這纔是數學（教師篇）

《這纔是數學》是寫給數學老師的，也激發了我的興趣。讀這本書可以開拓視野，引發人們的思考，讓人們知道，數學課是可以這樣上的。學習數學不是爲了考試，不是爲了成績，而是因爲喜歡而研究、探討真實的問題，建構數學思維模式。 書友書多多做了很全面的總結: 1.表揚孩子努力比表揚孩子聰明更好； 2.你能學到這些東西真是太好了； 3.你對這個問題的思考很深入 4.基本知識很重要，很重要，很重要 5.學習不是簡單的記憶，真正的學習是理解不同的想法和觀點是如何有序的連接在一起的。 6.如果想真正理解數學的本質，最好從人類社會與自然界中的數學開始。 7.數學工作的四個步驟： 1）提出問題。 2）根據問題建立數學模型。 3）計算。 4）從數學模型回到問題，看問題是否得到解決。 8.多玩找規律的遊戲 9.重複做題沒有好處，多回顧概念，在不同的語境使用這個概念 10.如果教科書在介紹一個概念時，只介紹最狹隘的那個版本，那麼學生們就無法真正理解這個概念 11.有時候詮釋某個概念的最好方法就是不給任何例子。即使在給出例子的情況下，也要同時給出符合定義與不符合定義的例子，而不是一味地提供完美的例子 12.多舉出相反的例子 13.反思性問題 1）.我們今天學習的主要內容是什麼，或者今天我們在課堂討論了什麼？ 2）.今天是否有問題還沒有弄懂？如果沒有，請出一道類似的題目並解出來。 3）.請描述你或者你的同學今天所犯的一個錯誤或者對某個概念的錯誤理解。你從這個錯誤中學到了什麼？ 4）.你或者你的小組是如何解決今天的問題的？你們的解決方案可行嗎？你從這個解決方案中學到了什麼？ 5）請描述其他人或者其他小組解決今天問題的方案。他們的方案和你們的方案的相同與不同在哪裏？ 6）今天我們學習了哪些新單詞或者術語？你認爲這些新單詞與術語的意義是什麼？請給出一個例子。 7).今天課堂上發生的數學辯論是什麼？你從這個辯論中學到了什麼？ 8).如果今天課堂上學習了兩種東西，這兩種東西的相似與不同之處在哪裏？ 9）.如果你改變____，將會發生什麼？ 10）在這個小節的學習中，你的優勢與弱勢是什麼？你提高弱勢方面的計劃是什麼？ 16.有一種很好的方法可以讓學生以概念性的、聯繫性的觀點來學習數字，這個方法被稱之爲“number talks” 17.先給學生問題讓他們探索思考，然後再介紹必要的數學方法。 18.最好的傳授時間就是在學生充分了解問題之後。 19.學習不只是積累知識，因爲學生在學習過程中會決定他們是誰，他們要成爲什麼樣的人，所以學習也是一個學生形成自我認知的過程。 感謝書友🌸((☀️⥎☀️))🌸

看這本書，其實是想看看在讀完之後會不會改變我對數學的認知。從小到大數學一直沒有好過，我也不認爲自己會學好數學，所以想在這本書上找到一些線索。 雖然沒有找到。 但書裏有一句話讓我印象最深：犯錯纔是真正的學習。 只有錯了，大腦纔會成長 我們從小到大被訓練成什麼樣？錯了就是丟臉，錯了就說明自己不夠聰明，錯了就要趕緊藏起來。但其實呢，錯了纔是大腦在成長的時刻。 作者說："我喜歡學生犯錯。因爲每一次犯錯，你們的大腦都會成長。出錯並不意味着你沒有學習數學的能力，而且它們是任何學習中不可缺少的部分。" 不管是大人還是小孩，也不管在哪個領域，都適用。 要知道的不是犯了什麼錯誤，而是爲什麼會犯這個錯誤 對學生來說不是"哦，這裏我算錯了"，而是"爲什麼我會這麼想？我的思路哪裏拐彎了？"這纔是真正有價值的學習過程。 當學生犯錯時，正確的做法是對他們的思考與邏輯進行點評，而不是直接告訴他們"這樣做是不對的"。學生都看見試卷上的叉叉了，還需要老師再告訴我做錯了嗎？ 認知不平衡，纔是通往智慧的必經之路 新領域學習的開始往往是混亂的。這很不好受，但這纔是真正在學習。 書裏提到，有些人對認知上的模棱兩可有很強的容忍度，這種人從認知不平衡狀態到平衡狀態的轉變非常容易。所以我們要讓學生多經歷一些數學上的模棱兩可。大人更是一樣。 這跟我以前的認知完全相反。我總以爲學習應該是順暢的、清晰的、一步步遞進的。但真實的學習過程其實充滿了混亂、困惑、挫敗。而那些能夠容忍這種混亂的人，反而學得更好。 能在犯錯時不感到尷尬、會嘗試那些看起來很不靠譜的想法、願意挑戰傳統觀點、具有持之以恆的精神——這些纔是真正的學習能力。 不是能力問題，只是還沒找到方法 書裏有句話說得特別好：即使學生將一個問題完全弄錯了，也不要給他們灌輸因爲問題太難他們才弄錯的想法，這樣會讓他們認爲自己的能力是有限的。 不是個人能力有問題，也不是題目太難，只是目前還沒有找到解決問題的方法。 這個區別真的太重要了。 前者讓你相信"我就是不行"，後者讓你相信"我可以找到方法"。一個是固定式思維，一個是成長式思維。 擁抱錯誤，才能真正成長 書裏那個小女孩的故事讓我印象很深。她的轉變不是因爲學了更多數學知識或做了更多練習題，而是因爲學會了擁抱自己犯的任何一個錯誤，並對自己充滿信心。 這纔是成長式思維的核心——引導孩子去培養自己的成長思維模式。 不要代替孩子處理生活中的她本應自己面對的事情。直接幫孩子解決問題，是父母懶，懶得花心思怎麼讓孩子自己處理，父母的懶也助長了孩子的懶。 正確的做法是在遇到適當時機時，父母言傳身教，告訴她如何正確看待、處理這件事情。讓她知道，錯誤不可怕，可怕的是不敢面對錯誤。 - 我們從小就被訓練成要快速得到正確答案，一旦犯錯了就會感到羞恥。但真正的學習不是這樣的。 真正的學習，應該是在錯誤中成長，在混亂中理解，在不斷試錯中找到自己的路徑。（共勉）

作者是數學教學的研究專家。作者梳理數學教學的目標，有四個方面/流程，希望我們能夠： 1. 提出問題 2. 根據問題建立數學模型 3. 計算 4. 用結果應用於問題，看是否解決 但是我們一直在學校裏面的教育，最看重的是第三個，忽略另外三個能力的培養（當然，另外三個的培養也是最難的）。深以爲然。 書中內容裏面2個重要經驗，我覺得不止是對數學，對於絕大多數學科（謹慎點，不用所有），都是適用的。 第一，教學要注意實戰。這就意味着要植根於現實，要問題導向。我一直覺得應用題特別重要，就是首先它容易激發人們的興趣，然後能幫助大腦很快的把握到應用的方向之一。用互聯網產品開發的語言，場景、場景，我們要注意研究場景。 第二，數學要注意可視化，讓抽象結合具象。數形結合，也是我看這麼多書，教孩子從小培養數學能力很重要的一個經驗。所謂數感，就是這麼來的。 作者還給出了怎麼把傳統數學教育，進行優化提高的，6個指引方向（就是怎麼改造我們的數學題）： 1. 改了之後，是不是解題方法和解釋可以多樣化？ 2. 是否轉化成了一種探究式的問題？ 3. 講解之前，是否能提出一個讓學生可以思考的問題？ 4. 是否能將問題可視化？ 5. 問題是否具有“由淺入深”的特點？ 6. 是否要求學生說服別人同意自己的解決方案？（推理和說理，也是數學的一個核心要義） 讓我們把聰明的腦子鼓勵他們，讓她們創新些教學場景，救救孩子們的無聊數學教育吧。

這本書不僅僅是寫給老師的，家長看了也會有很大的啓發，會對數學學習有新的認知。 雖然是針對數學的教學問題和方法，但是我認爲一切學習都是貫通的。數學的學習方法也可以運用到其他方方面面的學習。 以下是我個人的一些閱讀收穫： 1.表揚孩子努力比表揚孩子聰明更好； 2.你能學到這些東西真是太好了； 3.你對這個問題的思考很深入 4.基本知識很重要，很重要，很重要 5.學習不是簡單的記憶，真正的學習是理解不同的想法和觀點是如何有序的連接在一起的。 6.如果想真正理解數學的本質，最好從人類社會與自然界中的數學開始。 7.數學工作的四個步驟： 1）提出問題。2）根據問題建立數學模型。3）計算。4）從數學模型回到問題，看問題是否得到解決。 8.多玩找規律的遊戲 9.重複做題沒有好處，多回顧概念，在不同的語境使用這個概念 10.如果教科書在介紹一個概念時只介紹最狹隘的那個版本，那麼學生們就無法真正理解這個概念 11.有時候詮釋某個概念的最好方法就是不給任何例子。即使在給出例子的情況下，也要同時給出符合定義與不符合定義的例子，而不是一味地提供完美的例子 12.多舉出相反的例子 13.反思性問題 1）.我們今天學習的主要內容是什麼，或者今天我們在課堂討論了什麼？ 2）.今天是否有問題還沒有弄懂？如果沒有，請出一道類似的題目並解出來。 3）.請描述你或者你的同學今天所犯的一個錯誤或者對某個概念的錯誤理解。你從這個錯誤中學到了什麼？ 4）.你或者你的小組是如何解決今天的問題的？你們的解決方案可行嗎？你從這個解決方案中學到了什麼？ 5）.請描述其他人或者其他小組解決今天問題的方案。他們的方案和你們的方案的相同與不同在哪裏？ 6）.今天我們學習了哪些新單詞或者術語？你認爲這些新單詞與術語的意義是什麼？請給出一個例子。 7).今天課堂上發生的數學辯論是什麼？你從這個辯論中學到了什麼？ 8).如果今天課堂上學習了兩種東西，這兩種東西的相似與不同之處在哪裏？ 9）.如果你改變____，將會發生什麼？ 10）.在這個小節的學習中，你的優勢與弱勢是什麼？你提高弱勢方面的計劃是什麼？ 16.有一種很好的方法可以讓學生以概念性的、聯繫性的觀點來學習數字，這個方法被稱之爲“number talks” 17.先給學生問題讓他們探索思考，然後再介紹必要的數學方法。 18.最好的傳授時間就是在學生充分了解問題之後。 19.學習不只是積累知識，因爲學生在學習過程中會決定他們是誰，他們要成爲什麼樣的人，所以學習也是一個學生形成自我認知的過程。

《這纔是數學（教師篇）》【英國】喬.博勒著，這本書是我2022年6月10日放入微信讀書書架，直到最近我爲六年級兒子數學單元測試成績忽上忽下而尋找對策時，找到了這本塵封了一年的書，一翻頓覺很能解決我的困惑，讀後焦慮也消失了。他講述了鼓勵成長型思維或僵固型思維在數學教育中重大意義，指出成長型思維知道來龍去脈數學過程比計算結果正確性更重要，讓所有學生獲得鼓勵，在試錯中獲得成長，極力反對分層教育，主張分組教育，現在合肥市高中採取的就是掐尖教育，就是分層教育，弊端可想而知！就如作者所用數據揭示一樣，那些數學學習成績不好的學生是被打上不是學習數學的材料才形成的，假如給予鼓勵，分組而非分層教育，他們高階數學也會學的很好！

2026.6.26讀完 如何設計低門檻、高天花板的問題，讓所有學生都能參與並深入思考，遠離機械刷題，在一線教學中如何落實？ 課堂實施的關鍵 設計好問題後，這樣引導： · 追問“爲什麼”：學生說出答案後，固定問“你是怎麼知道的？” “你能用另一種方法解釋嗎？” · 把錯誤變成資源：挑出一個典型錯誤，溫和地問全班：“這個想法很有趣，誰能解釋一下他可能怎麼想的？”這比直接說“錯了”更能引發深度思辨。 · 要求學生連麥：“誰聽懂了她的方法，能用你的話再說一遍嗎？” · 延遲給“對錯”：學生提出一個猜想後，不要馬上裁判，而是問其他人：“你們同意嗎？有沒有不同意見？” · 日常對話示範： · “我對你這個思路特別好奇……” · “我們好像卡住了，這太好了，說明大腦正在生長！” · “除了算出答案，還能用什麼方式表達你的想法？” 當你頻繁使用這種問題，學生會逐漸明白：數學不是尋找唯一答案的衝刺，而是一場充滿選擇、路徑和風景的徒步旅行。 博勒教授在書中常分享自己的親身經歷。她在學校裏數學成績不錯，但傳統的“規則記憶式”教學讓她始終覺得與真正的數學隔着一層紗。後來在大學接觸到更多樣化的數學、尤其是需要證明和深度思考的問題時，她才豁然開朗，意識到自己之前接受的是一種喪失靈魂的數學教育。 這種體驗促使她投身數學教育研究，從英國到美國，在斯坦福大學專門研究學生如何學數學、什麼教學方法最有效。她發現，大量學生的數學痛苦，根源都在於錯誤的教學信念，而非能力的缺失。 二、教育的現實痛點：焦慮與“刷題陷阱” 這本書誕生的直接動力，是她在調研中看到的普遍現象，你可能也見過： · 數學焦慮大面積蔓延：許多孩子從小學就開始懼怕數學，認爲自己天生不是這塊料。 · “能力分班”的隱性傷害：早早被分進“慢班”的學生，不僅沒有迎頭趕上，反而因被貼標籤而徹底放棄，成績差距反而被拉大。 · 機械刷題的無效性：學生能解出標準考題，卻不懂背後的意義，換個情境就束手無策。她稱之爲“學了很多公式，卻沒學會數學思維”。 她寫這本書，就是想向教師和家長直接喊話：讓我們痛苦的不是數學，而是我們教數學的方式。 必須從“記憶與重複”轉向“概念理解與創造性探索”。 三、堅實的科研基石：兩大前沿理論 這本書並非僅憑經驗呼籲，而是建立在當時兩大前沿科研之上： 1. 成長型思維 斯坦福同事卡羅爾·德韋克的研究發現，認爲智力可成長的人，比認爲智力固定的人，在面對挑戰時表現好得多。博勒將其直接搬進數學課堂，提出 “數學思維模式” ：不存在天生學不好數學的大腦，大腦的神經連接在犯錯和掙扎時生長得最迅速。 2. 腦科學與可塑性 神經科學顯示，大腦終生都能生長出新的神經連接。她把嚴肅的腦科學，轉化成了課堂上的關鍵一句話：“當你思考困難問題、甚至犯錯時，你的大腦正在生長。”

這是寫給老師的書，家長和學生都值得一看。 一本書都在講老師很重要以及如何重要，之前重點學校之所以是重點的原因，比非重點老師會教。對比十年前我的老師和現在看到的老師，現在的重點更多的是生源質量，學生的家長或學生更會教，老師只是一個工具人。不能不說是個遺憾。那麼這種情況下，更是需要知道如何學習。理論和實踐對於996 007的家長來說有點奢侈，記住兩點：父母以身作則，教是最好的學（費曼學習法）

好書。 尤其建議將此書作爲師範院校教學研究精讀參考書。 這裏涵蓋了教育學，教育心理學，數學啓蒙，數學趣味，數學教學研究。數學人才培養等學科知識。假如我們的大中小學數學教員早點讀過此書，可能會培養出衆多的數學人才。將對我國的科技發展提供強有力保障。 數學這門學科，原先我以爲只有我犯觸，是個天生的數盲，讀了這本書後，是我想錯了。也是我的數學啓蒙老師錯了，更是我們的師範院校的教學研究不夠紮實。感謝斯坦福大學的博勒教授，爲世界數學教學經驗推陳出新。撰寫出生動有趣的數學教學研究作品。感謝朱磊磊翻譯出這沒出色的作品。

一下午匆匆看完，我認爲本優缺點同樣突出的書。缺點是書中有大量篇幅充斥着常見的各種「政治正確」，其中部分宣稱至少在我看來是相當可疑的。但另一方面，瑕不掩瑜，這本書對如何教授數學、什麼是好的數學練習題的討論非常有見地，特別是第五章整理給出的各種資源很有價值。如果你在認真地考慮數學教學的問題，推薦讀一讀。

《這纔是數學》對如何提高學生數學興趣，培養學生的開放性思維提出了很好的範例，對從事數學教學的老師來說有很好的借鑑意義。老師有了這些意識和能力，學生的數學能力纔會得到提高，學生的無限智慧才能得到 鍛鍊。這本書確實對教師很有啓發意義，值得認真閱讀與借鑑。