改變世界的17個方程

2024年第一本極推薦的書，但我也確實不知道會有多少人願意讀。 17個方程，到了牛頓以後基本都是微分方程了，現在微積分在高中屬於選修，但是是大學數學的必修內容，按理說上過大學的都應該能看懂本書。但肯定不是，比如我，最後一個方程我就完全沒理解。 很多人覺得現在的中小學數學搞得太難，看高中課本如看天書。我禁不住要問一句，還要多簡單？回顧高中，我們的數學究竟學了多少？微積分都還要放到大學來學，請問量子力學怎麼放進高中物理？很多人覺得量子力學還是一個新學科，已經100年了，雙螺旋結構發現還不到80年，卻搞得跟很久遠的發現似的。爲什麼量子力學的普及難，因爲不會微積分。我不會覺得現在的數學學得太難，反而會覺得學得太少，我們需要喪心病狂的數理教育。 我讀高中的年代，文理分科，很多人選文科的理由都是數學，物理太難了，歷史政治背一背總能得點分，數學學不會真的只能寫一個字“解”，還不得分。面對這種言論，作爲文科班首輔的我爸總是義憤填膺，選文科不是因爲喜歡文史而是躲避數理，簡直是我們文科的奇恥大辱。結果在我選文理科的時候，我爸慫恿我選了理科，其實我文史挺好的但談不上熱愛，我爸說沒那個對文史枯燥研究的熱愛和博覽羣書的功底，你就去學計算機打打字，隨便也能找個工作餬口。 我一個美國同事給我講過一個在美國解“雞兔同籠”的故事。在中國，老師會教你抬腳法，假設所有的雞都抬起兩條腿。我很訝異，美國老師不抬腳嗎？美國會教小朋友老老實實的假設如果雞=1，雞=2，直到湊對，從效率上，中國老師的方法可效率高多了。但是！有這樣一道題：紅雞蛋三元兩個，白雞蛋兩元三個，10塊錢買了10個蛋，請問有幾個紅雞蛋幾個白雞蛋。一二年級還沒學過分數，請問如何教給孩子呢？中國老師的抬腳法就不管用了，而美國老師呢？依然用假設紅雞蛋=2，紅雞蛋=4，答案總會湊出來。其實這個背後就是計算機編程的算法，雞兔同籠算得慢是受制於孩子的算力，對於計算機而言，抬腳法完全不如假設法的程序簡單。爲了解紅白雞蛋問題，中國老師還得再搞一個竅門，而美國孩子可以繼續用假設法。一個算法可以解決多類型的題目是美國人認爲的高效，而中國人更喜歡case by case具體問題具體分析搞出無數的具體問題，無數的竅門。正如二進制看起來不習慣又很長一串，但算法上遠比十進制簡單。中國人認爲理科變化多端，能學好數學的纔是聰明的，而美國人認爲理工科都是有規律有算法的，聰明人應該去學法學醫費腦子。 科學的世界裏還有很多的簡單到不能再簡單的問題，人類並沒有參透。光合作用是一個簡單得不能再簡單的現象，可你又知道你喫下去的每片葉子都是量子計算機嗎？光子被葉綠素分子捕獲後，需要把能量傳遞到反應中心才能真正進行光合作用，這個能量傳遞是通過一個細胞一個細胞通過傳遞的，按照物理 化學和生物的認識，這一路傳下來能量損耗肯定不小。正如你在城市裏找到一個人，而他出現在城市的任何地方的概率是均等的，最簡單的方法就是遍歷挨個問，只要算力快，總能找到，但這中間的能量損耗是很大的。但人們發現，樹葉裏的光合作幾乎沒有能量損耗，光子能量是100%到達反應中心的，爲什麼能量總能找到最短路徑？就像你不用遍歷整個城市，每次都能直接通過最短路徑找到這個人。經典化學是無法解釋如此高效的過程。2007年，MIT的科學家用量子力學來解釋，用量子詭異的疊加效應，波函數坍縮可以使它遍歷所有路徑。當然，研究還在繼續，就算目前沒定論也不妨礙我們種了幾千年莊稼。 改變世界的從來就不止那些人類文明中如璀璨星辰般存在的天才科學家，還有無數熱愛科學的工匠學者運用科學的芸芸衆生。願我們都能愛科學，愛世界。

藍魚溫故知新——把厚書讀薄，再把薄讀厚 【一句話總結】 這本書用 ​​17 個看似冷冰冰的公式​​，講出了人類如何靠它們丈量大地、點亮電燈、發送火箭、預測金融市場，甚至改變戰爭走向——告訴我們：​​公式背後是人，是故事，是每一次把抽象數學變成現實技術的勇氣​​。 【提取 20%】 1. ​​爲什麼要學方程​​：麥克米倫的“睡不着覺”——重大發現會讓人失眠，因爲世界被重新定義。 2. ​​勾股定理​​：畢達哥拉斯，土地測量→GPS 基礎。 3. ​​對數​​：納皮爾，把乘除變加減，計算革命。 4. ​​微積分​​：牛頓 & 萊布尼茨，萬物皆變的鑰匙。 5. ​​萬有引力​​：牛頓，行星運動→航天軌道計算。 6. ​​虛數​​：i 的誕生，讓電磁學、量子力學得以書寫。 7. ​​歐拉多面體公式​​：V−E+F=2，拓撲學開端。 8. ​​正態分佈​​：高斯，統計學之“鐘形”，質量控制與金融風險的基礎。 9. ​​波動方程​​：d'Alembert，聲、光、電磁波統一描述。 10. ​​傅里葉變換​​：把波分解成譜，音頻、圖像壓縮核心。 11. ​​納維–斯托克斯方程​​：流體力學，飛機、汽車、心血管設計。 12. ​​麥克斯韋方程組​​：電磁統一，廣播、電視、Wi-Fi 的源頭。 13. ​​熱力學第二定律​​：熵增，時間之箭，能源效率極限。 14. ​​狹義相對論​​：E=mc²，質能轉換，核能與粒子物理。 15. ​​薛定諤方程​​：量子力學基本律，激光、半導體、MRI 技術根基。 16. ​​信息論​​：香農，通信效率與數據壓縮上限。 17. ​​混沌理論​​：蝴蝶效應，天氣預報與系統穩定性。 18. ​​布萊克–斯科爾斯方程​​：金融衍生品定價，“邁達斯公式”雙刃劍。 19. ​​方程的多重命運​​：好意開出的方程可能被善用或誤用，核能、金融泡沫皆如此。 20. ​​從“公式”到“改變世界”​​：需要天才的洞察、高效的算法、敢於實踐的人與資源。 【提取模型】 ​​WHY​​爲什麼學方程每讀一章問自己：沒有它世界會怎樣？ ​​WHAT​​17 個核心方程製作閃卡：符號-含義-應用 ​​HOW​​從發現者→歷史事件→現代技術畫時間軸，連三點成線 ​​MIND​​正負效應、哲學思考寫 150 字“如果我是方程”日記 ​​PLAY​​遊戲化複習三人一組“猜方程-猜應用” ​​工具包​​： • 0 條方程版（霍金）對比閱讀，感受“方程恐懼”與“通俗表達”差異。 • 任選一章查維基條目，把專業英文術語翻譯成日常語言。 【術語解釋】 • ​​勾股定理​​：直角三角形三邊關係 a²+b²=c²。 • ​​對數​​：指數的逆運算，用來壓縮大數範圍。 • ​​微積分​​：研究變化率（導數）與累積量（積分）。 • ​​萬有引力​​：牛頓定律描述任何兩物體間的吸引力。 • ​​虛數 i​​：滿足 i²=-1 的數，擴展實數系。 • ​​歐拉多面體公式​​：頂點−邊+面=2，判斷多面體類型。 • ​​正態分佈​​：鐘形曲線，多數自然現象近似服從。 • ​​波動方程​​：描述波的傳播，如弦振動、光波。 • ​​傅里葉變換​​：把時間信號拆成頻率譜。 • ​​納維–斯托克斯方程​​：描述黏性流體運動。 • ​​麥克斯韋方程組​​：四條方程統一電、磁與光。 • ​​熱力學第二定律​​：熵永不減少，指明過程方向。 • ​​狹義相對論​​：時空與質能關係 E=mc²。 • ​​薛定諤方程​​：量子態隨時間演化的基本方程。 • ​​信息論​​：香農熵衡量信息不確定性。 • ​​混沌理論​​：對初始條件極端敏感的非線性系統。 • ​​布萊克–斯科爾斯方程​​：期權定價模型。 【段位圖】 ​​青銅​​：識別10 分鐘瀏覽目錄，說出 5 個熟悉的方程 ​​白銀​​：概念用日常語言解釋它們的“作用” ​​黃金​​：關聯任選兩方程，寫 200 字說明如何相互補充 ​​鉑金​​：應用選一方程做 30 分鐘深度，找到現實案例 ​​鑽石​​：批判列出模型假設與侷限，寫 300 字評論 ​​王者​​：創新在原方程基礎上提出“如果改一個符號”新問題，畫思維導圖 【拓展閱讀】 • ​​入門級​​ • 《萬物解釋者》（威爾·吉辛）——用漫畫講物理定律的來龍去脈，適合把公式與圖像對應。 • 《看得見的宇宙》（詹姆斯·伊格諾）——從行星運動到相對論，圖解方式降低閱讀門檻。 • ​​中級​​ • 《複雜》（梅拉妮·米歇爾）——介紹混沌與複雜系統，與本書第16章互爲補充。 • 《量子簡史》（羅森伯格）——把薛定諤方程放到更完整的量子力學脈絡中。 • ​​高級​​ • 《愛因斯坦場方程》（史蒂夫·喬布）——深入廣義相對論的張量語言，理解第13章的“曲率=能量”。 • 《金融物理學》（柏格)——探討布萊克–斯科爾斯背後的經濟學與風險中性測度。 【風險及注意事項】 1. 僅憑“公式—應用”清單容易陷入表面化，忽視推導過程；建議每掌握 3 個方程就挑 1 個做手算驗證。 2. 涉及核能、金融等高風險主題時，應同步學習倫理與監管背景，避免“技術萬能”錯覺。 3. 混沌與複雜系統具有敏感依賴性，教學中應強調模型並非預測工具，而是理解機制的腳手架。 讀完這本書，再配合段位圖逐級挑戰，你將把 17 個方程由“符號”變 成“夥伴”，真正體會到：​​公式不只寫在紙上，也寫在人類文明的未來裏​​。

物理學出身。裏面的公式，除了經濟學那條、信息論以外，全都學過。 但是，死去的記憶並沒有攻擊我，因爲我幾乎全忘了。想都想不起來。讓我感覺以前並沒有很用心學習自己的專業知識，渾渾噩噩地就過完了大學那幾年。看着這些公式、內容，腦海裏全是對自己沒有努力帶來的懊惱。也徹底擊潰我深入再去熟悉、複習、理解這些公式的決心和初衷。 有時候也在懷疑自己，讀了這麼多書真的有讓自己變得更好嗎？不知道從哪個緯度去評價自己，每一個行爲總能邏輯自洽，但是又能從另一個角度找點茬兒。人，真是個矛盾體。

《改變世界的 17 個方程》這本書裏介紹的大部分數學方程，都是中學時代耳熟能詳的方程，這些看似簡單的數學方程，其實凝聚了從古至今，人類最聰明的那一小羣天才的智慧結晶，從古老的畢達哥拉斯定理到前沿的布萊克 - 斯科爾斯方程，橫跨數學、物理、工程、金融等多個領域。在人類文明的漫漫長路中，方程宛如璀璨星辰，照亮了探索未知的征途，深刻影響着世界的發展軌跡。

選材精當：橫跨數學、物理、工程、金融等領域，從古代畢達哥拉斯定理到現代混沌理論，勾勒人類認知演進脈絡。 敘事生動：爲每個方程“立傳”，講述發現故事與歷史背景，讓抽象符號充滿人情味，避免枯燥羅列。 現實關聯：深挖每個方程對現代技術的具體影響，如對數輔助建築設計、虛數推動數碼成像，讓讀者直觀感知數學的實用價值。 閱讀平衡：雖後程難度攀升，但作者在專業性與通俗性間找到折中，既保留數學本質，又以趣味性降低門檻，適合大衆入門。

《一個等號就是一盞燈》 高爽 “直角三角形中，兩條直角邊長度的平方之和，等於斜邊長度的平方。”這是連小學生都知道的勾股定律，又叫畢達哥拉斯定理。在這個定理中，一個等號放在兩種數量之間，讓它們建立了聯繫。等號，是定理中最重要的一環。人類科學體系中的每一個等號，都曾經是指引人類在黑暗世界中前行的一盞燈。發現一個定理、定律、定則、規律和方程，就意味着在原本看似不相關的兩件事之間找到了相關，就像是在汪洋上分離的小島之間架起了橋樑，就像是在摸索前進的泥濘之路上照亮了下一步。在小學生的作業本上，一排排的等號等待着孩子們的思考，這些等號都是曾經幫助過我們的燭火。在科學論文裏，每一個等號都勇敢地把整個人類文明向前推動了一小步，這些等號是當下正在幫助我們的微光。在《改變世界的17個方程》這本書裏，作者伊恩·斯圖爾特帶着我們回憶了人類歷史上最重要的17個等號。有些等號建立了數量和空間的基本關係，有些等號教會我們用更多的維度看待世界的變化，有些等號指示給我們通往未來生活的路徑。17個等號，就是人類一路走來的17個地標、17座豐碑和17盞燈。我尤其喜歡的兩盞燈是畢達哥拉斯定理和萬有引力定律。畢達哥拉斯定理中的等號連接起來的這個方程本身，是數量關係的精確表達。而這個方程成立的條件，即直角三角形，又是空間位置關係的嚴格表述。你看，一個等號連接起來的不僅僅是兩種數值。畢達哥拉斯定理中的這個等號更是將幾何學與代數學聯繫在一起，降數量關係與空間位置關係聯繫到一起。因爲畢達哥拉斯定理的發現，我們纔可以榮耀地給出數學這門學科的定義：數學是研究空間位置關係和數量關係的科學。即便我們在生活中見到的大部分三角形都不是直角三角形，但是沒關係，任何一個三角形都可以看成是兩個直角三角形拼起來的結果。所以畢達哥拉斯定理結合上三角形的組合，可以解決三角測量的大部分問題。在這些探索的基礎上，笛卡爾才能提出平面直角座標系，整個幾何學和代數學的大廈得意在如此牢固的地基之上越長越高。萬有引力定律將引力聯繫上質量和距離，也僅僅聯繫着質量和距離。這就意味着，除了質量和距離之外，其他任何信息都不會對引力產生影響。如果把太陽替換成同等質量的黑洞，地球的運動狀態不會發生任何改變。用來計算蘋果落地的方程和用來計算哈雷彗星的方程完全一致。我們一點也不在乎這件東西包含着果肉還是冰塊，我們可以用一個方程描述宇宙中一切事物之間的引力，這就是所謂的萬有引力。在萬有引力定律面前，事物的用途、價值和它所經歷的故事不再重要，在宇宙間真正能超越宏觀距離的普遍存在的引力，只和物體本身的質量有關。你看，一個等號不僅聯繫起來幾個物理參數，還像聚光燈一樣幫我們暫時排除掉其餘一切不那麼重要的外物。讀《改變世界的17個方程》這本書，最享受的是跟隨作者對歷史脈絡的梳理，用現代人的眼光看一看這些等號曾經怎樣推動了人類的前行。作爲讀者，我就想攜帶着17件高級裝備的時空穿越者，在歷史中暢行和反思。最後，本書的譯者勞佳精研英語和法語翻譯，以自由譯者身份出版了十多部譯著，經驗老道，值得信賴。勞佳的譯文流暢、精確、優美，給科普書的閱讀體驗增色不少。

這本書既有深度又有廣度，幾乎涉及了科學的各個方面。我已經很久沒有讀到非常好的書了，這一本極力作爲推薦。 我回顧了一下近半個世紀的科學史。這是一個平庸的50年。雖然科學技術不斷的進步，我們也進入了信息時代，但是原生突破完全沒有。這本書上所列的17個方程，最後一個是香濃的信息熵，誕生於上個世紀50年代（書裏的期權定價模型，這個方程我個人認爲不適合作爲科學的一部分，何況這個公式是假設條件，我認爲需要再商榷）。隨着知識的分類日漸繁雜，再想要像過去500年那樣，不斷湧現出新的發現，新的突破確實是非常困難。我很難體會到，在當時那種情景下，人類發現新的方程時，那種激動人心的自豪感。 另外，我有一個疑問：爲什麼在中世紀之後，歐洲就像被外星人點撥過似的？，各個領域全面開花，直到現在。藝術上有達芬奇米開朗基羅，醫學上完成了人類的解剖圖。科學方面數不勝數，數學，物理，化學等等各種發現發明層出不窮，直接導致工業革命。並由此產生了地理大發現，讓整個地球成爲一個村子。 未來的人類會走向何方？在有生之年，是否還能看到這種重大的突破？我期待答案。

這17個方程裏有4個沒有在教科書上專門學習過:歐拉多面體公式、信息論、混沌和金融學，其他學過的閱讀起來體驗會好些，但想量子力學這種依然是無法建立熟悉的物理圖像，而金融學方程也讓人初步瞭解爲何現在金融圈這樣瘋狂。 作者不僅講了方程和它的作用，也把方程的社會影響做了介紹，總體而言，不能把數學模型與現實等同起來，工具是中性的，怎麼用它更重要，不能靠掌握規律來規避倫理:用理想正態分佈來搞歧視，將原子彈歸罪於質能方程，利用金融工具推高虛擬金融產品而擾亂市場卻把罪責歸爲標準模型預測，如此種種，科學技術無法消除人的偏見與無窮慾望。 有一說一，用方程來描述自然規律實在厲害，人類不必通過通靈就能解密自然並能創造新事物，希望人類能在不斷逼近終極規律的同時也能逐漸控制終極慾望，不要“成也方程，敗也方程”。

這本書是一本非常好的科普讀物，它以一種有趣和易於理解的方式介紹了一些重要的數學方程式。作者不僅解釋了這些方程式的含義和應用，還講述了它們的歷史背景和發展過程。這本書適合那些對數學感興趣，但不想深入研究技術細節的讀者。

確實需要一些數學基礎來讀。當然可以粗讀方程解釋，主打感受這些方程發現的偉大之處，比如我。 以前從來沒覺得方程有這麼重要，更多隻是從課本學來應付考試。讀完主打感受：衆人拾柴火焰高。每一個方程的提出背後都是很多個科學家的努力💪。也好奇如作者所說，以算法解釋世界的那一刻到來，該是什麼樣子