基礎數學講義：走向真正的數學

經典 非標準分析的奇妙可能性 在建立了超實數的概念之後，可以得到很多不可思議的結果。我們考察自然數[插圖]的擴張[插圖]。根據定義，[插圖]包含了所有自然數序列的等價類，所以[插圖]，這表明[插圖]包含了無窮元素。爲了計算序列[插圖]的極限，我們考察函數[插圖]，把它擴張到[插圖]，並考察[插圖]爲無窮元素時的[插圖]。如果[插圖]是有窮的，那麼我們計算[插圖]。如果我們對於所有無窮的[插圖]都得到了相同的值，那麼這個值就是序列的極限。例如，如果 [插圖] 那麼 [插圖] 又因爲[插圖]是無窮小量，所以 [插圖] 而連續性或者一致連續性這種定義也可以用無窮小量的概念輕鬆完成。 定義15.23：已知[插圖]，如果 [插圖]是無窮小量都能推出[插圖]是無窮小量， 那麼[插圖]在[插圖]處連續。 定義15.24：已知[插圖]，如果 [插圖]是無窮小量都能推出[插圖]是無窮小量， 那麼[插圖]在[插圖]中一致連續。 本質上，兩者的區別在於連續性要求[插圖]，而一致連續要求[插圖]。 這些概念還可以推廣到更一般的函數[插圖]，所有關於這些函數的關係在擴張後仍然成立。例如，如果[插圖]表示[插圖]中單位球的內部[插圖]，那麼[插圖]可以推廣到[插圖]中具有相同公式的單位球[插圖]。 像是[插圖]中的交換律或分配律 [插圖] 這種[插圖]元謂詞[插圖]也可以擴張到[插圖]中的相同關係。 如果我們量化關係，例如 [插圖] 那麼這些關係可以推廣到 [插圖] 但是也有不能推廣的性質，完備性公理就是其中之一。完備性公理的表述如下： [插圖]：如果[插圖]非空且有上界，那麼[插圖]就有一個上確界。 這個公理量化的是一個集合[插圖]。完備有序域的其他公理都只量化了集合中的元素，正是這一點讓非標準分析得以成立。 定義15.25：如果一個量化謂詞只量化了集合的元素，那麼我們稱它爲一個一階邏輯陳述。 除了完備性公理之外的完備有序域的公理都是一階陳述。所有一階公理都可以從[插圖]擴張到[插圖]，而完備性公理不行。 自然數的公理也是一樣。(N1)和(N2)是一階陳述。而歸納公理(N3)，也就是 [插圖]：如果[插圖]且[插圖]，那麼[插圖]， 不是一階陳述。擴張[插圖]滿足(N1)和(N2)，但不滿足(N3)。例如，集合[插圖]是[插圖]的子集，並且滿足[插圖]且[插圖]，但是因爲[插圖]且[插圖]，所以[插圖]不等於[插圖]。 我們可以證明非標準分析滿足如下原理： 轉移原理：[插圖]中任意真一階邏輯陳述在擴張到[插圖]後仍爲真。 如果我們把這個原理當作公理，那麼就可以把它作爲發展非標準分析理論的基礎。但是我們不會繼續深入討論：本書討論數學基礎，而非非標準分析。我們之所以納入無窮小量的內容，是爲了證明隨着數學的發展，新的理論會改變我們思考數學的方式。 過去的分析使用標準的[插圖]技巧，這背後有着充分的理由。要用無窮小量建立微積分理論，我們可以使用超有序域來更自然地理解前人建立的不同形式的概念。 要想正確地進行非標準分析，

很經典的一本書，很值得閱讀，深思，學生們在數學學習上經常面臨各種“脫節”：知識不足、思維落後、心理受挫 本書將彌合各種差距，向中學生和大本生提出明確、可行的學習建議： 解釋數學中抽象內容背後的思想動機； 介紹從非正式方法轉向正式的、公理化的方法； 強調思維方式的轉變和心理調適的方法。