古今數學思想(第1冊)

跨學科科普書。介紹了從古巴比倫泥板文字的時代開始，各個歷史時期的主要數學成就，包括數學公式符號，當時解決和麪臨的主要問題，數學方法背後的哲學思想，天文和航海等方面的問題。跨越的學科很多，數學歷史哲學天文物理，連神學都包含進去了。 本書特點是知識量大，而且按歷史時間先後順序進行了完善系統的講解，讀後可以將各學科零散的知識點完整組合成整體。首先缺點是讀起來很艱難，內容多，公式多，閱讀壓力大。 另外，開篇一句話就把整個中華文明從數學史裏踢出去了，中國無貢獻。巴比倫簡陋的泥板文字在數學史上都有位置，阿拉伯和印度也都有些貢獻，璀璨的中華文明，直接就出局了。這種情況的出現，需要深度思考，不能簡單歸因爲歧視和偏見，其中所涉及的意義還在數學之上。 本書所體現出的另一重點是知識的爆發式發展，今天看來很基本的概念，比如0，負數，無理數這些概念都是幾百年前出現的，再之前千萬年的歷史中，人類連0都沒意識到。這也是很發人深省的。

數學是我很喜愛的一門學科。比較慶幸的是從小學五年級開始有比較認真的學習數學，比較遺憾的是沒有認識到數學的決定性作用。高中那會了解到一些理科狀元本科階段選擇讀數學系表示很不理解（在我的認知裏我覺得大學最好的專業是商科）。人與人最大的鴻溝不是情商的差距，不是智商的差距，而是認知的差距。那些真正優秀的人在十七八歲就明白的道理，普通人可能大學畢業，步入社會，進入而立之年才慢慢回過神來。如果再做一次選擇，我會選擇讀理科，在本科階段讀數學系。

瞭解數學思想的前世今生 古今數學思想讀後感（一） 本書是美國著名的數學史學家莫里斯•克萊因的代表作之一，向人們展示了數學從巴比倫和埃及起源至20世紀最初幾個年代的主要創作，揭示了幾千年來數學發展歷史及不同分支背後的統一性。 在第一冊裏，作者開篇講述了美索不達米亞的古巴比倫數學和古埃及數學，這一時期算數、幾何被大量使用於工程、計算、測量等，古巴比倫還對一元二次方程有過探討，但基本上還處於很原始的階段，沒有產生有意義的數學思想。 然後是古希臘數學的產生，着重介紹了古典時期的七大學派，重點給大家梳理了歐幾里得的《幾何原本》一書主要內容和阿波羅尼斯的著作。亞歷山大時期的數學着重講了阿基米德關於面積和體積的研究。正如阿基米德墓碑上刻着“球內切於圓柱”的圖形，以紀念他發現“球的體積和表面積均爲其外切圓柱體積和表面積的三分之二”的著名定理，這一時期幾何迎來了大發展，也是因爲古希臘更注重幾何的原因。 希臘人對數學的貢獻，作者總結爲對理性的追求，它的數學思維與今天並無二異。希臘人讓數學迎來了第一次重大變革，脫離了具體的事物走向了抽象概念，過去人們將數學對應具體事物，希臘人將它作爲理解世界、預測世界的理性工具，他們提出了不用證明即正確的公理，提出了可以推導出正確結果的公設，打牢了現代數學的基礎。 古希臘數學的侷限，沒有認識無理數的重要性，將代數和幾何看作兩個不相關的學科，認爲幾何纔是最重要的學科，且必須是用直線和圓能作出的幾何圖形，正因爲古希臘對完美、理性的過於追求，也導致了他們的數學沒有繼續拓展。 羅馬和阿拉伯時期數學沒有進一步發展，歐洲漫長的中世紀追求宗教，對自然物理世界失去了興趣直到文藝復興。文藝復興時期數學成就，主要是重新認識了希臘數學的思想，並在此基礎上進行拓展，這方面培根和達芬奇做了很大貢獻。隨着大航海時代來臨，人們對於天文學也更加關注，開普勒三大定律不僅僅是天文學，也是數學的巨大進步。此後韋達在丟番圖等先輩基礎上繼續推動完善了數學符號，讓數學迎來了第二次鉅變，脫離了文字桎梏正式擁有了自己的語言，讓數學表達更加簡潔清晰。 笛卡爾開創了座標幾何，完美的將代數與幾何結合，形成了今天的解析幾何，將紛擾了幾千年代數幾何之爭劃上了句號，日後也成爲中國廣大高考生的夢魘。伽利略作爲物理學的先驅，他的對照實驗思想也推進了數學思想的發展，通過實驗推廣到一般，將特殊情況推廣到普遍原理，希臘的演繹法得到了更科學的發展。 此後牛頓和萊布尼茨分別獨立發明了微積分，將數學推到了更高的地步。 讀完本書，感慨頗多，雖然從小數學成績還可以，但對於數學思想的發展卻瞭解不多，今天我們所學習的各種定理公理公式，原來是幾千年來不斷摸索與完善才形成的。 突然想起前幾年中國人民銀行發了一篇論文，說東亞的文科生太多，影響了產業發展，當時被全網批判。其實我們倒是可以從另外方面討論一個問題，東亞的教育的確過於關注辭章之學，關注人與人之間的關係。我們中小學的推薦書單，也多是文學方面的書籍，過於關注人的感受，對於現代科學普及的書籍太少，對我們周遭物理世界的探究的書也比較少，大部分人學習也僅僅是爲了考試。當我讀完費馬大定理，讀完這本數學思想史，讀完量子力學史話，深深被一代代科學家的使命感所感動。我想。這樣的一種精神應該且能夠成爲驅動我們學習的動力吧，特別是在學歷不斷貶值、學歷邊際效用不斷降低的今天，更需要找到一個追求知識、學習知識的動力。

第一次系統性閱讀數學史；希臘先賢與文藝復興，第一次數學危機與幾何代數割裂，若說課本上的數學是知其然而不知其所以然，數學史則展現了數學發展的邏輯脈絡，提供極具啓發性的思維契機。誠如克萊因先生在序章所言： “在一個基本方面，通常的一些數學課程也使人產生一種幻覺。它們給出一個系統的邏輯敘述，使人們有這種印象：數學家們幾乎理所當然地從定理到定理，數學家能克服任何困難，並且這些課程完全經過錘鍊，已成定局。學生被湮沒在成串的定理中，特別是當他正開始學習這些課程的時候。” “歷史卻形成對比。它教導我們，一個科目的發展是由彙集不同方面的成果點滴積累而成的。我們也知道，常常需要幾十年甚至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步。不但這些科目並未錘鍊成無縫的天衣，就是那已經取得的成就，也常常只是一個開始，許多缺陷有待填補，或者真正重要的擴展還有待創造。” “課本中的斟字酌句的敘述，未能表現出創造過程中的鬥爭、挫折，以及在建立一個可觀的結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的道路。學生一旦認識到這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣，並且不會因爲他自己的工作並非完美無缺而感到頹喪。實在說，敘述數學家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進，並且如何零零碎碎地得到他們的成果，應能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣。” 而對於無緣數學研究的我而言，這樣的前仆後繼，亦能提供些許感動與恍然大悟。 彷彿孩童時對數學的懵懂熱忱……很棒的閱讀體驗。

從美索不達米亞的古巴比倫和古埃及開始，數學以算數、幾何的形式被大量使用於工程、計算、測量等，但都還處於很原始的階段，沒有產生有意義的數學思想。 到了古希臘時期，對理性的追求讓數學脫離了具體的事物而走向了抽象的概念，希臘人將其看作理解世界、預測世界的理性工具，尤其是對幾何的研究，在歐幾里得的《幾何原本》和阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》中到頂峯。他們提出了可以推導出正確結果的公設，打牢了現代數學的基礎，也成爲後世數學家和哲學家推崇的典範。也正因爲對理性和完美的追求，他們始終將代數和幾何看作兩個不相關的學科，認爲幾何纔是最重要的學科，且必須是用直線和圓能作出的幾何圖形，也導致了他們的數學沒有繼續拓展。 隨之而來的中世紀追求宗教，對自然物理世界失去了興趣，直到文藝復興，重新認識了希臘數學的思想，並在此基礎上進行拓展，這方面培根和達芬奇做了很大貢獻。隨着大航海時代來臨，人們對於天文學也更加關注，開普勒三大定律不僅僅是天文學，也是數學的巨大進步。此後韋達在丟番圖等先輩的基礎上推動數學表達的符號化，使數學脫離了文字桎梏而迎來了第二次鉅變。 近代數學從笛卡爾開創了座標幾何開始，完美的將代數與幾何結合，形成了今天的解析幾何，將紛擾了幾千年代數幾何之爭劃上了句號。伽利略作爲物理學的先驅，他的對照實驗思想也推進了數學思想的發展，通過實驗推廣到一般，將特殊情況推廣到普遍原理，希臘的演繹法得到了更科學的發展。在費馬、巴羅、沃利斯等人的基礎上，牛頓和萊布尼茨的微積分理論橫空出世，這一前所未有的新思想將數學推到了更高的地步。數學史上輝煌的17世紀，也在微積分的混亂中結束。

2015-09-26 克萊因先生鉅著三本，校圖書館覓其二，卷一今草草閱畢，有懷焉。觀今數學教育，從兒童時始即注重計算，套用公式比國外同齡孩童強了不知多少倍，有各國孩童計算能力作證。然，對數學意義的理解，以及數學和生活的聯繫，老師都知之甚少，無論學生。進入到大學受高等教育，對數學概念理解之要求加深，學生竟失去探索之興致，荒廢前十幾年計算之投人，實乃本末倒置之舉。近來做電路實驗，D君尋思良久未察覺電路錯誤，然示波器未能正常顯示應有波形，遂拔掉導線，回到源頭，重新搭建電路，後乃成。聯繫數學教育亦是如此，及大學階段，學生不能在數理上突破，何也？亦復溯源，觀數學史發展，知前人如何循序漸進，思今人如何得其道而不止於術。想知道未來，不妨瞭解清楚好過去，龐加萊說得也是極好的。繼續閱卷二，完後寫總評。

終於鼓起勇氣讀這本書。讀完了，也不過全套的三分之一，已經超過了我所有受教育的數學知識了。讚歎一下繼續努力讀後面兩冊，只爲開開眼界，讀書不就是爲了這個嗎？哈哈。 我不介意甚至很認同作者完全忽略中國的數學，本書中紮實說明了希臘數學的高度及其幾何傳統的影響，然後對後世數學逐漸從幾何過渡到代數的艱難歷程，也介紹了笛卡爾開創的解析幾何衍生出微積分的激動人心的過程，確實開眼界了，贊！ 吐槽一點，本書翻譯，完全無視常規習慣，給閱讀造成不必要的障礙，太過分。

一個國家數學的發展程度，決定了這個國家科學能達到的做高成就。從古代文明到現代文明，從最基礎的數字、符號的選取，到抽象化和邏輯推理，數學逐漸從哲學中脫胎，孕育出天文學、光學等對人類社會做出了突出貢獻的領域。《古今數學思想》這本書可以作爲一本數學史來看待，從古代數學的誕生到20世紀初中的數學的創造和發展作者可謂達到了一個全面的地步。 數學的產生最早可以追溯到兩河流域，那裏已經有了數字的產生和運算的符號。但不是我們現在使用的阿拉伯數字和數學符號，這些符號使用還要等到文藝復興時期。兩河流域的那些符號是楔形文字，對於我們現代人來說就是“天書”。 希臘文明在文明史上處於首屈一指的地位，在數學史上更是至高無上。對數學進行系統研究的是古希臘學者，最著名的人物包括畢達哥拉斯、柏拉圖、亞里士多德、歐幾里得……他們的成就對整個歐洲在文藝復興時期起到了中流砥柱的作用。古希臘數學的主要成就出現在平面幾何方面，也可以稱爲歐氏幾何。他們把數學用哲學的思維進行思考， 對數學進行嚴格的定義，對定理進行演繹推理，把數學從一個感性認識的層次提高到了理性認識的層次。同時，數學也從具象的、可以和現實世界實現映射的內容成爲了抽象的、內部邏輯閉環的內容。例如，數字1、2、3……我們可以說代表1個蘋果，2個蘋果……；1.1、1.2、1.3……似乎還解釋的過去；那我們再舉例子，-1、-2、-3，、這些數又該如何和現實世界對應？對於負數，我們現代人已經對其免疫，但是往回倒個幾百年，韋達、萊布尼茨這些偉大的數學家仍對負數存在的合理性進行爭論。對於無理數（irrational number）更是不必多說，第一次數學危機的產生就是由它造成的，而這場危機則一直延續到19世紀下半葉。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數（被稱作“戴德金分割” 戴德金分割（Dedekind cut）簡介 - 知乎 (zhihu.com)），才最終解決了這場持續了2000多年的數學危機。 平面幾何之所以用歐幾里得的名字命名，是因爲他開創了公理化的思想，從而讓數學真正進入了一個抽象的世界。從幾個特定選擇的公理出發，通過邏輯的演繹推理，從而證明出定理。邏輯的閉環已經讓數學從現實世界中脫離，數學中的圓和生活中圓並不是同一個東西，數學中的數和生活中的數也不是同一個東西。 隨後的很長一段時間整個歐洲的數學都在幾何的領域發展，因爲古希臘數學家認爲只有幾何纔是最嚴謹的數學，甚至這種思想在文藝復興後延續了很長一段時間。 後來就到了我們常聽的“黑暗的中世紀”，對於不瞭解歐洲歷史的我來說，一直不是很理解爲什麼要把歐洲的中世紀成爲“黑暗的”？本書從數學的角度入手可以說讓我第一次理解了“黑暗”這個詞。歐洲中世紀初期約從400年起到1100年左右爲止，這700年間數學的毫無進展，也沒有人認真做數學工作。作者在書中對這段時期出現的現象做出了這樣的解釋： 「數學水平之所以低，主要原因是對物理世界缺乏興趣。當時在歐洲佔統治地位的基督教規定了它自身的目標、價值和生活方式。主要關心的是精神生活，因而認爲出於好奇心或實用目的而探索自然的工作是浮薄不足道的。」 「羅馬文明是產生不出數學來的，因它太注重實際和馬上可以應用的結果，歐洲中世紀文明不能產生數學成果則出於正相反的原因。它根本不關心物理世界。俗世的事務和問題是不重要的。基督教重視死後的生活並重視爲此而進行的準備。」或許我們也可以從作者對歐洲中世紀的反思中看出一些古代中國的影子。 後來就是文藝復興時期了，思想變革，矛盾激發，人文主義思想在歐洲遊蕩，曾經那些古希臘的數學著作也開始重新被認識，被學習。在文藝復興時期最著名的一些作品就是《蒙娜麗莎》、《雅典學院》，而它們的產生就是依靠當時產生的透視法，隨後的三角學，方程學的發展也在當時一定程度上啓發民智，引發討論。(推薦視頻【虛數的來源】 https://youtu.be/cUzklzVXJwo?si=5V8l824b5Berju5A) 經過了數學的復興，笛卡爾和費馬閃亮登場，笛卡爾在哲學上最著名的一句話就是“我思故我在”，同時在數學上的成就依舊耀眼，那就是座標幾何——幾何和代數之間的金色橋樑。「“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以後，就以快速的步伐走向完善。”的確，17世紀以來數學的巨大發展，在很大程度上應歸功於座標幾何。」 再往後面就是微積分的誕生了，這是最令人興奮的時刻了，不過我打算把對這部分的介紹放在下一篇書評中，因爲這本書只講了微積分的創立，其更精彩的內容再第二本書中了。 我們下一本書見~

y yy u “我明白了一個很好的道理，”她說，“總會體會到這個道理，每天都體會到這個道理。你要是有麻煩，或者受了傷，或者有什麼需要——那就去找窮人。只有窮人才會幫你——只有他們 yy

哲學是寫在那本永遠在我們眼前的偉大書本里的——我指的是宇宙——但是，我們如果不先學會書裏所用的語言，掌握書裏的符號，就不能瞭解它。這書是用數學語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖像。沒有它們的幫助，是連一個字也不會認識的；沒有它們，人就在一個黑暗的迷宮裏勞而無功地遊蕩着。 —— 伽利略