微積分的力量

前兩個月，我監督着小學生弟弟做作業。難得的是，我累趴了；更難得的是，小弟半天就把語數英作業提前完成。 其中有一個小插曲，一道壓軸的數學題，可把他絞盡腦汁得不確定思路。於是，作爲資深的“三好學生”的我，當然要給點“指導”啦！沒錯，這道題我會！他還嘀咕着：“小學數學題怎麼可能難倒姐姐。”經我提示，小弟眉眼都開了竅……而後的期末考試數學單科考了全班第一，還說得了一個“1000”萬（摺疊方式，紅包皮上帶個“萬”字）的紅包，想邀我去玩。 彩蛋：原先那道題我把小弟教會了，自己不會了。 迴歸這本書—— 筆記乾貨：有三個謎題促進了微積分的發展，它們分別是曲線之謎、運動之謎和變化之謎。 但還好，作者的敘述方式很易懂，像極了一位循循善誘的老師，不敲黑板，只是給你指引。 作爲橋樑的無窮｜微積分最初是幾何學的產物，怕是大家要麼愛得徹底、要麼恨到不行。可以不學微積分的我還偏要看看這一本書，估計是想重新回味下“數學之美”吧——一如音樂旋律的和諧！ 小弟那會兒還問我：“姐姐還能不能給我再講講你說的方程不等式呀？”於是我一邊說着一元二次方程一邊忘記怎麼設不等式，果真是直接在稿紙上被自己笑倒。 這本書我翻閱得很快，並不算精讀。 不一定是數學學習愛好者可讀；此書反而更能引發基礎薄弱者學習數學的興趣。 此書會告訴你阿基米德論證到了三角形的重心！這一點在課堂上不一定都學過；「亞里士多德的世界觀」一章中，提及最早的日心說，比哥白尼早了大約2000年，就如故事緩緩道來；伽利略出場主講的不是其人，而是周邊的故事；“伽利略的奇數定律似乎暗示了物體下落的總距離與所經過時間的平方成正比。”——一個聽起來很複雜的定律既是一條被證明的結論，也是一條我們可以反覆推論、懷疑、再推論的課題；開普勒第一定律：橢圓軌道——開普勒第二定律：相等的時間，相等的面積（行星並不以恆定的速度運行），至於其第三定律，我們一起在書裏遇見呀。 當代數遇上幾何學，你是怕了還是愛了? 費馬vs笛卡兒，你pick誰? 冪函數、指數函數、10的次方、對數⋯⋯要不要再進階一下? 很有趣的一本書，回味無窮。離開學校後繼續學習數學，就靠這類趣味讀物了。另外還有結成浩（日）的《數學女孩》全六冊，也是數學學習讀物。

讀罷這本書真有像網上評論的那樣：是能讓"數學恐懼症"患者手不釋卷的數學讀物。我用了40天1030條筆記，慢慢地啃完了這本書，它真的讓我這個微積分小白看的津津有味、不願釋卷。 作者最了不起的地方，在於他徹底顛覆了微積分"枯燥公式集合"的刻板印象。全書沒有從極限定義開篇，而是帶領讀者回到微積分誕生的歷史現場～從阿基米德用窮竭法計算圓面積時的巧思，到伽利略通過斜面實驗窺探運動規律，再到牛頓與萊布尼茨的世紀之爭。作者像一位經驗豐富的導遊，讓讀者在人類文明的長廊中漫步，閱讀過程中你會發現：原來微積分的每一個概念都源於人類對自然界最樸素的好奇。 書中反覆出現的核心隱喻令人印象深刻：微積分的本質就是將複雜問題無限拆分，再以全新方式重組。無論是計算行星的橢圓軌道，還是解析DNA的雙螺旋結構；無論是設計智能手機的GPS定位，還是理解艾滋病的病毒傳播曲線～作者用一個個精彩案例證明，微積分不僅是數學工具，更是一種理解世界的思維方式。當作者講到CT掃描如何利用拉東變換"看見"人體內部時，你會真切感受到：那些曾讓人頭疼的積分符號，背後竟蘊含着拯救生命的力量。 作爲《紐約時報》數學專欄的前撰稿人，作者的文字兼具科學家的精準與散文家的優美。他形容微積分"是人類在無窮大與無窮小之間走鋼絲的藝術"，將導數比作"時間的顯微鏡"，把積分喻爲"無限的拼圖"。這些比喻不僅生動，更準確地捕捉了數學概念的精髓。即便是講解ε-δ語言這類抽象內容時，作者也能通過"追逐遊戲"的類比，讓我們在直覺層面先建立理解，再逐步過渡到形式化表達。 作爲一本科普書，這本書深入淺出、形象鮮明的講解更像是一場關於數學之美的啓蒙之旅，但部分章節（如關於傅里葉分析在通信技術中的應用）對於完全缺乏物理背景的我，理解門檻略高。 這本書的生動有趣在於它重建了普通人與數學之間的情感聯結。讀完此書，你未必能熟練計算微分方程，但一定會對身邊的世界多一份數學的敏感：看到拋物線的水流會想到切線斜率，聽到音樂的泛音會聯想到正弦波的疊加，望着夜空中的行星軌道會驚歎於微分方程的預言力量。正如作者所言："微積分是人類最偉大的集體智慧結晶之一，而它本應屬於每一個好奇的心靈。"對於任何想要理解現代世界運作邏輯的你，這本書都是一扇絕佳的窗口。

書名估計會讓一批讀者望而卻步，其實這是面向大衆的通俗科普讀物，閱讀門檻並不高。作者用生動的語言和生活化的比喻解釋了微積分的基本思想，例如無窮小、變化率和累積量。書中避開了繁瑣的數學公式，更多是通過故事和類比來讓人理解微積分的核心概念，以及教科書理論背後的歷史和思想，使沒有數學背景的讀者也能領會其精髓，讓普通人能夠體會到微積分的優雅和力量，而不是被技術細節嚇退。 那麼，微積分究竟是什麼？ 1. 它是人類描述宇宙的一種數學符號。雖然語言和數學都是符號，都可以表示邏輯，但數學和語言最大的不同可能就是“精確而簡潔”：精確+簡潔 ➡️ “知識的預測和複製能力” ➡️ 現代工業需要的重構和複製成爲可能。（關於數學的樂趣和意義，推薦《數學的雨傘下》 ） 2. 微積分不同於普通數學公式，是因爲它基於無窮大，無窮小這樣的“虛構和想象”的概念。微積分就是基於這樣一種信念：複雜問題 = “無窮大”個連續的簡單的“無窮小”的組合。比如，曲線的長度是無數個微小片段的直線之和；再比如，人生的意義是每個當下體驗之和😂。（關於“無窮”的深刻意義，推薦多伊奇的《無窮的開始》） 3. 如果說這個世界既是“連續”也是“離散”的，微積分則是架起了連續與離散之間的橋樑。如果說人們對世界的認知是根據“已知”來預測“未知”，微積分則是架起了已知和未知之間的橋樑。人們之所以認爲世界無常，部分原因是因爲無法掌握連續與離散，宏觀與微觀之間的規律，對用已知來推演未知缺乏信心，而微積分的出現則是極大的增強了人類探索世界的自信心，促進了隨之而來的爆炸式的科學進步和工業革命。 4. 微積分是代數和幾何這兩種很強大的符號系統結合下的神奇產物：不論是幾何還是代數，都是神奇的符號系統，可以用簡潔而精確的方式模擬規律，這一點語言就做不到，否則試一試用語言描述一下二元一次方程，肯定很酸爽，更別說複雜的微分方程了。幾何和代數不同之處是具象與抽象，兩者的神奇結合就是具象和抽象的神奇組合，是左腦和右腦的結合。只不過，微積分不滿足於靜態的幾何世界，而是癡迷於動態變化。它想解決的問題是：運動和變化的規則是什麼？我們能對未來做出哪些確定性預測呢？ 5. 微積分是壓縮數據的模式之一。所謂“模式”的意義就是“壓縮數據”，對於人腦而言，不需要記住大量數據而只是記住總結下來的“模式”，以犧牲一點點精確性作爲代價大幅節省了寶貴的大腦資源。對於電腦來講也如此，計算和數據存儲資源都非常昂貴，“模式”的意義就是大量節省資源，低碳，高效。“模式”可以用符號表示（比如公式），但複雜的模式往往無法精確的用符號表示，比如訓練之後的人工智能，或者人腦的潛意識模式。人與人之間“觀念”的不同，本質上也是人的“思維模式”不同，源自每個人不同的經歷和記憶。微積分是壓縮數據的重要手段和工具。數據壓縮的許多算法（例如圖像壓縮中的JPEG、音頻壓縮中的MP3）依賴於將信號從時域（或空間域）轉換到頻域。傅里葉變換和小波變換是關鍵工具，而傅里葉變換的理論基礎源自微積分中的積分和導數。 6. 微積分的三大核心問題 ✅正向問題：已知一條曲線，求它各處的斜率。 ✅反向問題：已知一條曲線各處的斜率，求這條曲線。 ✅面積問題：已知一條曲線，求曲線下方的面積。 這裏，曲線象徵着不斷變化的事物，而曲線下方面積象徵着變化的積累結果。所以研究二者關係就是研究事物的“變化”和“積累”之間的關係。已知“積累”求“變化率”就是微分問題（或求導數問題），已知“變化”求“積累”就是積分問題。 7. 微積分是抽象與具象之間的取捨：在分析數據時，“測量分辨率”的選擇取決於分析的目標，分辨率選擇的過高，會帶來很多“噪聲”，導致“光滑度的崩解”，反而提高了不必要的分析難度。當然分辨率太低也會忽略很多有用的數據，導致分析結果失真。抽象的意義在於忽略噪聲，抓住重點。抽象的弱點在於損失細節，分析失真。微積分的哲學不追求完美主義，而追求抽象和具象之間恰當的平衡。如果，輸入的變化X ➡️ 輸出的變化Y1 + Y2 + Y3…。輸出的變化是體現爲一系列從重要到不重要變化量的加總。所以，研究輸入和輸出變化的關係，要根據研究目標來判斷需要保留多少最重要的前面的Y，而忽略其他的Y。 8. 微積分證明了“虛構的產物”能夠以非虛構的方式深刻的影響着我們的世界，社會和生活：上到揭示天體運動匯率，中到無線電技術，雷達技術，導航系統，下到微波爐，體檢X光，病毒研究和預測等等。牛頓的經驗演繹法 → 事實爲基礎 + 微積分爲推演手段 → 對未來的理性預測，替代形而上學的預測。它的出現讓人們掌握了一門理解宇宙的全新語言，也證明了宇宙是可以被人們理解的。 9. 微分方程：“在宇宙大戲中，數和形狀好像演員，它們被一種看不見的存在——微分方程的邏輯——默默操控着”。 “積分在現代科學中的應用主要體現在偏微分方程的建立、求解和解釋上。麥克斯韋方程組是偏微分方程，關於彈性、聲學、熱流、流體流動和氣體動力學的定律也是偏微分方程。這樣的例子還有很多，用於爲金融期權定價的布萊克–斯科爾斯模型[插圖]，以及用於描述電脈衝沿神經纖維的傳導過程的霍奇金–赫胥黎模型[插圖]，它們都是偏微分方程。” 10. 微積分+：微積分理論的演化和未來 “微積分可以由它的信條來定義：在解決關於任意連續體的難題時，先把它切分成無窮多個部分，然後一一求解，最後通過把各個部分的答案組合起來去解決原始的難題。我把這個信條稱作無窮原則。從這個角度看，微積分是用於研究任何事物——任何模式，任何曲線，任何運動，任何自然過程、系統或現象——的想法與方法的龐雜集合，這些事物的變化平穩而連續，符合無窮原則。” “微積分+”囊括了它的子孫後代：多變量微積分，常微分方程，偏微分方程，傅里葉分析，複分析，以及高等數學中涉及極限、導數和積分的所有其他分支。 微積分是一種數學工具，“微積分+”更是一種哲學思想和體系：1. 認爲這個世界是無窮小離散體組合而成的連續體。2.認爲通過理性演繹，離散體和連續體的變化是可預測的。 作者預測未來幾年圍繞微積分可能有幾個重要趨勢，包括： · 微積分在社會科學、音樂、藝術和人文領域的新應用； · 微積分在醫學和生物學領域的持續應用； · 應對金融、經濟和天氣固有的隨機性； · 微積分爲大數據服務，反之亦然； · 非線性、混沌和複雜系統的持續挑戰； · 微積分與計算機（包括人工智能）之間不斷演化的合作關係； · 將微積分推廣至量子領域。

一本揭示數學與宇宙深刻聯繫的傑作。 史蒂夫·斯托加茨以深厚學識、清晰敘述以及詩一般的語言，帶領讀者穿越微積分的發展歷程，展現它如何成爲人類理解世界的重要工具。 自然這部偉大的著作是用微積分語言寫就的。書中深入探討了微積分破解的三大宇宙謎題：曲線之謎、運動之謎和變化之謎。 從阿基米德用窮竭法計算圓周率，到牛頓、萊布尼茨創立微積分描述行星運動，再到愛因斯坦用場方程揭示時空彎曲，作者生動描繪了這些科學突破如何從根本上改變了我們對自然的認識。 創造力是直覺的產物，而理性姍姍來遲。 微積分就是在用無窮來研究有窮，用無限來研究有限，用直線來研究曲線。這種思想的力量不僅在於其數學美感，更在於它能夠解釋從蘋果落地到星系運行的各類現象。 當我們凝視圓的時候，圓實際上也在注視着我們，因爲它們就在我們所愛之人的眼睛裏。 斯托加茨特別強調了直覺在數學發現中的重要性。微積分的發展史不是嚴謹邏輯的線性推進，而是由科學家的想象力引領的冒險。伽利略通過觀察提出運動規律，牛頓憑藉直覺發現萬有引力，都是先有洞見後有證明。這種對科學創造過程的真實刻畫，讓讀者感受到人類智慧的光輝。 同時，本書還展示了微積分與現代科技的深度聯繫。從麥克斯韋預言電磁波到現代醫學影像技術，從計算機動畫到航天工程，微積分無處不在。“如果沒有微積分，人類就不可能發明電視、微波爐、移動電話、GPS。”這些成就不僅彰顯了科學家的偉大，也體現了數學作爲基礎學科的巨大價值。 這本書提醒我們，最抽象的數學思維往往能產生最實際的應用，而對知識的不懈追求正是人類文明持續進步的根本動力。

不要被書名嚇退！！！這不是一本晦澀、枯燥的工具書，而是一本通過降維解讀、讓普通讀者也可以感受微積分魅力、感受數學之美、感受思考之美的科普類好書！微積分不只是一種數學解題方法，更重要的，它是一種化難爲簡、分而治之的思維方式，用無窮研究有窮，用無限研究有限，用直線研究曲線。 一、【初識微積分：1+2+3】 1、微積分思維的1個原則：無窮原則。微積分的思路關鍵在於“把複雜問題重新拆分爲無窮多個簡單部分”，分析這些簡單部分逐一求解，然後把結果組合起來，就能理解最初的整體問題。利用無窮思維來解決複雜問題，是自古以來最棒的想法之一。在極限和無窮的幫助下，離散和連續實現了轉換。線可以看作由無窮多個距離很近的離散的點組成；圓可以看作正無窮多邊形；離散的像素可以構成連續的畫面，快速播放的離散的靜態幀可以形成流暢的動態視頻。 2、微積分包含2門學科：微分學+積分學。微積分解決問題分兩步，先切分後重組。切分過程涉及無限精細的減法運算，以量化各部分的局部變化，這是微分學；重組過程涉及無限的加法運算，把各部分整合成原來的整體，即積分學。 3、微積分研究3大難題： 曲線之謎：曲線被顯微鏡無限放大後，局部會近似於直線，所以曲線可以看作由無窮多個無窮小的直線組成。 運動之謎：如果時間足夠短，速度變化會很小，所以變速運動可以看作由無窮多個無限短暫的勻速運動組成。 變化之謎：每一次質變的背後，都是由無窮多個看起來沒有變化的局部量變組成。 二、【微積分的發展史】 瞭解一門知識的發展史，有助於找到學習這門知識的高效路徑。本書用幾個沉迷於思索自然宇宙之謎、並找到部分答案的閃光人物，串起了微積分2500年的發展歷程。 1、微積分思維的鼻祖-阿基米德，爲求圓形面積，他把圓近似爲正無窮多邊形；爲求弓形面積，他把弓形看成由無窮多個無限切分的三角形組成；他把幾何圖形想象成由挨在一起的無窮多條長短不一的平行線組成，並天才般的利用重心和槓桿原理來比較和計算不同幾何圖形的面積，在腦海中給幾何圖形“稱重”，令人印象深刻。 2、由於阿基米德的思維太過超前、疊加手稿遺失等問題，其開創的用極限和無窮小方法來精確計算曲線面積、變速運動等涉及“連續變化”問題的方法，陷入了停滯。直到他去世1800年後，伽利略和開普勒重新撿拾起這套方法，而且他倆都跳出了阿基米德的靜態世界，進入到對動態速度的研究，不過一個是研究地球上的運動，一個研究天體運動： ①伽利略通過巧妙精確的科學實驗，發現自由落體運動的加速度非瞬時達到最大值，而是在有限的時間內進行無窮多次的平穩加速。 ②開普勒通過計算發現，所有行星都在橢圓軌道上運行，而太陽位於橢圓軌道的一個焦點，他採用阿基米德的方法，把單位時間內行星圍繞太陽運動掃過的扇形面積看作三角形，發現“行星以不恆定的速度運行，但在單位時間內掃過的面積相等”。 3、費馬和笛卡爾的解析幾何，將代數與幾何結合，發現了利用代數找到曲線最大值最小值和切線的方法。 4、牛頓和萊布尼茨，把關於運動和曲線的思想拼湊在一起，分別通過自己的途徑創立了微積分。 ①牛頓把時間t引入幾何，把曲線下方的面積看作隨時間流動的量，通過將曲線轉換成冪級數，系統性的求解出它們的面積，對曲線下方的面積求導就是曲線，對曲線求導就是曲線的斜率。 ②萊布尼茨獨立地發展了一套強大且直觀的符號系統（dx，df，∫），成爲現在微積分的主流語言。 在微積分的指引下，宇宙的邏輯得以被更清晰的書寫。常微分方程、偏微分方程...數學在解決複雜問題方面的能力越來越強大。 越讀至最後，捨不得讀完的情緒越重。這本書重新喚起了我對數學純粹之美的興趣，喚起我對那一位位用“無窮小”思維探索“無窮大”自然宇宙奧祕的巨人的景仰。

因爲父母的關係，我在小學時，便意外知道了關於這個世界的，一個天大的祕密。 我的很多同學都不相信它，但因爲我的父母是領域內的權威，讓這個纔不過十一二歲的少年堅信，他們要比我的同學們更加接近於真相—— “世界上的物理和數學定理，從最根本來說，都是無法解釋的。甚至包括宇宙本身，也同樣如此。人類對於自然的一切發現，都如同英文詞典一樣，當你查閱過所有的詞彙後就會發現，這些詞彙全部在互相解釋對方，而沒有一個真正的根源存在。宇宙，或許，無法離開其中的任何一個最微小的部分，否則，它便會瞬間崩塌。” 沒有人知道爲什麼，萬有引力會存在；沒有人知道爲什麼，這個宇宙會從一開始就擁有了支持生命誕生的物理定律；更沒有人知道爲什麼，微積分似乎可以解釋世界上的絕大部分已知事實。 但是，事實就是事實，這意味着，它們就是存在，而完全不以個人意志爲轉移。 抱持着這樣的信念，我開始了我在理工科領域的人生。 我拿到了很多的獎項，數學的、生物的、藝術的，以及，我最引以爲傲的——物理的。 我是在20XX年參加的物理奧賽，這場考試對於我來講，是非常意外地，我拿到了國二的獎項。 爲什麼我會感到意外呢？ 因爲，我其實很多道題都沒有寫出來最終的答案。我的計算能力一直不足，但是空間想象力一直都異乎尋常地強大。 我可以在打遊戲時，輕鬆地記住整張地圖，以便於推演所有敵人可能的行動；我在旅行時，導航地圖看一遍就可以正確地走下來，在重慶從來沒有迷過路；我在很小的時候，就可以準確地以背誦的方式繪製世界地圖。 在這一方面，我有天賦。 但是，在數理邏輯領域，我是有嚴重缺陷的。我在相當長時間內，都無法理解數學和物理之間那種極爲清晰而明確的邏輯。或許是因爲，我的父親，是應用物理學方面的專業人士，才挽救了我的物理考試能力，但無論如何，在我上大學以前，我所能理解的數學與物理，常常都只是——物理如天籟之音一般；數學則一直都是，糾纏在一起的耳機線，並且，隨時都可以自己莫名其妙地再次纏上。 因此，當我在參加考試時，我沒有抱有任何希望，但還是要盡力——我幾乎只能把所有的精力，都用於文字之上。我用最笨的方式，人類語言，描繪了太陽、地球、木星和木星的衛星間，複雜的天體運動。我又用人類的語言，描繪了電路圖裏羼雜的關係網。 哈，一聲拜拜，遠去這自然語言！ 我以爲我不會獲得獎項的，可誰也沒想到，那年的題實在太難，以至於，那些專注於計算的學生，絕大部分都沒能算出結果。在形式上，我和他們是一致的，甚至，在這種情況下，寫公式還不如寫文字更有可能保持過程的正確性。 就這樣，我的履歷上多了一條，在很久很久的時光裏，我都認爲，不應屬於我的成就。我引以爲傲，卻無力對其做出有說服力的解釋。數學和物理對於我來講，是一種具象的感受，對於我來說，把它們用數理抽象工具講清楚，實在是太難太難。 直到，在讀大學之後，我從修辭邏輯開始，逐步拓展到形式邏輯與辯證邏輯的領域，在歷史（祖母的領域）、社會學（祖父的領域）、物理（父親和外公的領域）、生物學（母親的領域）、哲學（家族的合集）、以及我的領域——電氣工程及其自動化、信息技術與傳播、環境史和教育學，還有自己假期所修的其它學科的混雜——在花了十多年時間，終於讀完了博士之後，我方纔完全理解了，數理邏輯，究竟意味着什麼。 一出大戲，徐徐拉開：這一切的起點，同時分佈在四個地方——古蘇美爾與古埃及，古希臘與古印度。 蘇美爾人和埃及人，作爲大河文明，他們要清晰而公平地劃分土地，以解決稅收問題。這是幾何與算籌的起源，而雅利安人馴化的戰馬與發明的輪子，則將戰馬戰車引入了蘇美爾、埃及與商王朝，從而引發了人類第一輪，對圓的深刻研究。 古希臘人，是最早的海洋文明。出海只能依賴於年輕人，雅典由“世界各地”的年輕人們聚集而建立，這是人類歷史上，第一座真正意義上的世界性移民都市。 這些年輕人背景迥然相異。他們各自的海島文化中，對世界的解釋天差地別，而由於大海阻隔，又難以像大陸文明一樣，消滅那些不同的，對世界的解釋。 這造成了雅典最早的年輕居民們，都是天生反建制反權威者，他們組建了公民大會，發揚了辯論精神，將對真理的解釋，包裝爲和體育競技一樣的軍備競賽。 科學詩人們，在整個希臘文明世界所蔓延，從畢達哥拉斯到歐幾里得，從芝諾到阿基米德，無數人類最早期的、真正意義上的學者們，在科學領域前仆後繼。而蘇格拉底、柏拉圖之類的人物，則用強大的思想武器，支撐起了希臘人的公民社會的基礎。 人類與自然，同一羣精英們走上的兩條看似相反的道路，卻形成了一種相輔相成的關係，它構成了古希臘哲學的整體——即，探索與實踐的有機結合。 而在古印度，雅利安人殘酷的軍事種姓制的化身——婆羅門教，帶來了一套所有人都終生無法逾越的神界武器——梵。它規定，人不僅在人間有種姓，連每一種種姓的神也都是有種姓的，並且，當人類死亡後，靈魂也將永遠困於種姓之中。種姓，永世不可更變。印度社會的髒亂差的根源，恰來自於此——徹底地對現實的絕望與放棄。 最終，在孔雀王朝橫空出世前不久，達羅毗荼人和剎帝利種姓都受夠了婆羅門的殘酷統治。他們發動一場大規模的哲學政變——六師外道與印傳佛教。這些宗教，和其它一些當時的吠陀時代的哲學流派，在多數情況下都對婆羅門的核武器——梵——進行了精確打擊。 其中，尤以佛教理論爲中國人所熟悉——緣起性空。佛教強調，不但人間的種姓制不存在，靈界的種姓制也不存在。而且，靈界不但種姓制不存在，靈界本身就是空的。 世間一切，都是由這空而來；諸法空相，凡所有相，皆是虛妄，若見相非相，即見如來。而這個空，要怎麼表示呢？ 當伊斯蘭人在波斯文士與突厥鐵騎的戰爭機器下，攻入北印度後，他們發現，這個“空”，居然有一個專門的符號——0。 很快，印度人表達1-9的數字，還有這個專門表示空的符號0，都一起傳入了伊斯蘭建立於巴格達的，人類中古時代最偉大的學術機構——智慧宮（以及後來的尼扎米耶大學），這裏收集和翻譯了當時世界上能找到的全部學術資料，從希臘羅馬，到埃及印度，再到中國、乃至日本與高麗。 這裏有來自整個歐亞非的留學生們，曾有的大量中國學生，在這裏讀書。現代人類社會中有規模恢弘的知識與技術，都來自此地在五百年間的觀測、研究、發明與創造。 終於，智慧宮中的一位來自於大名鼎鼎的花剌子模帝國本土的年輕人，花拉子米（名字含義爲：來自花剌子模的人；爲波斯語名），在浩如煙海的帝國文庫中，發現了那些印度數字。 他親自將0也列入了數字之中，從而有了0-9，也纔有了“阿拉伯數字”。後世很多人詬病伊斯蘭人盜取了印度人的數字，實則不然，如果不是有波斯人花拉子米的革命性創造，印度數字很可能也會永遠被淹沒於歷史的長河。 隨後，花拉子米將阿拔斯帝國境內外，所有他能找到的數學資料，全部集大成爲了知名世界的，《代數學》。0和《代數學》，成爲了微積分革命，所絕對繞不開的基礎，它是笛卡爾與費馬、牛頓與萊布尼茨，都必須熟知的常識。 而當蒙古帝國的西征大軍，橫掃向整個西亞的伊斯蘭文明後，伊斯蘭人規模恢弘的科學技術知識，只能向西方大流散，最終，多數抵達了西班牙。而此時，相對於當時的伊斯蘭文明來說，更爲野蠻的法軍，即將成功攻陷安達盧斯——伊比利亞半島的伊斯蘭名。 最終，位於西班牙科爾多瓦的龐大圖書城中，足以媲美當時整個歐洲藏書規模的古老文本，流入了歐洲。在經歷了黑死病的重創後的歐洲，羅馬教廷的權威在此時一落千丈，而在同一時期流入歐洲的，這些伊斯蘭文本，便令文藝復興瞬間爆發、啓蒙運動即刻醞釀。 整個現代醫學制度，最初都照抄自伊斯蘭。鐘錶等精密機械，同樣如此。而數學研究和天文研究，也同樣如此。 此後，真性情的伊爾可汗旭烈兀，大手一揮，花費帝國半年稅負，只爲在馬拉蓋山上，拔地而起一座天文城，由穆斯林天文學家圖西，帶領着來自中國、印度、波斯、阿拉伯、埃及、亞美尼亞等地的數百名天文學家，觀測星空長達十三年之久。最終，《伊爾汗歷》橫空出世。馬拉蓋數據文本的抄本流傳至歐洲，並在三百年後，出現在了波蘭的一座小城中的，一位小人物的面前——他便是，哥白尼。 多年後，另一位人物，同樣拿到了這份已經歷經四百餘年，卻依舊比第谷的數據還要精確的文本，他便是，開普勒。 從這裏開始，接下來的故事，各位在書中都曾看到過。 我講這些，是想說明，科學的誕生是一條無比漫長的艱辛之路。它並非簡單地誕生於歐洲，它所驗證出的數理邏輯，也同樣並非是歷史故事所能完全講明的。有人可能會詬病說，我怎麼沒有提到中國，因爲，篇幅有限。 中國在歐亞史上的重大作用，是以對遊牧帝國的強烈衝擊所展現的，在此不再展開。 接下來，讓我們跳過牛頓，直奔數學之路上的另一處戰場——近現代的數學家內戰。 數理邏輯哲學，是把物理和數學之間的那扇門、連同牆一起炸掉，然後站在廢墟里問起一個在人類歷史中，已迴響近四千年的終極問題：爲什麼純粹的邏輯推演，竟然能統治物質世界？ 這不是修辭，這是過去150年來最硬核的哲學戰場。參與者包括：希爾伯特、哥德爾、圖靈、愛因斯坦、維特根斯坦、彭加萊、惠勒……幾乎所有20世紀最強大的頭腦，都在這片戰場上打過仗、流過血。 現代以來，發動這場大戰的，正是希爾伯特，也是我的《中國邏輯學之死》的高校課程中，至爲重要的開端： 1900年，希爾伯特提出了著名的“23個問題”，其中第2個問題是：“證明算術是無矛盾的。” 他的真實野心是“希爾伯特計劃”：把所有數學完全公理化（用最少的公理把一切數學嚴格定義）；證明這套公理系統是完備的（能證明一切真命題）和無矛盾的；所有這些證明，必須是純粹形式化的、可被機械檢查的。 換句話說，他想把數學變成一臺巨大的邏輯計算機，只要輸入問題，就能自動吐出“真”或“假”。 這被稱爲數學的“邏輯主義終極夢想”：數學 = 純粹邏輯。 如果這一點能夠實現，它將超越微積分的解釋極限，而成爲整個物理學的終極抽象解。它的背後，並非簡單的數學理論研究，而是當時的世界主流哲學思潮——第一次世界大戰之前，即將達到登峯造極的新古典主義哲學。 這是一場圍繞於康德式的“絕對理性”的哲學思潮，其中的任何一個流派，從黑格爾到馬克思，從叔本華到尼采，他們都在試圖找到世界的唯一真理解。這樣的思潮，在當時的物理學上有着越來越清晰的例證——微積分幾乎可以描述物理學的一切表現形式，如果不能，那麼幾乎註定是人類在物理層面的觀測出現了問題，而不是公式錯了。 可是，在1931年，這個第一次世界大戰結束後，世界已深深陷入痛苦的現代主義哲學思潮的時代，一位25歲的年輕人，哥德爾——同時向數學、物理和哲學，扔出了兩顆超級核彈： 不完備性定理Ⅰ： 在任何足夠強的、相容的形式系統中，存在真但不可證的命題。 （也就是：有數學真理，但永遠無法在系統內部被證明）。 不完備性定理Ⅱ： 這樣的系統無法證明自身的無矛盾性。 （也就是：你永遠無法用系統內部的工具證明“我不會自爆”）。 哥德爾的證明方法本身就是一種極端暴力美學：他發明了“哥德爾編碼”，把“語句談自己”這個邏輯悖論，轉化成了純粹的算術命題。 結果就是： “這句話無法被證明” → 變成了一個具體的整數 → 在系統內部既真又不可證。 這一刻，希爾伯特的夢想徹底碎了。 數學不可能被完全邏輯化。 永遠會有“漏網的真理”。 而在1936年，第一次世界大戰前夕，出於對學生時代的同性戀人，克里斯托弗的強烈的愛，天才計算機科學家圖靈，把哥德爾的理論抽象爲了“圖靈機”，然後證明了停機問題不可判定：不存在一個通用算法，能判斷任意程序在任意輸入上是否會停機。 這不僅終結了希爾伯特計劃，還直接導致了現代計算機的誕生（圖靈機就是計算機的數學模型）。 更殘酷的是： 哥德爾說“有些真理無法證明”，圖靈說“有些問題連計算機都算不出來”。 人類理性，遭遇了雙重暴擊。 宇宙並非完全可理解的——愛因斯坦的名言，成了悖論——因爲宇宙的可理解性，所以人類發現，宇宙是人類最強大的自然工具，邏輯，所不可理解的。 更要命的是，物理學自己也開始動搖了。當後現代主義開始勃興，薛定諤的《我的世界觀》正在頻頻刊印之際，物理學又跳出來補刀：宇宙本身，就是不完備的—— 量子力學：測不準原理 + 波函數坍縮 → 宇宙在根本層面拒絕確定性描述；混沌理論：對初始條件極端敏感 → 即使是經典牛頓力學，也存在不可預測的現象（三體問題長期不可解，龐加萊圖）；奇點定理（彭羅斯-霍金） → 廣義相對論自己預言了自身的崩潰（黑洞奇點、宇宙大爆炸奇點）。 約翰·惠勒（費曼的博士導師）甚至直接喊出了那句最著名的口號：“It from Bit”（萬物源於比特）。 他的意思是：物理現實的終極本質，可能就是信息和邏輯本身。 宇宙不是“存在的東西”，而是一臺巨大的量子計算過程。 當然，就像牛頓的鐘表宇宙，瓦特的蒸汽機宇宙，或《聖經》時代的上帝的天書一樣。惠勒對宇宙的抽象描繪，或許只是人類認知侷限性下的，對宇宙的又一個具象化描述罷了。 結果就是，現在數理邏輯哲學，分裂成了三個死硬派： 柏拉圖主義（彭羅斯、馬克斯·泰格馬克）： 數學世界是獨立存在的“第三世界”（既不是物理也不是精神）。 我們不是發明數學，而是發現一個早已存在的結構。 宇宙之所以“通數學”，是因爲宇宙本身就生活在數學世界裏。 形式主義（希爾伯特殘黨）： 數學只是符號遊戲，只要無矛盾就行。 它能描述物理只是“意外的有用”（尤金·維格納稱爲“數學在自然科學中不合理的有效性”）。 建構想主義/直覺主義（布勞威爾後繼者）： 數學是人類心智的產物，不存在“客觀的”數學真理。 哥德爾定理只是證明了“無限”這個概念本身有問題。 但無論是哪一個數理邏輯的死硬派，都面臨着這些，我們可能永遠無法回答的終極悖論： 爲什麼哥德爾句子“恰好”是真的？ （我們憑什麼相信系統外的“直覺”比系統內的證明更可靠？）；數學的有效性是發現的，還是被物理世界“篩選”出來的？ （泰格馬克：只有通數學的宇宙才能存在？）；如果宇宙是一場計算，那麼計算的“硬件”是什麼？規則從哪來？ 所以說，微積分只是冰山一角，有很多內容，斯托加茨應該是擔心讀者們搞不明白，因而乾脆沒有講，而是將對終極悖論的絕望，寄託於像阿爾法零之類的模型黑箱中。畢竟，無論最抽象的終極理論有多麼嚴重的衝突，微積分在應用物理方面的重大作用，仍然是永恆的。 所以說，斯托加茨講的牛頓、萊布尼茨、愛因斯坦……那只是故事的開頭。 真正的故事是： 人類用純粹的思考，造出了一把刀。 這把刀不僅能切割現實，還能切割“可能性的空間”本身。 但當我們把它磨到最鋒利時，突然發現—— 刀刃上還刻着一行小字：“此刀不可完全自證，且不可預測自身是否會斷裂。” 這就是數理邏輯哲學的終極暴力美學。 我們用理性證明了理性的侷限， 用邏輯證明了邏輯的不完備， 用數學證明了數學的不可計算性。 然後我們站在廢墟上，抬頭看星空， 發現星星仍在按照400年前牛頓所寫下的方程運行。 這可能是人類有史以來， 最接近神性的荒誕時刻吧。 不管怎樣，今晚南洋的星空之上，仍然是衆星捧月，雲淡風輕，這是我在寫完這篇書評後，專門去了門前的庭臺上去看的。 爲了什麼呢？ 爲了多年前，斯托加茨在寫完全書時的那個夜晚，所看到的冬夜的星空吧。 這讓我不禁想把最近寫過的一首詩刊於此處，以作對在窄門前窺探到上帝的書房後的，感觸： 今宵月掛露疏桐，人待黃昏後。 雲沉山前山後明，三兩星火螢。 暮光皚皚月溶溶，表裏俱澄澄。 人攀明月不可得，月行與人同。 《乙巳年十月十五·侗水觀山月》 南洋新居 乙巳年十月廿三 A.W.

宇宙是高度數學化的，但原因尚無人知曉。這或許是包含我們在內的宇宙的唯一可行的存在方式，因爲非數學化的宇宙無法庇護能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神祕且不可思議的事實是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達出來。這類方程能描述某個事物在這一刻和在下一刻之間的差異，或者某個事物在這一點和在與該點無限接近的下一個點之間的差異。儘管細節會隨着我們探討的具體內容而有所不同，但自然律的結構總是相同的。這個令人驚歎的說法也可以表述爲，似乎存在着某種類似宇宙密碼的東西，即一個能讓萬物時時處處不斷變化的操作系統。微積分利用了這種規則，並將其表述出來。        艾薩克·牛頓是最早瞥見這一宇宙奧祕的人。他發現行星的軌道、潮汐的韻律和炮彈的彈道都可以用一組微分方程來描述、解釋和預測。如今，我們把這些方程稱爲牛頓運動定律和萬有引力定律。自牛頓以來，每當有新的宇宙奧祕被揭開，我們就會發現同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到新近的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無生命的東西都遵從微分方程的規則。也許這就是費曼說“微積分是上帝的語言”時想要表達的意思。如果有什麼東西稱得上宇宙的奧祕，那麼非微積分莫屬。        人類在不經意間發現了這種奇怪的語言（先是在幾何學的隱祕角落裏，後來是在宇宙密碼中），然後學會熟練地運用它，並破譯了它的習語和微妙之處，最終利用它的預測能力去重構世界。        誠如斯托加茨在結尾中對微積分的感嘆:我是在一個晴朗的冬夜寫下這篇結語的。走出家門抬頭仰望，遙遠的星星和漆黑的太空讓我不由地心生敬畏。         作爲飄浮在一箇中量級星系中的一顆微不足道的行星上的一個無足輕重的物種，智人是如何成功預測出，在距離地球10億光年之遙的浩瀚宇宙中的兩個黑洞相撞後，時空會發生怎樣的震顫呢？我們早在引力波到達地球之前就知道它的聲音應該是什麼樣子了。而且，多虧有微積分、計算機和愛因斯坦，我們的預測是正確的。        引力波是人類有史以來聽過的最微弱的耳語。在我們成爲靈長類動物之前，在我們成爲哺乳動物之前，甚至在我們還是微生物的時候，這種輕柔而微小的波就已經開始朝我們漾來。當它在2015年的那一天抵達地球的時候，因爲我們正在傾聽，也因爲我們通曉微積分，所以我們才能聽懂這輕柔的耳語意味着什麼。         即使人類在大自然面前如此渺小，甚至是微不足道，卻能夠不斷地突破“坐井觀天”的侷限，通過各類工具(哲學、神學、數學、天文學、物理學……）去探索世界，探索文明。未來世界何其多樣，智人又何去何從？微積分又是怎樣發揮它的作用，去解讀未知的奧祕，讓我們拭目以待吧!

《黑天鵝》作者納西姆·尼古拉斯·塔勒布對這本書的評價是：“高能預警：這是一本危險的書。它會讓你愛上數學，甚至有可能把你變成一位數學家。” 是的，這是一本關於微積分如何幫助人類探索自然和世界、展開科技發明和創新，從而推動人類文明進程的科普讀物，它也是一本講述阿基米德、畢達哥拉斯、牛頓、伽利略、開普勒等鼎鼎有名的人物如何解開了曲線之謎、運動之謎和變化之謎的科學史著作。 在人類文明進程中的這些具有里程碑意義的發明和發現背後，微積分究竟扮演了什麼樣的角色？圍繞曲線之謎、運動之謎和變化之謎，畢達哥拉斯、阿基米德、伽利略、開普勒、牛頓、萊布尼茨、愛因斯坦、薛定諤等如何用微積分的“鑰匙”打開了宇宙奧祕之“鎖”？這些謎題的解決方案對人類文明的進程和我們的日常生活又產生了什麼樣的深遠影響？ 在《微積分的力量》書中，應用數學家兼“導遊”斯托加茨將用一種“講故事”和“看展覽”的方式爲你一一揭曉答案。“我們不必爲了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必爲了享用美食而學習如何做佳餚一樣。我將藉助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋你們需要了解的關於微積分的知識。我也會給你們介紹有史以來頗爲精緻的一些方程和證明，就像我們在參觀畫展的時候不會錯過其中的代表作一樣。” 因此，哪怕你對數學及其在這個世界上扮演的角色只有一點點好奇心，也請你讀讀這本令人驚歎的書。教師、學生、你和我，都會因爲這本書而受益匪淺。

看到書名的時候，我就知道我會遇到困難，而實際上也是如此，每當遇到不懂的專業知識時，手上莫名就會出現一個動作：滑動關掉微讀。心裏也很清楚，那只是暫時的逃避，問題依舊擺在那裏，書已經寫成，你不讀壓根不會對它有什麼影響…再三催促下，我還是一次次撿起了它。 要問爲什麼會想讀這本書，還是源於自己的遺憾吧，大學並未系統的學習過高數，但後來也在宋浩（義父）、張宇（宇哥）的課程裏對高數有了印象。數學很難，難到很多東西我沒辦法理解：麥克斯韋方程、傅里葉級數、熱傳導方程、薛定諤方程……可以說，我只是在書中和他們簡單的碰撞了一下 至於爲啥我大部分不懂依舊給出推薦，還是因爲書裏有很多東西是可以學習的，摻雜了一些趣味知識以及最重要的：我們學過老師從未進行過講解的、那些被我們認爲理所當然的東西。有時豁然開朗，有時迷惑不解，這就是數學的甜與苦吧。在這裏見到了很多老熟人：阿基米德、伽利略、開普勒、牛頓、萊布尼茨、愛因斯坦、費馬……也有很多新名字，記不住了，正是因爲有了他們，纔有了現在的我們。 微積分的路還太長，其中不乏很多未解決、或者已經解決卻有可能被推翻的，我們像一個小小的螞蟻，在窺探世界的奧祕，這就是人類的偉大吧。 我的路依舊很長，從某方面來看，我和它一樣，未來是未知的，前方有很多東西在等着我，所以，我要往前走了。

一、微積分是神靈的語言 微積分建立在宇宙奧祕虛體上，無窮。它的意圖是把繁複的難題化簡。 在某種意義上，微積分的定義：對連續體進行切分與重組，量化局部，是微分的責任。量化整體，是積分的任務。 艾薩克牛頓，宇宙奧祕的參悟者。他發現，行星軌道，潮汐韻律，炮彈飛翔，都能用一組微分方程來描述、解釋和預測，即牛頓運動定律和萬有引力定律。 從最古老的土、氣、火、水，到新潮的電子、夸克、黑洞、超弦，這些宇宙奧祕都符合微分方程。因此，費曼說：“微積分是神靈的語言”。 二、畢達哥拉斯起點 公元前550年左右，畢達哥拉斯學派陶醉於由整數比支配的音樂，作出了萬物皆數的預言。 三、迷霧重重的中途跑 三個謎題激勵微積分的發展，曲線、運動、變化。三個悖論阻着微積分的發展，二分法、阿基琉斯與烏龜、飛箭不動。 四、阿基米德，極限，第一頂皇冠 阿基米德經常洗澡，直覺很好，他融合數學物理，統一理想現實，合衆爲一，求出圓周率數值，邏輯上破解曲線之謎，爲微積分戴上第一頂皇冠。 五、伽利略和開普勒，第二頂皇冠 伽利略和開普勒繼承阿基米德的方法，在直覺範疇將物體切成無窮薄的片狀，伽利略用拋體、鐘擺、斜面實驗證明了，神靈用微積分牽引地球上的運動。 開普勒的橢圓軌道、等時間等面積、公轉週期三大定律證明了，神靈用微積分語言牽引天體運動。 六、笛卡爾費馬座標系，大舞臺 費馬與笛卡爾論辯時，建立平面座標系，提出最小作用量原理，在解決最大值和切線問題時，費馬離發現導數僅有一步之遙，可惜最終擦肩而過。 七、牛頓與萊布尼茨，第三頂皇冠 牛頓站在巨人肩膀上，命令代數、幾何與物理服從他，構建出前所未有的綜合體。 一般而言，變化方式符合三種模型：上升、下降、波動，而函數是通用建模工具，如線性函數、平方函數、指數函數、對數函數、自然對數函數等，它們共同召喚着遲來的導數。 導數的性質是用函數而非數字描述變化率。變化率是兩個變化的商。 常見的導數有：速度，加速度，坡度，斜率，白天的長度等等。速度是距離的一階導數，加速度是距離的二階導數。 獲得導數這把利器，咱們就能直面微積分的三個大題了，正向問題，已知一條曲線，求它各處的斜率。反向問題，已知一條曲線各處的斜率，求這條曲線。面積問題，已知一條曲線，求曲線下方的面積。曲線求積問題的難度較大，是微積分的聖盃。 面對曲線求積，牛頓的直覺建模是一個流動擴大的面積，不妨藉助油漆滾筒模型加深理解。牛頓使用了常人難及的徒手計算能力，得出圓和雙曲線優美的冪級數，而冪級數是雕刻牛頓綜合體的瑞士軍刀。 萊布尼茨的直覺建模依賴着和與差，不妨藉助樓梯模型加深理解。一部分結論由萊布尼茨單獨得出，另一部分則是他從牛頓嘴裏巧妙的撬出來的。 八、愛因斯坦也拿不出來的虛體 愛因斯坦等後世科學家，早已突破了牛頓和萊布尼茨劃下的圈，推動微積分學取向前走了很遠很遠。然而，強如愛因斯坦，他也不能用繩子牽着一個小東西，大聲告訴咱們，快來看啊，這是我的新寵，它叫無窮小。 無窮，仍然是不可見的虛體，神靈的默示。