啓發每個人思維的數學小書

一、感受與收穫 每次讀到令我覺得驚喜的書，都特別特別感恩。 數學果然是離哲學最近的一門科學，數學不但在爲提升人類生產力服務，還在啓發着人類對世界的探求。 最近我悟到了兩句話： 別人不但和我不一樣，還和我想的不一樣。 這世界上的很多聖賢的道理，不但和我相信的那一套不一樣，還和我想的不一樣。 這種領悟，讓我更具開放性和接納性。 這本書從數學的角度，印證了我以上的領悟。這本書指引着開放、指引着發展。由於看到了這種開放、看到了人類好奇心的本性，我心中便升起一種美好的願景、並伴隨着喜悅。 能概括出來的這本書給我的驚喜有以下幾個方面： 1 、 懷疑論者去找拉比·希勒爾，讓這位聖人僅在他單腳站立時間裏傳授他《律法書》中所有的內容，而熱心的拉比僅回覆了一句話。這一句話的答案實在是太妙了，我就不劇透了。 2、 本書主角迷思先生：接受的教育或許來自大學，或許來自“生活的磨練”。但無論如何，他都試圖弄明白如何才能好好地“生活”。 我就是那個迷思先生！我想大家都是吧。 3、 第13節“常識”中證明“如果一個三角形不是等腰三角形，那麼它必然是等腰三角形”打開了我的思路：不要用一個範圍之內的真理，去推斷另一個範圍的事物。或許這是我早已有過的體驗或結論，但是當它以幾何學的形式出現在我的面前時，因爲直觀而非常震撼，讓我理解地更加深刻。 4、 沒有永恆不變的真理。要對數學的發展、人類對於世界認知的發展保持開放性。好奇心也是人類美好的天性之一，會讓人類與世界真相越來越近。當我們與“上帝”的距離越來越近時，我想這世界會更加美好。 5、座標系可以變換、真理假設可以變換、陳述對象也可以變換（書中由幾何空間中的點，變爲圓，由此出現三維空間中的四維問題），這些變換產生了“移步換景”的效果。在數學中呈現出這樣的別樣風景來，太奇妙了。 書中對狹義相對論的闡述嘗試，也是一樣的道理，移步換景。 探求世界真相時，也是一樣，只是有時無法邁出那個步子，便是被侷限住了。那些邁出步子的人，他們是不是還有新的維度的步子可以去邁呢？ 二、回憶 在讀這本書時，回憶起自己曾經的一些數學學習體會。 小學高年級時有幸到了一個以做奧數題爲樂趣的班級裏——我真是幸運到了極點了，平庸如我，智力是在那時開發的，那個四十人左右的班級出了三個清華北大的，還有三位復旦交大的。數學老師教完我們之後就買斷了，我們那個班級算是她教學生涯中最偉大的作品了吧？ 我從來不覺得自己聰明，但是我比別人能堅持的苦思冥想的時間久一點，做小學奧數題時是這樣，做初中幾何題是是這樣，做高中物理題時是這樣，工作時爲了解決某些不得不解決的問題時也這樣。 高中時我的有機化學學的很差，有個同學在分享學習經驗時用“拼積木”三個字點醒了我。工作後，我發現很多系統設計問題都是“拼積木”。 大學時我是學渣，相對論根本就不明白，讀這本小書時感覺對狹義相對論更有些似懂非懂的感覺了，以後有閒心時真的可以再研究研究。 哲學或者佛學上講萬物平等，這本書的第17節，讓我回憶起研一時學的泛函，到最後一章的時候，當所有的事物都能成爲數學空間中的一個元素的時候，我真的感受到了數學角度的包容萬物的宏大。 現在編程時有些結構體的概念與此類似，但是相比泛函的廣闊呈現，那些真的太小兒科了。 三、感恩緣分 推薦這本書的書友清風挽夜歌，居然連推薦語都沒有，而我就對這本書感興趣了。真的是緣分哪，給我送來了這麼有趣的閱讀體驗，或許，思想上也升級了吧。

不要因爲書名中有“數學”二字，就繞過這本書。確實，只有少數天才才能創造數學知識，但是知識並不比故事更難理解。況且，本書重點不是教數學，而是啓發思維。 幾百頁的小書，先是舉重若輕、提綱挈領地，講了從算數到代數，從歐氏幾何、解析幾何到微積分的古典數學發展歷史，讓人們見證算數通過抽象一般化爲代數，幾何從研究圖形到通過邏輯推導答案，再到代數與幾何相結合產生解析幾何，到牛頓發明微積分節約動態世界的計算問題。 隨着數學思維的深化，世界也隨之變得複雜起來。而以上數學知識，成熟於300年前，已經夠現代人從小學學到大學畢業了。 接着在第二部分，數學家開始對數學的某些“默認”公理開始了檢驗和質疑。歐幾里得平行公理最先得到鬆綁，數學家們發展出了不符合平行公理的非歐幾何，最終發現它們更符合地球是個曲面的“現實”。帶着這個成功，一切“默認”都被抽去。數學大廈變得沒有了根基，然而這個大廈並沒有坍塌，而是有產生出了各種“奇異”的現代數學。 布爾代數，有限幾何，有限代數，信息論……科學家們從認爲數學是上帝的語言，到承認“所有的代數學和幾何學都是人類發明的，因而其中任何一種都不是絕對的，也並非真理”！是的，你沒聽錯，數學並不具有真理性（但它們可能有用），數學的根基也早已崩塌到，只剩下邏輯學。百年前的數學家就已經知道了，但知道今天，對大多數人來說，這還是個明擺着的祕密。 數學家們還知道這些： 1. 現代數學家可以自由地創造與發展各式各樣的理論體系。...不過，數學家要做的是保留其抽象形式...方法是做出一些假設，再用邏輯進行推導，只要不會自相矛盾，就是成功。2. 好奇心和愉悅感驅使着數學家創造非凡的數學世界。3. 跟着直覺走，並加以檢驗。過去對錯參半，我們必須根據現有的知識進行甄別 總結一下：數學的世界是自由的。唯一的邊界就是邏輯。人們不過是自創世界，然後再勇敢跳進去，親身體驗。作者給讀者的箴言是：“做你自己！”“但不要妄想扮演上帝！”換句話說，創造你所相信的，但不要強迫別人。

《啓發每個人思維的數學小書》是莉莉安·李伯夫婦在二戰期間寫給士兵的數學啓蒙讀物，旨在用數學傳遞希望。本書以詩意的文字和充滿想象力的插畫闡釋數學本質。全書從“五千萬人也可能出錯”開始，用一個個小故事打破“常識”的迷思，展現數學作爲一種思維方式的魅力。書中那個經典問題——給地球赤道鋼圈接上3米後空隙竟達半米——完美詮釋了直覺與理性的較量。作者夫婦一位是數學家、一位是藝術家，使這本書數學與藝術完美碰撞，更將數學推至哲學高度，道出“物理的盡頭是數學，數學的盡頭是哲學”。七十年後再讀，它雖非嚴密教材，但那種跨越時空的智慧與啓迪，依然能讓每個讀者重新發現數學的可愛與深刻。這本書值得反覆閱讀，數學不僅是概念、公式，而是一種邏輯思維和哲學思維。

這是本二戰時期，美國大兵口袋中深受喜愛小冊子，因爲它每一個句子都十分簡潔，像詩文，還賦有哲理底層邏輯，它還善用漫畫，一目瞭然。 它強調了歸納和抽象是兩種強大的思考工具，在所有的思考過程中都很重要❗️，數學不僅是一種思維方式，更是一種生活方式。因爲它清晰、精準、簡潔、多元，要腦瓜子轉得快，並且特別要注意，思想狹隘之人會把任何習慣上的改變都當成災難性的鉅變。 其提倡識大體，觀大局，辯體系，贊👍不觀全局不足以爲謀。例如，在歐氏幾何中，在平面體系上定律，在球體上就不一定正確了。在布爾代數中，2x2是否等於4，它取決於所用的代數方法。簡言之，要掌握現代觀點，需要更靈活思維以及隨機應變的能力。能解放你的思維，擺脫舊觀點的束縛。 顯然可見，爲什麼上世紀的它依然被翻譯成中文。 讀完它似乎更深入理解了毛主席曾經一句名言： “沒有文化的軍隊是愚蠢的軍隊愚蠢的軍隊”。 上世紀作者✍️： “現代趨勢大致是： （1）人類逐漸意識到自己極具創造力，更有膽識與勇氣，漸漸敢於邁出原來的小天地，向更遠處進發。 （2）因此，與過去相比 現在更趨於多樣化。 （3）前進過程曲曲折折， 人類可能會遇到林林總總的奇聞異事，不過人類正努力克服內心的恐懼。 （4）人類對抽象的事物越來越感興趣。 你知道以上趨勢都與數學密切相關。不過，如果停下來想想，你會發現在現代音樂、現代航空、現代藝術或者其他任何現代領域中，都存在這些特徵。” ……… 值得推薦好書。

非常有啓發的一本小書，言簡而意深。真的寫的很好！ 引用一段話： “人類擁有聰明才智和奇思妙想， 絕不會被社會問題輕易難倒！ 但是這些問題並不會自行解決！ 我們要像數學家、科學家、藝術家一般， 充分發揮想象力； 同時也要牢記自由亦有限度。”

本書適合小學高年級及以上的人閱讀，同時也適合日常忙於工作，忙於生活而無暇關注自身成長的人們，書中內容展現了很多課本中無法展現的觀點，說明了數學的本質，讓我們從不同角度來思考生活中很多常見的事情。 比如，書中非常簡潔的說明了微積分是什麼？ 假如我們從上海到杭州一共150公里，車輛行駛需要2個小時，那麼我們可以很簡單的理解我們的行駛速度是70公里/小時，但實際生活中，我們不可能遇到這麼簡單的路程，因爲會有市區的堵車，有紅綠燈，有高速，有服務區休息的時間。這裏的每個時間節點的速度都是不一樣的，那麼如何便捷的計算速度呢？ 通過X軸，Y軸等來展示，X代表時間，Y軸代表里程，如果是勻速行駛，直線的斜率就代表速度，如果是非勻速運動，那麼在圖標上就是一條曲線，每一個時間節點的曲線斜率就是對應的速度，即dy/dx，即“微分方程”​，通過微積分中的“積分”​，也能得到原始曲線的方程。 比如，書中通過一個簡單的例子，就能引導我們用數學的思維來思考問題： 假設有一根鋼圈緊緊繞着地球赤道。現在假設把它拿下來，然後在某個地方切開，再接上一根3米長的鋼線，這樣，新的鋼圈就比原來的長3米。如果你現在把它放回赤道上，它會更寬鬆，那麼鋼圈和地球之間的空隙有多大？（A）夠一個1.8米高的男子走過去（B）夠一個人手腳並用地爬過去（C）只夠一張薄紙滑過 用數學思維就能看到 C = 2πr，現在C增加了3米，那麼運用公式新圓的周長爲C' = 2π （r + x），所以6.28x = 3，這個空隙就是大概半米。這對於我們的常識是一個很大的拓展。另一層含義：大腦永遠比腳步走的更遠 當然，這本小書也僅僅是一個拓展，可以開拓我們一部分思路，但我們不能把所有的問題都看成釘子，因爲手裏僅僅有錘子是不夠用的，掌握一種數學思維並不能解決所有的問題，但多一種思路就多一種解決問題的方案，本書作爲一種淺顯的工具書確實可以帶來很好的啓發。

你知道2x2不一定等於4嗎？我們知道的“常識”並非永遠可信；所謂的“真理”，也並不永久爲真。 這本數學入門以詩一般的文字和充滿想象力的插畫，讓數學與藝術進行了一次完美的碰撞，爲數學思考的本質與哲學作了迷人的闡釋。莉莉安打開了通往思考數學的神奇大門，她的語言通俗易懂，故事簡短深刻；她的丈夫休·李伯繪製的插圖引人入勝，無一不嫺熟地展現了數學的基本概念。 從1942年出版至今，這本數學入門小書影響了幾代偉大的數學家，與《愛因斯坦相對論》並列爲歷史上有影響的三大數學入門的著作之一。 1944年，它被美國國防部送往二戰戰場，陪伴士兵們度過了艱苦的戰爭歲月，讓人們重新認識了數學和科學的美好。 本書展現的數學精彩紛呈，提出的問題令人大開眼界。從代數到幾何，從數字到圖形，作者闡述的都各有寓意，發人深省。經過長達七十多年的歲月淬鍊，書中所敘述的生活哲思與做事態度，至今仍被人們嘖嘖稱奇。

這本書旨在教我們運用數學和科學思維去看待、解決事物。關於數學知識和技巧的介紹不深，估計中學水平都能夠知道這些數學知識（代數，幾何，解析幾何，一點點微積分）。重要的是作者提到的數學思維方式，它是嚴謹的，客觀的，其中有“歸納”、“推理”、“抽象”，“驗證”等，當然最基礎的是“邏輯”。邏輯是數學的基石，沒有邏輯有沒有數學一層層的架構，數學的一切都需要邏輯來運行。 這本書給出了西方的思維和文化，這與東方是極大不同的。西方的思維方式注重邏輯推理，能夠在一些自己創造出的理論框架中，運用自己定義的一些基本符號，推理出一些定式和結果（文中所說的暫時的“不變量”）。這是一個無中生有的過程，可以不知道結果，不知道現實，直接用一些最基本的事實變量，通過他們總結出來的正確的推理過程，直接得出符合現實的結果，這讓我想到了《第一性原理》。他們喜歡把世間的東西量化，然後去控制，去研究，然後掌握它們。而東方的思維和文化就很不一樣，我們注重實在的經驗，注重歸納，注重實用性。我們注重內心的道德感，注重社會的組織架構，注重人與人之間、人與自然的關係。我們更喜歡感性地思考，運用體悟和實際經驗來創造當前實用的東西。我們喜歡整體、聯繫地思考，而西方喜歡分割、原子地思考。 本書最後給我們擴展的現代思維，對個人的思維有很大的啓發性。我們可以在原本理論的基礎上，保留或者稍微改變基本的定義，可以用自己創造出的推理方法來運用邏輯創造出新的體系。這裏很有意思，我們可以定義自己的數學，自己的規則，只要邏輯沒有問題，可以創造出自己認識和解釋事物的體系，哪怕不符合現實，只要符合邏輯！ 本書另一個擊中我的是，我們要多運用自己的直覺，憑藉自己的感覺來判斷和試驗，書中舉例很多科學家剛開始都是通過直覺來進行嘗試的，發明出了偉大的理論，但這個結果最終一定要驗證。還有一個讓我有啓發的是“暫時的不變量”的定義和討論。作者用不同的維度和高維在低緯的投影以及同一維度的轉換、平移，以及一點點相對論的知識，來說明我們現在得到的“暫時的不變量”，也就是在特定時間，特定條件下得到的正確的理論，在未來或者其他條件下可能就不是正確的，我們要持有開放靈活的態度對待他們。 書中的一些插圖挺有藝術，黑白線條簡單勾勒，能體現出作者“多元”的思想。 以上是我的一些閱讀感悟。 諸君，共勉。

小書道理十分深刻和普適，儘管寫於1942年,放在當代用這些思維去理解人工智能發展都十分受用。在找能激發孩子數學興趣的書時發現了它，孩子閱讀難度有點大，可能得讀了高中以後才能領悟部分。作爲理科生，我覺得可以反覆閱讀，加強自己對那些最普適最根本的思維模式的理解。讀完感覺數學太妙了，多重視都不爲過。

很簡單的小書，歪果仁寫了相當滴簡單額的書