我們對數學的理解也就這樣潛移默化地形成了：數學就是用來計算這些實際問題的，它要講究實用性。 所以，這樣我們就能理解開篇提到的那兩種說法了：如果數學學不好，可能連買菜都會算錯錢，因此這個很重要；如果買菜已經不是問題了，那還要學其它的數學知識幹什麼？ 其實，在古代社會重視一門學問的實用性是非常正常的，不光是中國，古埃及、古印度、阿拉伯他們的數學也基本上都是這種實用性的數學。 古代人連溫飽問題都未能解決，再讓他們花人力物力去研究那些沒什麼實用性的學問也不現實。所以，中國、古埃及、古印度他們這樣對待數學都是正常的，真正“不正常”的反而是古希臘人。 古希臘人怎麼“不正常”呢？他們研究數學，就完全不是出於這種實用性，甚至，他們非常鄙視那種爲了實用性而進行的研究。 古希臘數學重視邏輯推理和演繹的過程 柏拉圖開了一個學園，他就在學園門口放一塊牌子，上面寫着：不懂幾何學者不得入內。 如果有人跑去跟柏拉圖說：“老師，我想跟你學習數學，我想更方便地買菜賣菜。” 柏拉圖肯定會直接把他轟走，你可能難以想象：柏拉圖堅決主張“自由民做生意應該被看作是犯罪而必須受到懲罰”。他教數學完全不是爲了讓人們把數學的實用性運用到生活當中。 柏拉圖的學生亞里士多德也說：“在完善的國家裏，公民（相對奴隸而言）不應該從事任何機械行業。” 歐幾里得在講授幾何學的時候，有一個學生起來問他學幾何能得到什麼好處？歐幾里得就叫僕人給了他一塊錢，並譏諷道：“這位先生居然想從學問裏找到好處啊。” 阿基米德是古希臘最偉大的科學家，他的發明創造也有很多，但是他卻不屑於把這些東西寫成書流傳後世，他把所有直接爲了使用和謀利的機械和技巧都看作是鄙賤之事，而一心追求那些美妙的，不夾雜俗世需求的學問。 古希臘的這些事情，站在我們的角度上是非常難以理解的，甚至是讓人震驚的。學數學如果不是爲了計算，那學它幹嘛？ 但是，現代數學，甚至西方文明都是從這裏來的。因此，如果我們不把這些事情搞清楚，我們在學習西方的數學、科學知識的時候，就很容易錯失它的精髓。 如果說西方人對待數學的態度跟我們不一樣，他們不重視數學實用性，那麼他們重視什麼呢？他們重視邏輯和演繹，這種特點在《幾何原本》上就表現得特別清楚。 《幾何原本》是啥？它是西方世界兩千多年的數學教科書，《九章算術》是中國一千多年的數學教科書。 對比這兩本書，立馬就能看出中國和西方對待數學的不同態度。我們上面說了，代表中國數學的《九章算術》是一本實用問題集，那代表西方數學的《幾何原本》是什麼呢？《幾何原本》是一座用邏輯構建起來的大廈。 構成《幾何原本》這座大廈地基的是五條公設： 1、過兩點能且只能作一直線； 2、線段可以無限地延長； 3、以任一點爲圓心，任意長爲半徑，可作一圓； 4、凡是直角都相等； 5、過直線外一點有且只能作一條直線與已知直線平行。 地基就是這五句話。我們知道蓋房子的時候，房子穩不穩最重要的就是要看地基穩不穩，地基打的牢，我們才能繼續往上蓋房子，如果地基不牢，那上面就要地動山搖了。 那我們看看這五句話組成的地基穩不穩呢？大家可以自己想一想，都是非常簡單直觀的五句話，你覺得這五句話都是對的麼？ 絕大部分人應該都覺得這些話是對的，挑不出毛病，因爲它們太直觀了，跟經驗太相符了，除了第5條有那麼一點點看起來不是非常直觀。但只要你承認了前面5條公設，後面的467個命題就等於全部接受。 這就是古希臘人和《幾何原本》留給後世最重要的財富：我們只需要承認幾個最顯而易見的公設，然後我們就可以推導出成百上千的確定無誤的結論，這就是邏輯和演繹的力量。還有什麼方法比這樣更可靠？比這樣追求真理更有效？ 數學，不只是數學 《幾何原本》所代表的，絕不僅僅是數學。 古希臘人要追問世界的本原，要追求永恆的真理，那自然也得依靠邏輯和演繹的力量。所以現在知道柏拉圖這樣一個哲學家爲什麼這麼重視數學了吧？ 他不是用數學來計算買菜要多少錢，而是通過數學，通過幾何來鍛鍊這種邏輯和演繹的能力，這樣在他追求真理，探索世界本原的路上會走得更結實。 笛卡爾是近代西方哲學之父，他的願望就是希望把哲學也建立成類似《幾何原本》這樣的大廈，找到幾個絕對可靠的起點，然後從這裏出發，推出整個哲學體系。 所以笛卡爾就去思考，去尋找跟幾何公設這樣絕對可靠的起點，然後他發現了他認爲絕對可靠的命題“我思故我在”，然後開始從這裏推其它的哲學命題。斯賓諾莎就直接把他的哲學書寫得跟《幾何原本》一樣。 《幾何原本》代表的這種邏輯和演繹是西方文化的一個核心特徵，這跟我們以《九章算術》爲代表的“以實用性爲主”的科學態度是完全不一樣的。 我們在學習現代科學的時候要特別注意這一點，否則，你會錯失現代科學的精髓，也很可能會因此覺得科學很無趣。 畢竟，在支付寶和計算器都大行其道的今天，可能你連買菜都不再需要數學，掃個二維碼就行了。如果還秉着學數學是爲了實用，爲了買菜方便，那恐怕動力就更弱了。 《幾何原本》重要性不僅在於它提出的一系列意義重大的公式、定理，更在於它建立了縝密的邏輯體系，進而演變成了一種藉助數學去理解世界的思想體系。 最後，如果你想好好體會一下這種邏輯和演繹的力量，最簡單的辦法就是親自找一本《幾何原本》來讀一讀，看看它是怎麼從5個公設出發，一步一步準確無誤地推導出那麼多命題的。沒準，它會改變你對科學的認知和態度。

就這書，說是成書於前300年，2000年間被翻譯出版了1000餘次。 九章算術的可考版本還是二百多年的了。那會我們已經進入封建社會，物質可算是極大發展。百度上說歐洲起碼要十世紀才進入嚴格意義上的封建社會。 再一個，利瑪竇搞這翻譯的時候是千六百年，後面直接就跟上曾國藩助力這玩意出版。中間差了一百來年。不知道是啥意思？ 這古希臘人也是神奇，每次都可以卡着點，“恰好也”發明些我們發明的東西。 就連哲學家也是，突然就爆發了。然後突然就被有神論一鍋端了，不給反抗發展科學了。

這是歐幾里得的詩集吧？！ 剛開始看的時候震驚了，沒想到《幾何原本》寫的這麼美，也許是翻譯的功勞，但既然也是雙語的，實在是太棒了！ 開心開心~ 翻開之前還以爲會很枯燥呢，因爲之前在看《藝術中的數學》，有點小失望。 但翻開這本實在是意外收穫，文字太美了！ 菜愛玩的文科生狂喜！！ 嘻嘻嘻~

本書譯者張卜天學養深厚、著譯等身。他翻譯的書多可歸入科學與西方現代性的起源這一範疇，這一次他的致力算是最接近西方科學的源頭了。他採用的底本是希思的英文評註本，但是略去了希思所寫的長篇導言與註釋，這樣就爲中文讀者提供了一個儘量接近原典的樸實可靠讀本。蜚聲學界的商務印書館將此書列入“漢譯名著”系列，以助幾何學精神在中國大地生根。是爲序，是爲慶。 《幾何原本》是人類歷史上最偉大著作之一，歐幾里得集先賢之智，重塑了人們對數學的理解。在這本書之後，公理化成爲數學的基石，數學家延續這一條路發展了深刻而廣博的邏輯世界。在偉大的學者帕斯卡看來，公理化即幾何學精神，其內涵並不只與幾何學有關，而是應融入於人類思想。牛頓《自然哲學的數學原理》等偉大著作的誕生便是幾何學精神的結晶，可見其重要意義。《幾何原本》自誕生以來，從最初的原始版本到手抄本、印刷本，各種語言的譯本不計其數。如今，以希思英文評註版爲底本、更忠於原文的中譯本已經推出， “以助幾何學精神在中國大地生根”。 爲數學之“立綱明體”。由於康熙帝的介入，明末傳入中國的歐幾里得《幾何原本》逐漸爲巴蒂系統的《幾何原本》所取代，後者與歐幾里得《幾何原本》的最大區別，就是忽略或極大簡化了公理體系的作用，而增加了立體求積、繪圖、測量等實用內容。 歐幾里得《幾何原本》的內容並不限於今日意義的“幾何學”，它也包含了古希臘的算術、數論等。全書是一個由定義、假設、命題和推論組成的嚴格的、演繹化的數學證明集合。現代通行的版本結構大致相同，以希思本爲例，共有13卷，包含5條公設、5條公理、131個定義、465個命題（定理）以及若干推論。歐幾里得幾何學系統涵蓋的命題當然遠不止此，以曾在中國流行一時的長澤龜之助《幾何學詞典》爲例，全書就包括2428個命題，他的《續幾何學詞典》則有1638個命題。以今日觀點來看，歐幾里得的偉大並不在於系統整理並嚴格證明了數百個幾何學命題，而是爲推演自己的幾何學體系制定的公理化基石。 一個成功的公理系統應當滿足三個基本條件：一是獨立性（不能多），二是完備性（不能少），三是自洽性（同一系統不能存在互相矛盾的命題）。以這三個條件來看歐幾里得的公設和公理，今人不得不佩服他的深思熟慮和超凡見地。也正是對歐幾里得公設的嚴格審查，導致非歐幾何、數學基礎以及現代公理化運動的誕生。關於公理化方法的意義，誠如希爾伯特所言：“（通過公理化）我們能夠獲得科學思維更深入的洞察力，並且弄清楚我們知識的統一性。特別是，得益於公理化方法，數學似乎被請來在一切學問中起主導作用。” “幾何學精神”（法文Esprit géométrique）的實質就是公理化方法，最早提到這個詞的大概是法國數學家帕斯卡。後來擔任巴黎科學院常任祕書的豐特奈爾（B. B. Fontenelle）不遺餘力地加以鼓吹，他在1699年寫道：“幾何學精神並不是和幾何學緊緊捆在一起的，它也可以脫離幾何學而轉移到別的知識方面去。一部道德的、或者政治的、或者批評的著作，別的條件全都一樣，如果能按照幾何學者的風格來寫，就會寫得好些。”牛頓的《自然哲學的數學原理》、斯賓諾莎的《倫理學》都是按照幾何學風格寫成的書。據說年輕時的林肯經常揣着一本《幾何原本》，他曾宣稱：“如果不懂得什麼是證明，就絕不可能成爲一名好律師。” 明末六卷譯本和清末後九卷譯本，以及據此集成的十五卷中文譯本，在明末和整個清代都有多種不同的刊本，詳情不贅。1990年，陝西科學技術出版社出版了《幾何原本》的當代漢語譯本，譯者是蘭紀正和朱恩寬；此書又於2003年再版，1992年還由臺灣九章出版社發行了繁體字本。1987年，內蒙古人民出版社出版了莫德的五卷蒙古文譯本。2005年，人民日報出版社編譯出版了一個“視圖全本”，書中插入的大量圖像與文本沒有什麼關係，以通俗讀物的形式來包裝最重要的古代數學經典，這一做法似乎不太成功。 徐光啓《幾何原本雜議》稱“此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。有三至三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難。”  本文原爲張卜天譯《幾何原本》（商務印書館，2020年7月）所寫序文。

還沒看，但是我一定不能被確定給我洗腦了。都有東西的確定可能只是在滿足條件下的確定。但不是一定。 因爲在思考真理和變化 認爲道生一… 而且這個世界就是發生了很多變化，很多東西都是“真理”的衍生 但是這個“真理”也許會有條件不是絕對的，思想固化是一件特別可怕的事情