美麗的數學

一口氣讀罷，整本書的閱讀體驗非常流暢痛快。這本書需要讀者至少具備高中水平的數學基礎，並且對數學懷有真誠的興趣，才能更好地進入其中。書中涵蓋了代數、幾何與數學哲學等多個方面，每章一個獨立主題，既有趣味又不失深度，循序漸進，由淺入深。 作者如同一位冷靜的畫家，將數學本身的美從容鋪陳，不摻雜過多個人觀點，留給讀者純粹的欣賞空間。 數學的美究竟是什麼？過去我理解的，是公式的簡潔、答案的確定、數與形之間的和諧統一。這種美常被認爲過於理性，缺少感性世界裏的多樣與隨機。而這本書，徹底刷新了我的認知——數學的美，其實無處不在。藝術中有它的影子，音樂中的節奏、繪畫中的黃金分割，都是數學美的迴響。在社會理論中，數學同樣熠熠生輝，它的確定性反而推導出世界的不確定性，如混沌理論；甚至爲我們照見自由意志的微光，如紐科姆悖論。 數學的確定，並不意味封閉。無數未解之謎，正吸引人類不斷拓寬數學的疆界，進而拓展我們認知世界的邊界。理性因數學而清晰，感性因數學而純粹，世界因數學而愈發多彩。

這本書讀了好幾次都沒讀下去，這次終於讀完了。之前學習數學只是記住公式，但總是不會去學習如何推導公式，公式也就很容易被遺忘，就像記單詞一樣得結合具體的語境去學習才能更加容易的記住。學習計算機越久越發現計算機和數學是根本分不開的，計算機在根本上還是基於數學的。有時候編程的問題用數學的方式去解決才發現數學其實是很美的，從（x2+y2–1）3=x2y3這個方程式就可以看出一二。 和許多問題一樣，在沒有學習二進制之前，理所當然的認爲十進制就是數的整個世界，在上大學學習了二進制之後才發現事實並非如此，計算機上傳遞的都是二進制數據。之所以計算機會用二進制而現實中不用二進制，只是因爲二進制更容易被計算機計算，而十進制更容易被人類理解。 在上大學之前聽到IT(Information Technology)總是會聯想到計算機，但一直沒有深入思考爲什麼這樣。現在學了計算機才發現計算機底層就是信息傳遞而已，它本身沒有改變現實世界的任何東西。當把一臺計算機上的信息傳遞到另外一臺電腦上時，本質上是把信息轉換成二進制數據，然後通過光信號或者電磁波信號傳遞到另外一臺計算機，另外一臺計算機接收到這些信號後再將其解析成二進制，最後才翻譯成人能讀懂的信息。其實它和站在兩個山頭用手電發摩斯密碼是同一個道理，和古代通過驛站和鴿子傳遞信息是同一種方式，只是現在傳遞信息的方式更加快捷，更加方便，即使是相隔萬里的兩個人也能瞬間收到對方的消息，這樣世界也才真正的連成了一個整體，真正的成爲了一個地球🌍村。但是這一切始終改變不了的事實是實物是不能傳遞，《快樂星球》裏面丁凱樂鑽進計算機的情況也不可能實現。至少現在不行，除非人類可以將物體或者人變成數字信號輸入進計算機，然後在另外一臺計算機進行重組，並且在這個過程不改變物體的結構以及人本身的思想。 這次對對稱加密有了更加深刻的認識，之前只是知道對稱加密是生成了兩個密鑰，一個私鑰一個公鑰，公鑰就好像鎖，私鑰就好像鑰匙。公鑰可以隨便的在互聯網上傳遞，但私鑰只能放在本地，否則一旦在互聯網上傳遞就有可能被截獲的風險。讀了這本書才瞭解到對稱加密利用的其實是兩個較大的質數通過結果逆向計算出這個兩個質數是很困難的原理，其中兩個質數的結果就相當於公鑰，而任意一個質數就是私鑰。

本書是一本不錯的數學普及讀物。書中的大部分內容在學校時都學習過，包括：代數的質數、有理數、虛數、無窮大、階乘以及幾何的三角形和圓形等知識，閱讀與理解這些內容都不會有任何障礙，就彷彿又回到了曾經的學校。不過後面的分形、雙曲幾何和混沌等概念還是第一次接觸，顯得有些陌生，同時，也對這些新面孔充滿了好奇。文中所述“分形具有自相似性且具有分數維”，“自相似性”好理解，就是分形後的小圖形與原有的完整圖形極其相似，不同的是尺寸更小些。而對於“分數維”的理解最開始真的有些困難；常規的維度都是整數的：如一維的直線，二維的平面，三維的空間等都是整數維，維度怎麼會是分數？仔細閱讀後，才逐漸意識到分形的維度與一般理解的維度有所不同，分形的維度主要是顯示圖案的不規則程度，但是受到傳統整數維度的影響，因此表現爲平面上的分形維度介於1與2之間；如同歐氏幾何有平面幾何與立體幾何之分一樣，分形也可分爲平面分形與立體分形；立體分形的實例有羅馬花椰菜和人體的肺等，立體分形的維度要更高些，它們都處於2與3之間。分形的圖案看上去既精緻又美麗，堪稱賞心悅目。至於雙曲幾何，雖然只是源於歐氏幾何的平行公設，但它與歐氏幾何的區別還是很多的—歐氏幾何中，形狀相同，面積未必相同；雙曲幾何中，形狀相同，面積一定相同，實際上它們全等。歐氏幾何中矩形的四個角均爲90°，而雙曲幾何中沒有矩形。衆所周知，歐氏幾何中三角形的內角和是180°，但在雙曲幾何中三角形內角和小於180°，極端情況下，如果三角形的三邊長趨於無限，那麼三內角則趨於0°。看起來，由歐氏幾何到雙曲幾何的確是一種實質性的跨越。書中所說的混沌，實際上就是數學中的無序，即在小範圍內無規律，但整體上系統完全可以預測。數學雖然不是科學，但它與科學的聯繫非常密切，數學是科學非常重要的工具與助手，沒有數學的參與，科學也將難以爲繼。作爲一個獨立的存在，數學一直都是自成體系—代數、歐氏幾何、非歐幾何、解析幾何、拓撲學、分形幾何、微積分、微分幾何等等幾十個分支，足以讓人眼花繚亂，有種“亂花漸欲迷人眼”的感覺。好像是一羣智者，儘管年歲不同，相貌各異，卻都是人類智慧的結晶，它們必將協助人類走向更加燦爛的明天。

這是一本深入淺出的數學科普讀物。 作者愛德華·沙伊納曼既是數學家也是教育家，“沙伊納曼定理”的命名者，具備將複雜概念轉化爲通俗故事的能力。 整本書都用通俗易懂的文字，爲讀者呈現出：真實、有趣、美妙的數學世界。

挺好看的。 每個人對各數學項目的態度是不同的。 比如我就比較喜歡概率和混沌數學。

告訴你一些數學課堂之外的知識 「對某些人而言，將數學描述爲“快樂”和“美麗”可能看起來不對勁，但是我們不該將精彩的數學與煩瑣的算術混爲一談，就如同不應該將閱讀偉大的文學作品與學習拼寫時的死記硬背等同視之。」 在中小學的數學課本中，常常會把“數學”和“美麗”掛鉤，甚至有時候聽到丘成桐這種數學大佬的演講也在告訴我們數學是美麗的，但我卻生性愚笨，很難琢磨到其中的“美麗”所在。 看不懂的證明，算不對的式子，理不清的幾何關係，甚至令人頭昏腦脹的多項式，是很多人對數學這項學科頭痛的理由。 字母與數字的一次次有機組合就是一場證明的偉大過程；三言兩句的不妨、我們斷言、同理可得就把我們的長篇大論涵括；很難想象，一堂中文授課的數學課，一節課下來竟然黑板上不需要用到中文；從英文符號用到希臘字母，直到溯源到拉丁文符號，數學的符號化是數學的開始，也是很多人噩夢的開始…… 節目《開獎了》曾邀請丘成桐老先生演講，在演講結束之後的觀衆提問環節有一位小學生向丘成桐提出了一個問題： 「小明和媽媽爸爸各借了500塊錢，現在共有1000元錢，買了一雙鞋花了970元錢，現在還給爸爸媽媽各10元，小明還欠父母各490元，小明自己手裏還有十元，現在加起來一共有990元，怎麼還少了呢？」（這裏也可以自己思考一下，一道語文題，文末給出答案） 丘老的回答是：「我們數學家對加減乘除都不太懂的。」 顯然丘老在這裏的回答帶有一些謙虛的味道，但是這恰恰也告訴我們數學不僅僅是加減乘除——加減乘除那是算數——數學是邏輯的運用與從現實到抽象的學科。 經常會有人問到，小學數學學不好會不會影響初中數學，初中數學學不好會不會影響高中數學等等。 但我想說的是，影響數學學習的首相不是數學的難度，而是對於數學的心態，倘若問一個完整接受了九年制義務教育的人現在會不會加減乘除，我想大概率是會的，即使是忘記了如何運算，但是隻要重新進行訓練，這些都不是問題。 所以不會有多少人說加減乘除是他數學路上的絆腳石，最難的是一個面對數學的勇氣。 但是可憐的是，我們學的數學不是爲了促進對數學的使用和興趣，而是使用偏、怪、難題來“整”學生，甚至在一個講究邏輯的學科中通過把一道題賦予奇怪的數字以致把一道思維題目變成算數題目。 這是悲哀的，不知道這樣一道道的算數數學題打擊了多少學子對數學的熱忱。 不過總算是脫離了這個教育環境，在新的環境中總算是能夠體驗到數學的美與快樂。 數學教育中最應該有的就是知其然，知其所以然，因此我的初中數學老師給出了數學學生的三個階段： 最低的階段是不會做題，自然也不知道其所以然； 第二的階段是會做題，但是公式的來源與推理不知其所以然； 第一階段便是即會做題，又知道公式的推理。 無論是這三個階段中的那一個階段的學生，你若是問一些關於數學的簡單的問題，大多數學生的答不上來的。這些知識對考試來說無用，但是增加對數學的興趣和打造一個求真溯源的意識又是何嘗不是有意義的一件事。 《美麗的數學》這本書帶給了我很多數學課堂之外的知識，從π和e的來源到勾股定理和複數（a+bi形式的數，是對實數域的擴充）的關係，再到神奇的謝爾賓斯基三角形（他的維度不是1也不是2，而是1.5849625……，科赫雪花是它的一種變式），在來到迷人的且讓人迷糊的貝葉斯公式（即便我在疫情期間核酸檢測是陽性的，但是我患病的概率依舊很低，僅有4.7%，原因需要用到貝葉斯公式），還有讓史上最完美的公式e^iπ + 1 = 0。 本書數學小白可以放心食用，不包含高等數學的知識，也沒有長篇大論的數學證明，更多的是利用感性的知識讓讀者體會數學的美麗，同樣這也是數學學習和發展的過程。 數學大廈的建立同樣也不是從感性到理性一步建成的，而是通過對感性認知的不確定，從而轉而從理性的視角進行定義，推理，證明從而確保感性認知的不可否定。 數學是簡潔的，它讓我們簡單且清晰地認識世界。 數學是美麗的，蒙娜麗莎都和它有關（黃金分割率）。 數學是嚴謹的，1+1 = 2都需要給出理由（哥德巴赫猜想）。 數學是有趣的，我不知道1+2等於幾，但是我知道1+2 = 2+1（法國小學生關於李羣的笑話）。 數學是實用的，人工智能，AI聊天要的是數字的大量計算（機器學習）。 答案：借了1000還了20 不就是相當於借了980麼 自己留下十塊錢 剩下970買鞋。（一道無趣的語文題，丘成桐老先生當時對小撒說這個你熟——指的就是語文上的把戲，丘老沒有回答更怎加了一些節目效果） ·end· ​

迴歸本心就去閱讀數學，畢竟數不欺人 十二平均律八度音分成十二個半音音程 雜亂的聲音世界通過數學規則變得規則而美麗 一個數學的博士用簡單而有趣的方式 將生活中的點滴觀察用數學去闡釋 鋪瓷磚，擲篩子，投票選舉，雪花分形 是呀數字和人一樣也會愛慕虛榮 就像百家姓前幾位喜歡露臉 作爲一本科普，此書足夠了 就雙曲幾何第一次遇見其他的還都有印象 仔細去看書裏的證明過程還真能獲取快樂 遇到不開心就問今天你混沌了嘛???

我是一個初一的學生，剛開始看到這本書之後我的心中就用起一道道波瀾，我很喜歡數學，這本書無疑就是一本數學愛好者的指南。他可以引起你的各種思考：二進制可以表示所有數，那麼他也可以做讀心術；當你想畫出一個標準的等邊三角形時，可以用三等分先來解決；你還可以和別人“吹牛”說這世界上的所有數並不是公平的。總之，我明白了，數學是一切的基礎，只要你認真學習，你就能發現數學是有趣的，你能從有趣的數學中看到世界！

作爲一個非數學系學生的讀者，想要找一本能系統的瞭解數學的書太難了。所有非系統的數學書，裏面有大量的無關聯定義術語和公式，這對閱讀來說太難了。數學爲什麼不像物理或者其它理科一樣有一個完整清晰有階層的架構呢？看數學完全是懵逼狀態。

首先，這本書排版很混亂，微信讀書的系統不適合去排這種包含很多數學符號的書籍。 其次，這本書很多東西都沒講，比如虛數時沒講複平面與旋轉縮放，提到對數時沒講對數在大數計算以及開方時的重要意義。 最後，爲了使自己的內容嚴謹，他使用了很多高數上的內容，但爲了使內容簡單，高數的部分有一筆帶過，這使得懂的自懂，不懂的茫然。