數學的邏輯

這是我最喜歡的數學家寫的書，強烈推薦~ 下面說下這本書的亮點： 1.我認爲全書中最大的亮點是讓我意識到了可視化對數學思考的重要性。比如，作者就是通過可視化的方式證明了加法交換律和乘法交換律，並且通過畫表格的方式證明了乘法分配率。這讓我意識到自己在小學過去根本沒必要死記硬背那麼多數學定理，這些都可以通過畫圖很快推導出來。也就是說只要我們會通過畫圖來思考數學，我們根本不需要死記硬背任何數學公理。 我在工作中也喜歡通過畫圖或者利用Excel表格解決問題，這樣做的確可以幫助自己將問題想的更清楚，搞清楚不同事物之間的關係。如果我不這樣做，我感覺自己的腦子就像是一團漿糊，不知道該從何下手。我之前還碰到過一本書，書名是《把數學畫出來》，這說明該書的作者和我一樣，都喜歡通過畫圖或者畫表格等可視化的方式來思考。 2.讓我意識到了數學雖然看不見，摸不着，但它就像人的想法一樣，是真實存在的。數學就是邏輯，邏輯就是規律，我們可以用文字來表達邏輯，也可以通過一些符號來更簡潔的表達自己發現的規律。總而言之，數學是一個很強大的邏輯推理工具。這個世界之所以如此符合數學公式，是因爲這個世界是講理的，是符合邏輯的，而邏輯則是客觀的，它不會因爲任何人的意志而發生改變。所以，和數學打交道要遠比和人打交道容易的多。數學不會欺騙你，而人會😅 3.讓我瞭解了數學家爲什麼會對質數感興趣，那是因爲實際上所有的數都可以通過若干個質數相乘而得到。這樣的話，我們就不需要所有的自然數了，我們只需要知道少量的質數就能得到任何自然數，這可以幫助數學家輕裝上陣，帶上最少的東西就可以滿足所有的需求。 4.我很喜歡作者說的一個比喻，我們可以將數學當做是一個遊戲，遊戲規則就是數學中的各個公理，然後我們看下順着這些規則能夠發現什麼，如果我們想換個遊戲，可以嘗試下修改規則，看看接下來又會發生什麼。知道一個東西什麼時候生效，什麼時候不生效會讓我們對這個事物有更深刻的認識。作者舉了很多例子，比如1+1什麼時侯等於2，什麼時候不等於2，這些都是修改規則後的結果。作者在書中說的在思考數學問題需要考慮具體的情景，其實就是在說我們需要搞清楚規則，規則就是遊戲的背景信息。 5.作者提到的對概念打包對我很有啓發，它可以讓我們壓縮某些概念，將其當成一個整體去處理。作者舉的例子是多個相同的數相加，爲了簡化這種情況，我們發明了乘法。爲了簡化多個相同的數相乘的表示，我們發明了指數。乘法就相當於是在對加法打包，指數又是在對乘法打包。通過這種打包的方式，我們可以快速理解和適應更加複雜的情況。這個過程就好像我們出去旅行時帶的旅行箱裝滿各種生活用具，我們在旅行途中不需要盯着所有的生活用品，我們只需要盯着旅行箱即可。數學也是這樣，通過對概念打包，我們將原本要思考的n個概念壓縮爲一個概念，這大大簡化了我們的思考，降低了我們思考問題的門檻。 書中還提到了一個打包的例子是：我們在閱讀書籍時，不是一個字母一個字母的閱讀書籍，而是一個單詞一個單詞的閱讀，單詞就是對字母的打包，而句子則是對單詞的打包。正是通過這種打包，我們才能快速理解一本書的內容。 這裏的打包讓我想起了自然界的分層。比如原子組成分子，分子構成蛋白質，蛋白質構成細胞，細胞構成器官，器官構成生物，生物構成種羣，種羣構成羣落，羣落構成生態系統，這個過程就是一個不斷打包的過程。 打包也很像軟件工程中的模塊化，將一些通用的大功能變成一個個模塊到處使用，而不是每次需要同樣的功能時再重新開發一遍，這樣做的好處是大大提升了軟件開發的效率。

鄭樂雋（Eugenia Cheng），英國華裔數學家、劍橋博士，範疇論專家，以消除數學恐懼、講透數學思維爲核心目標。 這本書中的概念元素很簡單，但如果我沒學過一些複雜的課程的話，我可能也讀不懂，經歷了抽象數學的洗禮，這本書不再是啓蒙而是總結了。 初學者會把它當成啓蒙，是因爲這本書的元素很簡單，就是數字。0，1，負數…… 對於1+1=2，1+1＝0，1+1＝1，鄭舉的例子很形象，貼近生活，告訴我們要質疑，1+1＝0，1，2都是對的，用生活的眼光來說就是：關鍵看角度。用數學的眼光來說就是：公理化思維，自洽。 0，1，-1……或說正數，負數，零，實數。這是數字，對吧？ 數字之所以生成，是因爲滿足了一些結構，所以在數學的眼光來看待數字，數字不僅僅是一些符號，更是一些這些符號之所以成爲符號其本身，數字本身就代表了一個過程，而不是符號本身，數字yi就是“1”，這是標籤，不是數學。 實數是域。 什麼是域呢？ 就是滿足加減乘除四則運算有運算規律且0不能作分母。 有理數也是域，Q（√p）（p是素數）也是域…… 以上還是一種簡單的描述，並不能直擊本質，也很難看出結構，即最開始的問題：實數到底是如何生成的？ 域Field，當且對加法是交換羣，對乘法滿足F/｛0｝是交換羣（非零元乘法交換羣），乘法對加法滿足分配律。 這又引出了羣的概念。 羣：集合對運算”·”滿足封閉性，結合律，單位元，逆元。 或：封閉性，結合律，左單位元，左逆元 因爲左單位元一定等於右單位元，左逆元一定等於右逆元，這是其本身屬性。 所以，實數就是由0，1配上加減乘除四則運算，以及上面的運算律生成的。 運算作爲結構的一維，狹義地講，運算是函數，函數是向量，向量是映射，映射是關係，關係是子集，子集是集合。現代數學的高樓大廈是在集合論的基礎構建完成的。 現代數學的核心哲學就是：集合只是材料，結構纔是建築。 只有集合：一堆無區別的點，一無所有。 配上等價關係：可以做商集，可以分類、劃分 配上運算：變成羣、環、域 配上序：變成有序集 配上拓撲：有了連續、極限 實數集 ℝ 本身只是一個集合 配上 +、×、序、完備性，它才成爲實數域。 結構不是憑空造出來的。 結構 = 集合上額外指定的子集/關係/函數。 集合，在沒有結構之前，只是“一般地，一定範圍內某些確定的、不同的對象的全體。” 在有了結構之後，集合就具有了表示性的意義—— 代數結構（羣、環、域、運算） 拓撲結構（連續、極限、鄰域） 序結構（大小、先後、格） 相應地，便是羣表示論，環表示論（膜論），域表示論（向量空間/線性代數‹最簡單›）， 連續表示論（連續表示/拓撲羣的表示論‹ex：R，S ¹，李羣›），極限表示論（射影極限/逆極限表示，歸納極限表示），格表示論（格論），序表示論（序結構的表示）…… 鄭先生的真知灼見： 數學是什麼？ “數學是對合乎邏輯的事物如何運作的邏輯研究。 “天氣其實有邏輯可言，只是我們永遠無法對大氣層中正在發生的事情進行準確測量，因而無法用邏輯的方式來精確地預測天氣。因此，天氣並非不合邏輯，只是過於複雜。 用數學的思維方式來看待或解決生活中的問題，解釋生活中的現象，也是一種瘋魔。因爲真正一以貫之很難，一個冥想者在冥想的時候，他會用冥想的方式感到輕鬆，一個數學瘋魔在無事的時候，他會想到集合，劃分，代表，理想，測地線，單環，阿貝爾羣，李代數，特徵值，期望，控制收斂…… “數學的一個迷人之處在於，它不由研究對象來定義。我們的研究對象往往取決於我們的研究方法。 數學的意義所在：學會在沒有標準答案的情況下判斷答案是否正確。這也是爲什麼必須展示過程，因爲數學從本質上說就是一個過程。數學不是爲了“得到正確的答案”，而是要構建能支持某個答案的邏輯框架。 用一種簡便的方式來回答零究竟是不是一個數字的問題，就是巧妙地迴避它。“數字”是什麼很重要嗎？與其操心這件事，我們不如構建一個把零作爲基本構成要素的世界，然後看看這個世界是什麼樣子的。我們不需要說明零究竟是什麼以及它代表了什麼，只需要觀察它是如何與系統中的其他元素互動的。 這有點兒像投機取巧，因爲我們並沒有解釋爲什麼零是一個表示什麼都沒有的數字，而是說它與一個數字相加的結果是什麼。這就是典型的抽象數學，或許比較實用，但的確不那麼具有啓發性。 不管怎樣，我們給自己創造了一個包括零在內的世界：我們把它放進去。於是我們可以說，“我宣佈存在一個叫零的東西，它依據上述規則與其他數字互動”，然後我們繼續我們的遊戲。再然後，我們可以用同樣的方式闡明負數的意義。 …… 數學家言語穩重，不輕言，言必有深刻。 這位數學家不喜歡用形象來表達抽象，即不喜歡用即時的比喻來替代深刻的本質。讓人誤以爲比喻就是真的。 這也是很多數學教材的風格，很標準。像牛頓發明了微積分，靠着物理直覺，卻沒有直接給出或者不會給出其底層邏輯，他認爲：形象，能用就夠了。但數學家愛較真，這恰恰是很直男的地方，諸如後來給出極限的底層邏輯的魏爾斯特拉斯和柯西，這些直男的抽象和嚴謹，卻是作爲一個數學學生的我所欠缺的，即過去我在學某種形式或應試數學，並沒有把它審視爲一種專業，一種靈魂，一種骨骼，並沒有把理性，認真，嚴謹融入與嫁接到我的思維方式，反而是感性仍然我行我素。數學家的較真是邏輯，是理性，但文學家（或自比文學家）的較真是感性，是鑽牛角尖，是無邏輯卻自認爲是有邏輯的自嗨，其美名曰哲學（實際上是文學，我真想說是後現代，因爲在那裏什麼都可以是文學）。不管怎麼說，在討論儘量客觀，分析儘量理性的事物上，一但“有我”，那就很糟糕，一定要無我。所以歐幾里得用公理化來去我執，亞里士多德用合理化來去無邏輯。二人的這種常人眼裏看似很無聊普通的工作，在我這裏，認爲是異常偉大。這是我讀這本書感受最深刻的地方。

數學再愛我一次 如何回答問題與怎麼質疑結論是同一個思維過程的“一體兩面”，因爲它們都強調適用的條件性，比如“回答“1+1=？”和“質疑1+1=2”屬於一個思維過程，在規定了自然數的數學條件下1+1確實等於2，而在隱性基因和顯性基因互動模式中，1是“顯性”，0是“隱性”，只要出現一個顯性基因，結果就呈現爲顯性基因，所以“1+1=1”。所以，問題及其涉及的相關概念的界定和背景規則決定了結論及其有限正確性。在“1+1=？”的例子中，我們就需要明確“1”這個數字的含義，數字源於我們對不同事物相似性的簡化抽象歸納，抽象化既是爲簡化問題，也是爲了建構一個所有事物都合乎邏輯的世界，在這裏，所有事物都嚴格按照邏輯來運行。我們可以把數字視爲與其他數字之間的關係，比如3是5和2之間的關係，因爲它是二者之差。在這個意義上，數學就是尋找靈活思考方式的思維訓練，在貌似無關的事物之間建立起聯繫。除了抽象，另一種數學思維是“打包”（把複雜事物打包成單一元素），在減輕認知負擔的同時，也讓我們能更深入地理解和探索更復雜的情況。比如重複相加“打包”成乘法，重複相乘“打包”成指數冪。 在數學的世界，重要的不是爲了找到正確答案，而是爲了建立無懈可擊的證明過程。數學家從事研究工作的標準方式，即深入挖掘自身的直覺，從邏輯上剖析這些思想，即”大膽猜想，小心求證”的過程。數學鼓勵用不同的方法來思考同一個問題，這種做法能讓你對這件事有更深刻的理解，讓你有機會利用更多的方法來檢驗你是否已經把事情做對了，在這個過程中，你還會可能產生更多的疑問，這種真正想要深入理解某些事物的問題，就是“好問題”，區別於那些試圖展示自己有多聰明的“蠢問題”。書中提到的“負數被定義爲與加法相抵消的過程，零是加法的單位元（任何數加零等於其本身）；除法被定義爲與乘法相抵消法過程，一是乘法的單位元（除零外的任何數乘一等於其本身；質數是乘法的基本構成元素；對爲什麼不能除以零的證明”都讓我覺得很有啓發性。 爲什麼要學習數學？“任何能幫助我們理解身邊事物的東西都有潛在的爲人類造福的意義。” “我不確定怎樣才能在一個領域獲得“偉大”的稱號，但是要成爲一名優秀的數學家，你無須具備以上任何一個條件。你需要思想開放，能夠靈活思考，能夠同時從不同的角度審視眼前的問題。你需要能夠看到事物間的聯繫，這通常意味着你要忽略某些細節，以便認清事物間的匹配關係。但你也需要足夠的靈活性，把這些細節放回去，暫時忽略其他因素，以不同的方式看待事物。你需要構建高度嚴謹的論點的能力，將它們儲存在你的大腦中，反覆思考，然後把它們與其他高度嚴謹的論點結合起來。你需要寬容，甚至渴望看到由此積累起來的複雜性。這也涉及創造處理這種複雜性的方法，比如研製出某種特殊的雞蛋，然後發明一種特殊的雞蛋盒來盛放這些雞蛋，然後製作特殊的箱子來裝雞蛋盒，或許還需要特殊的卡車來裝這些箱子，以此類推。因此，優秀的數學家通常從微小的念頭出發，一步步地建立起越來越宏偉的夢想，所以這需要生動的想象力，以及將這些奇特的想法帶到你腦海中的能力。”

一場腦洞大開的閱讀旅行，多角度重新認識了數學在我們實際生活中的意義，人是會思考和想象的，而數學就是一個很好的平臺，也是一位充實人生意義的良師益友！！！ 感謝作者的良苦用心，致敬作者，祝願作者幸福快樂每一天！！！

《數學的邏輯》不教你算題，也不走數學史路線，定位是"消除對數學的恐懼"。全書八章，用烘焙、切蛋糕、扎麻花辮這類日常場景當入口，把微積分、範疇論這些聽着嚇人的東西往回拽，追問的是"1+1爲什麼等於2""奇偶爲什麼交替""代數到底在幹嘛"這種小學生會問、大人懶得答的問題。 一、八章的脈絡 第1章 數學從哪裏來 講數學的起源和抽象化過程。核心概念叫"數學打包"——把3個蘋果、3匹馬、3天打包成"3"這個抽象物，是數學真正的起點。打包之後才能運算、才能建立關係。順便提了"1+1不等於2"——看你用什麼打包方式，模2運算裏1+1就是0，撬開"數學=標準答案"的刻板印象。 第2章 數學的邏輯 碰"我們怎麼知道數學是正確的"。負數怎麼來的、爲什麼不能除以零、二元邏輯和細微差別的關係。作者的態度：數學更像是"合理的解釋"，不是標準答案；高深研究裏充滿感情，嚴格規則是爲了經得起現實質疑。 第3章 爲什麼要學習數學 從豎式加法、質數、歸納法、無窮講起，順手拋"數學教育的目的"——不是培養計算器，是培養第一性原理思維。 第4章 什麼是好的數學 拿柏拉圖正多面體、微積分起源、拉馬努金和哈代當樣本，講數學的價值觀——啓發重於正確，歸納與統一重於技巧。有一節"進步與殖民"，批判數學敘事裏的西方中心。 第5-8章：字母、公式、圖形、故事 不按代數/幾何/分析的學科分，改按數學表達的四種媒介分： - 字母：關係、二維空間、方程描述圖形 - 公式：正弦餘弦、π、圓、面積，區分"記憶術"和"消化" - 圖形：說"一切等式都是謊言"——等式是靜態快照，圖形是動態關係；聊南丁格爾（護士兼數據可視化先驅）和範疇論裏的"辮子" - 故事：星星有幾個角、圓有幾條邊、吸管上有幾個洞——拓撲學入口 二、這書的講法特點 - 反"算對"敘事：反覆強調數學不是正確答案的科學，是"建立關係"和"創造"的科學，理性裏也有感性 - 童年級問題當引子：1+1爲什麼等於2、奇偶爲什麼交替——作者態度是這些不是傻問題，是第一性原理的起點 - "打包"當主線：抽象不是脫離現實，是丟掉信息換複用，每一層打包換來跨場景適用 - 四套語言來回切：字母/公式/圖形/故事各有盲區，真懂的人能在四套之間翻譯 一句話：這本不是教材也不是史，是有人把"數學"從"算對題"還原成"找關係、做抽象、問蠢問題"——這層還原比任何一道例題都值錢。

這本書，值得推薦。 從適用人羣來看， 一開始覺得適合數學老師。 在我接受的16年的數學教育裏，我的數學老師們沒有（也可能是我不記得）明確闡述過應試數學的基調——會用公式會做題（因爲我屬於刨根問底型，總是會問公式爲什麼是這樣）。 後來我覺得可能也適合學生和家長 通過閱讀課外書籍瞭解應試數學的底層原則，並由此展開接下來學習方法的探索。畢竟，數學是一個老生常談的難題。 最後，我發現其實每個人都可以讀一讀 就像作者說的人們總是關注數學的直接作用，比如買菜用到高等數學，卻因爲難對它產生了負面情緒，進而忽略了它的間接作用——錘鍊人的抽象思維、拆解複雜問題的能力。人生不是隻有學習和考試，當走出校園，更多複雜問題對人的應對能力提出要求。從這一點來說，數學方面的書籍值得讀一讀。 P.S：數學書籍和數學書，它們的內容是不一樣的，不用做題。 從結構上來看， 本書從字母章節開始進入具體的數學理論演示，告訴讀者字母、圖形、公式，它們究竟是在體現數學的本質——用盡可能簡單的東西去解釋更多的事物及其關係。 個人覺得，字母章節前面的內容值得閱讀，對數學有一個俯視視角的全新認識。 最後，貼上作者開頭寫的一句話，送給一直想學好數學又沒學好的自己。 “致所有數學成績不佳的人。 你沒有讓數學不及格：是數學讓你不及格。”

2周前生病回家逛書店偶遇的一本書，當時就買了實體書，礙於在學校無法隨時閱讀，選擇了更便捷的電子書。我想說：我會把紙質書再讀一遍。不論是有些章節與我既有觀點/直覺的碰撞，還是有幾章沒理解透徹，都值得我再讀一次。

“如何用‘拼圖’思維解決複雜性問題？ 拼圖”思維的核心是：​​把一片複雜世界先拆成若干可識別的拼圖塊，再通過不斷試放、旋轉、組合，找到它們恰好契合的那一刻​​。具體落地到複雜性問題，可分四步： 1. ​​明確“拼圖目標”​​ • 先像建議的那樣，確定你想要的解是什麼、需要滿足哪些邊界條件，這一步相當於劃定拼圖的外形和角落標記。 2. ​​分解與標註​​ • 將問題拆成儘量彼此獨立、規模遞增的小塊。拆的時候保留它們的“特徵標籤”，例如參數範圍、約束條件、已知算法或定理等，這一步對應把圖案拆成拼圖塊並記錄紋路。 3. ​​逐塊求解並動態重組​​ • 對最小、最清晰的塊先求出可靠解，把它們“固定”在拼圖板上；隨後把相鄰或相關的塊組合成更大塊，再次求解。本書相關內容提到“把某些東西打包成單一元素”正是這種做法。 • 組合時允許暫時忽略某些細節，只關注塊間匹配關係，這與“思考的幻覺”文章中“系統地變化複雜度”的思想一致。 4. ​​迭代驗證與調整​​ • 每增加一塊，都要回溯已拼好的部分，檢查是否仍滿足全局目標。若出現衝突，則調整或替換拼圖塊。提醒我們，解的存在性可能隨複雜度而變化，因此每一步都要驗證可行性。 ​​運用要點​​ • ​​保持“可逆”​​：拆分時不要一次性丟棄信息，以便後期回退或替換。 • ​​先穩後擴​​：優先解決結構關鍵塊，再向外擴展，避免一開始就陷入細節泥潭。 • ​​分層抽象​​：像本書相關內容用乘法、指數來“打包”重複運算那樣，爲每一步選擇合適層次的抽象，使拼圖塊既不過於瑣碎也不過於籠統。 ​​示例​​ 假設要設計一個跨部門協作的流程優化方案： 1. ​​目標​​：縮短客戶投訴處理時長。 2. ​​分解​​：拆成“接單—分派—處理—回訪”四個環節，再細分爲各環節的耗時、人員配置、系統瓶頸。 3. ​​重組​​：先固定最慢的分派環節，引入智能路由算法；隨後把處理與回訪合併爲一個“閉環反饋”塊，迭代調整人員與系統。 4. ​​驗證​​：每改動一次，抽取歷史數據回跑，確保整體時長指標達標。 通過這樣一套“拼圖”流程，原本無從下手的全流程優化被拆成可操作的小塊，又在不斷重組與驗證中找回整體圖景，從而在複雜性與可解性之間找到平衡。

我因純粹好奇“數學的邏輯”到底是怎麼回事，讀了這本書，讀懂多少暫且不講，對我的啓發是：“凡事”要問爲什麼？生活中的所有“凡事”。我們大部人對於社會上定義好的或者未定義好的…（任何種種），幾乎不會主動去思考爲什麼？不懂得透過現象看背後邏輯，一輩子活的“呆若木雞”，也許一輩子會平平安安健健康康，但是若沒有自己獨立的思想的一生，是沒有色彩的一生，沒有靈魂的一生。那麼，爲什麼1+1=2，如果你也好奇，就來看劍橋博士，謝菲爾德大學終身教授鄭樂雋寫的這本《數學的邏輯》這本書吧！ 好好讀書 讀好書 2026.7.24

致所有數學成績不佳的人。 你沒有讓數學不及格：是數學讓你不及格。 大學數學的課程既瑣碎又艱難。我們首先要證明一些非常基本的第一性原理，也就是被數學高手長久以來視爲“理所當然”的東西。例如，我們要證明爲什麼任何數字與零相乘結果都是零。