像數學家一樣思考

#《像數學家一樣思考》 #科普名家經典 這本書很有趣，講了22個數學邏輯，但我讀得比較匆忙，有些細節沒有細細品味（否則一個月都讀不完），希望後面再二刷。 數學，特別是數論，是人類純粹理性令人驚歎的展現。2000多年前，歐幾里得就用簡明扼要的反證法證明了存在無窮多個質數，其證明之美實在可以稱得上是人類文明的瑰寶。 本書也講了不少段子，摘錄一個如下: “上帝不可能擁有大學教席的原因： · 只發表過一本著作。 · 有些人懷疑不是他自己寫的。 · 世界有可能是他創造的，但在那段時間他都做了些什麼事？ · 科學很難重現他所做出的實驗結果。 · 他幾乎沒現身在課堂上，只叫學生讀他的著作。 · 他把自己的頭兩位學生開除學籍了，理由是他們會學習。 · 他沒有固定的面談時間，有的話大部分也都在山上舉行。”

爲什麼說‘極值原理’能幫助找到最優解？ 在數學與最優化理論裏，所謂“最優解”就是“在滿足所有約束條件下，使目標函數達到最大或最小值的那一點”。因此，只要我們能把問題轉化爲“求某個目標函數的極值”並找到該極值點，就同時得到了最優解。極值原理之所以能幫助找到最優解，主要體現在以下三個層面： 1. ​​數學等價性​​：最優解 ⇔ 極值點。 • 當目標函數一階可導且約束寫成等式或不等式時，極值點就是梯度爲零（或爲鞍點）的平穩點；二階導數（或 Hessian 矩陣）正定則說明該平穩點是嚴格局部極小點，從而成爲最優解。 2. ​​算法與計算的橋樑​​： • 線性規劃單純形法、非線性梯度法、分支定界、啓發式搜索等算法，本質上都是“尋找極值”的過程。分支定界可以在小規模問題中精確找到全局極值；啓發式方法則在大規模問題中用近似手段快速鎖定接近極值的可行解。 3. ​​問題簡化與直觀判斷​​： • 在具體應用中，先假設最優情形（例如“最大值 m”）並分析其極端性質，往往能把搜索空間大幅壓縮。以書中選首都的例子：先找出道路最多的城市 M，再通過極值假設證明它滿足首都條件，整個推理因“極端情形”而變得簡潔明瞭。 綜上，極值原理提供了“把最優解問題轉譯爲極值點問題”的理論基礎，也給出了“如何系統搜索、判定並逼近極值”的方法論，因此能夠幫助我們在各種約束條件下高效地找到最優解。

翻譯掩蓋了背後的光輝，推薦尋找原版

《像數學家一樣思考》核心主旨：徹底打破“數學=公式計算、刷題解題”的刻板認知，提出數學思維是一套可遷移至生活所有場景的通用理性工具，核心是清晰、嚴謹、結構化地看待問題，無關數學天賦，普通人都能通過訓練掌握，以此規避直覺謬誤、高效拆解難題、做出理性決策。 一、數學思維的核心原則 1. 先明確定義，再展開討論 生活中絕大多數爭執、無效溝通，都源於概念模糊。如同數學先界定研究對象，思考任何問題前，先釐清關鍵詞的內涵與邊界，杜絕模糊表述。 2. 質疑一切前提，不盲從權威與常識 不默認既定觀點、經驗直覺爲真理，先驗證前提是否成立，很多錯誤決策的根源，是接受了未經檢驗的假設。 3. 抽象剝離細節，抓住問題本質 捨棄無關緊要的細枝末節，提煉問題的核心模型，把複雜現實問題簡化爲可解決的基礎問題，是破解難題的關鍵。 4. 邏輯線性推演，拒絕思維跳躍 從可靠的前提出發，一步步嚴謹推導，不被情緒、碎片化信息干擾，形成完整無漏洞的邏輯鏈。 5. 善用反例證僞，識破絕對化謬誤 面對“所有、一定、必然”等絕對結論，只需找到一個反例即可推翻，快速辨別僞科學、雞湯與片面觀點。 6. 拆解複雜問題，化繁爲簡 將龐大、棘手的難題拆分爲若干小問題，逐個突破，對應數學的化歸思想，降低思考與執行難度。 7. 接納近似與不確定性 不執着於追求絕對完美的答案，數學本身也存在近似解與概率思維，生活決策重合理邏輯，而非極致完美。 8. 識別規律模式，學會類比遷移 通過歸納尋找事物共性，將成熟的思維模型遷移到新場景，用已有經驗高效應對未知問題。 二、全書核心結論 數學思維的本質不是計算能力，而是理性思考的底層框架。 它能幫我們擺脫認知偏差、理清混亂問題、減少無效內耗，無論是日常決策、職場工作還是人際溝通，這套嚴謹清晰的思考方式，都是普通人提升判斷力與解決問題能力的核心工具。

作者學歷是數學博士，職稱是數學教授，具有一定的權威性。

能夠成爲數學家的十大徵兆： ·看到e時，會先想到一個數，然後纔想到字母。 ·精通希臘字母，但不懂希臘文。 ·可以靠着手指計數到1023。 ·曾經嘗試用反證法說服交通警察，你的車並不是停在禁止停車區。 ·如果要看漂亮的圖片，寧願找一本關於碎形的書來看，而不是去看色彩繽紛的週刊。 ·知道幾何級數的極限值，但不知道自己的腰圍大小。 ·看到分數這個詞的時候，不會先想到考試。 ·你知道：老數學家永遠不會死，只是失去了一些功能（function）。 ·認爲複雜化可以把事情變簡單。 ·讀完上述這些，但沒笑出來。

2022-08-11 有沒有人能查到作者的初高中來頭，我覺得像是搞過數學競賽的，而且不是大學數學競賽的那種，數學題講得比《陶哲軒教你學數學》還要多種多樣，而我們知道陶哲軒15歲出的首作就是上面提及的競賽入門引導。 本書的圖片和公式等的編輯那叫一個直呼過癮，數學本來就有無聲的證明一說，圖片比文字就更是無聲無字了，雖然還是有很多我看不懂的地方，但不影響我給它好評加油，如果搞初高中數學競賽的同學，可以多讀讀算算書中舉例習題，和作者比較一下答案思路，哈佛博士的數學神威在此接受挑戰。 pls: 讀完我想稱書名爲：《由數學題引發的思考》。

作者介紹瞭解決各種問題的思路，但舉的例都挺難的，初看時根本想不到解決辦法。書中的圖都被省略了，影響了理解。有的公式被胡亂的排版給弄得支離破碎。所以不推薦讀這本書。

這不是一本適合普通讀者的書， 更加適合於數學專業或者有相當數學基礎的人。

思考的方式比較新奇和友好。但電子書很多圖形和方程表述不清楚。還是應該看紙質版的。