證明的故事：從勾股定理到現代數學

從小學時被數學老師認定我是個笨蛋，於是帶着笨蛋的設定一直伴隨着我數學的學習歷程，直到最後數學老師用一句“從來沒見過這麼偏科的數學課代表”結束了對我的數學期待，也結束了我自己對於學習數學的幻想。p其實你要我現在想，我也不知道一個數學考個位數的學生是怎麼當上數學課代表的。倒是能想起來那會兒爲了抄別人的數學作業，磨鍊了多少嘴皮子，費了多少腦力去編造自己不寫的原因。 直到我後來爲了考試，自學了基礎數學而解開方程式帶來的那種快樂的時候，我才意識到我不是笨蛋，只是沒有找到一個適合我自己的，學習數學的方法。 自然，如今的經歷和生活看起來跟數學早已沒有了聯繫，但想到未來七年的某一天，小朋友問我數學問題我解不上上來時的困窘與侷促相比之下，我更願意讓自己懂點兒皮毛，不然，跟小朋友之間又會失去一份微弱的聯結，於是，我不能說惡補數學吧，只能是從我擅長的閱讀尋找到突破口，讓我對數學重新產生孩子一般的好奇心。哪怕只是數數花瓣這樣小小的計數，一點點累積，應該也是會有成果的。 所以，當看到《證明的故事》，不是在講單純的公式枯燥的解題時，自然引起了我擅長領域的興趣，既然要先培養自己的數學興趣，數學的歷史演變自然就成了擅長領域的選擇，而證明，作爲數學思想中十分重要，又極具開拓性的一點，那必須是要進入深耕的。 我也是不曾想到，跟數學的淵源就這麼地又流長了起來。 閱讀這本書的過程熟悉又艱澀，熟悉是因爲這些公理是每一個上過學的人都背誦過的，而且熟悉A和B喚醒的不僅是從小學起就奔走在抄別人作業的路上的艱難，也在喚醒那時候數學老師給我留下的恐懼感受。而艱澀是即使再次見面，對於他們我依然是看起來認識的青澀模樣。但這本書卻糾正了我對於“數學”從前的誤讀和誤解。 就像作者在第二章中引述歐幾里得的《原本》，並將歐幾里得的公理進行解析，或者用作者題目的說法：進行了證明，讓我又重新認知了數學這個廣泛的存在，這個近乎於哲學辯證的存在。所以作者說的《原本》影響斯賓諾莎就變得不意外甚至更具合理性了。 我在此之前，對於數學，即使包括代數和幾何的理解都是在求證一個結果，我認爲那個結果纔是數學的本質。但，通過閱讀這本書，我看到的是證明的過程，或者說是證明的本質，而如同作者說的：數學史可以被視爲證明的歷史，因爲數學對證明提出了最極端的挑戰。當我這樣再去理解數學的時候，突然不再覺得《生活大爆炸》僅僅只是搞笑了。 或者說，我通過閱讀這本書，回看那時候即使抄作業都在不斷產生的困惑，爲什麼在不斷地解答AB=AC的問題。這就好像小時候解應用題，要在解題之前寫個答，後來上初中之後，答變成了解，這個轉變的過程，我不記得是老師沒講，還是老師講了我沒聽，反正我似乎一直在糾結這些沒有用、沒有意義的地方，但正是這個地方，讓我覺得我這個“學渣”終於開始理解數學了。 因此，在讀到約翰.奧布里在《名人小傳》中寫哲學家托馬斯.霍布斯喜歡上幾何那一段，不禁會想，如果我們上學的時候，學習幾何或者數學，並不只是一味的在背誦那些公理、被動的去求證那些公式的實踐性，而是從一個命題的證明開始，到另一個命題的參考，再去研究另一個參考的命題如此有趣的循環下去，我想大概會有更多的人對數學產生不一樣的興趣吧？ 如果說從前對數學的認知是被動的去記憶那些看起來毫無關聯的公式爲了解開某一道應用題獲得一個標準答案的話，那麼閱讀這本書，就是從一個我可以接受的角度去理解了數學的邏輯和整體以及上學時候數學的分裂。所以，讀這本書更像是托馬斯.霍布斯愛上幾何的過程。我不能說我會愛上數學，但是作者所提供了公理證明的邏輯，包括公理之間的關聯，說白了，就是數學分裂成我們所熟悉的代數、幾何、運算、都是如何產生的，而這個過程，很有趣。這種有趣包含對於數學家們的敬畏。 從某種程度上看，這本書所展現的證明的歷史是一部嚴謹的數學發展史。因爲當所有的人將歐幾里得幾何視爲“真正的幾何”的時候，哪怕是代數方法已經成爲一種更適合的證明幾何結果的途徑，可是數學家們依舊認爲這只是一種通往歐幾里得幾何對象結論的途徑而已。這是一種數學嚴謹的呈現，也是一種對於數學權威性的敬畏，這在本書中的呈現中是時常都可以看到的。 最近給小朋友買了一個現在很火的玩具——磁力片，但我率先享受了這個玩具帶給我的快樂。我感覺我閱讀這本書的感受同我用磁力片搭建我僅有限對物體的認知併成功的時候很像。因爲如果數學之間的關聯是由一個公理證明另一個公理的過程，而我去玩兒磁力片的過程就是從別人那裏學到，再自己動手的一個過程。我自己覺得這個過程同數學的證明過程很像。 這也是爲什麼我在讀這本書的時候，即使還是看不明白那些要證明公理的公式，有時甚至不知道也並不理解那個符號代表了什麼，但是整個閱讀的過程帶給我的對數學的認知變化是可見的，也是逆轉性的。而這種逆轉甚至讓我大膽的覺得如果上學的時候不是一味地學習公式去證明某個結果，而是通過一個公理去證明另一個公理這樣層層遞進地學習，我想對於數學的學習感受會大不同吧？ 除了對於數學的另一種新的認知，和自己對於數學的信心，讀這本書也詳細地通過作者的敘述看到了數學的證明歷史的演變過程，而在這個過程中，無論是數學家們大膽的預測還是嚴謹地固守，都讓我大爲震撼，這是人類的大腦共同創造的一門學科，一門神奇而偉大的學科。也許有得人覺得無意義，也許有得人覺得太深奧，但這門學科卻真真實實地存在於我們人類的大腦之中，並隨着那些不斷地去思考和證明的人而發展。

證明算是數學最爲核心的過程，當下似乎各種問題的證明篇幅變得越來越長，記得有點證明關係的就是一位對於伊辛模型證明的，從最初來看似乎是一個物理問題，當然聽了報告之後，發現是一個數學過程，每次完成相關內容的論文似乎都超過了數百頁，能夠懂這樣數學問題的學者就不是很多，能夠完成證明的似乎就更少了，使得我們儘管人口基數龐大，但是能夠理解這樣問題的學者比例反而是下降了很多，只是不知道數量是不是增加了，最近非常流行的趨勢就是使用 ai 與學者一塊來完成數學問題的證明，似乎把各種問題進行簡化，並且 ai 給出了等價過程，但是建立起來各種直接的等價性，從另外一個方面來說，證明的可靠性如何來進行保障，似乎我們能否理解和驗證 ai 參與步驟的準確性，或者說其中邏輯聯繫到底怎樣，或者 ai 證明怎樣帶來數學邏輯產生的變化，是不是以後出現了 ai 證明的問題，但是人類沒有辦法理解，其實在出現變成證明數學問題性時候，就出現了這樣的困惑，比較典型的就是四色問題。其實本來證明就是非常複雜，每一個過程都是可能存在證明的不等價性，也就是不能完成證明，似乎在歷史上很多數學家都會說證明顯而易見，這個是對的，但是對於後來者來說完全完成證明過程還是非常具有挑戰的，最爲典型的費馬大定理，費馬說空間太小了沒有辦法寫下來證明過程，差不多經過了三百多年，才被複雜的過程得到了證明，而且從另外一個方面現代數學的前沿似乎複雜性還是超出了我們的理解。

看到第三章基本就到我的數學知識邊界了，後面零零星星的一些內容還能看得七七八八。整體來說，這是一本很前沿的數學讀本，編輯辛苦了，很難翻譯也很有價值。

如果說數分教材是苦咖啡，這本書就是植脂末 有歷史發展佐餐，皮鞋也能入口了

用數學符號寫一個過程，還是簡潔明瞭很多。

本想通過本書瞭解數學不同領域中的基本概念，但看完後覺得當初還是太高估自己了。通過本書，我瞭解了由於無窮所導致的證明難點，構造性證明的概念，以及意外發現原來實數竟然如此複雜。 作者的行文比較幹，且翻譯得比較硬。

假故事，浪費時間。要學就學真東西，摒棄假玩意。

博而不精，對各個分支淺嘗而止，適合初中高中同學們瞭解數學的基本概念。

我有這本書的紙質版，非常不錯，建議借一本或買一本來看，花大量時間來看