普林斯頓數學分析讀本

實分析 不同於 微積分，甚至與線性代數也完全不同。除了更難之外，這門課並不適合通過記憶公式和算法並將已知條件代入的學習方法。相反，你要反覆地閱讀定義和證明，直到理解了更寬泛的概念，這樣才能把這些概念應用到自己的證明中。 我當初使用的是Walter Rudin編寫的《數學分析原理（第3版）》 ［Principle of Mathematical Analysis，也被稱爲Baby Rudin或者That Grueling Little Bule Book（那本折磨人的小藍書）］。通常認爲，這本書是經典的、標準的實分析教材。我現在非常佩服Rudin，他的書條理清晰、簡明扼要。但我可以告訴你，當我第一次學習那本書時，整個過程十分艱難。它沒有給出任何解釋！Rudin列出了一些定義，但沒有給出例子，並在沒有告知他是如何思考的情況下寫出了完美的證明。 什麼是實分析 數學家把實分析稱爲嚴格的微積分。“嚴格”意味着我們進行的每一步以及使用的每一個公式都必須得到證明。如果從一組稱爲公理或假說的基本假設出發，那麼我們總是可以通過一個又一個合理的步驟得到最終想要的結論。 在微積分中，你可能已經證明了一些重要結論，但其中有很多結果被認爲是顯而易見的。究竟什麼是極限，如何確定什麼時候無窮和會“收斂”到一個數？每一門實分析基礎課都會重新介紹連續性、可微性等這些你曾見過的概念，但這一次，我們要弄清楚這些概念的本質。當弄清楚這些之後，你基本上就證明了微積分的合理性。 實分析通常是純數學理論的第一門課程，因爲它在熟悉的材料背景下向你介紹純數學的重要思想和方法。 一旦嚴格地掌握了那些熟悉的概念，你就可以把這種思維方式應用到不熟悉的領域裏。實分析的核心問題是：“如何把某些概念（比如和）推廣到無限的情形？”如果不進行嚴格論證，我們就無法理解像無窮和這樣的難題。因此，你必須掌握那些核心的證明技巧，進而將它們應用到那些更有趣的新問題上（並非高中微積分）。 這本書涵蓋了經典實分析課程第一學期的大部分內容，但你的學校可能會介紹更多相關知識。如果這本書沒有完全涵蓋學校的課程，你也不要驚慌！每一步都要建立在它之前的基礎上，所以成功最重要的因素是對基礎知識的理解。我們將詳細介紹這些基礎知識，以確保你有一個堅實的基礎來繼續學習（同時避免使用易造成混淆的隱晦說法，比如“這句”）。 一些推薦書的清單以及我的註解和評價，請閱讀參考書目。

如果只讓你選一本數學分析的教材，就是這本！國內大學的教材幾乎都可以扔一邊了。所以單論內容，這本書是完完全全的超五星推薦，甚至包括普林斯頓大學其他的幾乎所有的數學教材。 但是很可惜，微信讀書上傳的這個版本，並不非EPUB3格式。目前只有EPUB 3 及以上版本會原生支持 MathML（W3C 標準的數學符號描述語言，能精準表示複雜公式（如微積分、矩陣、方程組等））。 舊版本（如 EPUB 2）對數學符號支持較弱，需依賴圖片或第三方插件。

一本非常好的實分析教材，但考慮現行，高中數學教材忽略了全部最基本的分析基礎（至少應該先告訴一下，大家極限的定義，函數的定義，怎麼樣進行函數的作圖，還有一些常用的不等式（這個在數學分析中的很多證明是很有用的），還有一些基本的邏輯表示符號（許多教材沒有強調這些東西））如果好想好好的學好這本教材，建議先找一本比較經典的數學分析教材（先嚐試閱讀前面初等微積分部分，和預備），（這本書這些基礎內容並不是完全沒有，但是更像review，）

牛校的數學分析我不懂，居然沒有微分學，也沒有積分理論，反倒有一大章拓撲學。 也許本書的精華就是最後的參考文獻，作者對各種經典的數學分析著作都給出了自己的非常值得參考的點評，讓我們想進一步讀其它數學分析著作時可以借鑑作者的參考意見。

好書，就是這個排版實在是......

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自從有了AI，我積累數學證明技術的速度就快多了。以前做同一道類型的題，我做5道做10道我都還是不會，甚至下次遇到同道類型的題的時候，其一，我忘了之前做的類型題，甚至沒有任何熟悉感；其二，我也不知道技術，技術是記不下來的。但自從有了ai之後，每次輔助函數的構造我都會問動機是啥，比如構造極限差值函數的動機，用部分和去逼近來處理bessel不等式的動機，積累反例可以避免大量無聊的證明……我看了兩道同類型的題之後，技術就掌握了。 我還以爲我這輩子都考不上研究生呢，因爲一道題做那麼多遍都不會，那那有什麼用呢是不是。 當然我問問題的技巧還有待提升，就比如說問不變量這種東西，還是必須要積累大量的知識才去問比較好，否則太抽象了，也記不住。 這輩子都討厭不變量 ———— 而其實我本人真的很想知道動機是什麼，但是就是我不知道極限差值函數這個東西要幫它起一個名字，我才能把這個概念給固定下來，部分和也需要起名字，否則根本就記不住這個函數的符號。 包括dini核的引入，如果沒有AI，課本上半句dini核和RL引理都沒提，它就甩個定理過來，你說這誰知道要構造出一個dini核要挖去奇點吶？！？纔是真正的麻煩。 ————— 我跟你說，想要知道這些概念的名字也很簡單，一個方法多看書。但是找書翻書都需要時間。第2個方法就是直接做難的習題集，速度又很慢。 感覺問AI就是，第1道題非常慢，花了兩三天；做第2道同類型的題，還是很慢，花了十幾分鍾；做第3道同類型的題，幾分鐘搞定（準確來說是題目一讀完，就知道怎麼做了）。

書是好書，但這公式排版。。。實在毀原作。什麼時候能兼容下latex？

排版太差了，一些公式符號太模糊看不清甚至看不全

看完後頭痛，子集，緊集。天書一般