燒掉數學書：重新發明數學

這是我見過的講數學最好的書，沒有之一。如果我在讀高中時看到這本書，大學一定會選數學專業。下面說下這本書的亮點： 1.讓我意識到了數學是最不需要死記硬背的，死記硬背是學習的毒瘤，我們真正要掌握的不是具體的知識或者結論，而是思考的能力。只要我們具備思考能力，我們就能從無到有的自行推導出所有公式，因此根本不需要死記硬背。死記硬背最大的壞處就是它無法處理新局面，換個新問題就不知道該如何解決了，自己過去在初高中死記硬背的解題套路對提升自己解決問題的能力毫無幫助，反而還有害。如果我們具備像作者那樣的思考能力，就能自己發現生活中的新規律，不需要依賴別人去發現自己想知道的規律。總而言之，我希望自己成爲像作者那樣有深度思考能力的人。 2.數學的唯一真理就是我們可以隨意的定義縮寫，只要我們描述的是同一個規律，不管用什麼符號，它們都是等價的。不同符號之間的差異就好像中英文之間的差異，雖然“hello”和“你好”看起來不同，但它們表達的其實是同一個意思，用數學家的話來說，這叫做“同構”。 3.在解決數學問題的過程中，我們會碰到很多等價的公式，它們都可以解決問題，但是有些公式比另一些公式更容易求解。就好像條條大路通羅馬，但是有些路比另一些路更好走。這也讓我意識到了要學會多嘗試幾種看問題的角度，多思考不同的方法，不要在一條走不通的路上鑽牛角尖。用作者的話來說，雖然不同的公式之間是等價的，但是它們在心理上並不等價。 4.我們人類其實並不擅長使用符號思考，包括一些名垂青史的大佬，他們也沒有使用符號和公式思考，他們也是用母語思考，等到他們用母語思考得出某個結論後再將母語翻譯成公式和符號。我對此感同身受，當我看着數學符號時，我會犯迷糊，不知道從何入手，但是一旦將這些符號翻譯成我熟悉的母語，問題就變的非常簡單了。這讓我意識到了，以後自己不要使用數學符號去思考，而是要使用母語思考，然後再將其翻譯成符號語言。數學和我們說話的語言一樣，都是一種語言，我們之所以發明數學，是爲了更好的表達我們在生活中觀察到的規律。數學家發明的各種縮寫，比如求和的符號，積分符號，求導符號只是爲了方便書寫而已，符號本身並沒有什麼意義，它們只是一種表達自己想法的工具。如果我們對其他數學家的符號感到不滿，完全可以發明自己的符號，然後利用自己的思考和推導得出等價的規律，雖然使用不同的符號可能會讓同一個規律看起來不一樣，但實際上說的是一回事。 5.數學家的工作和設計師很相似，那就是先想好自己想要什麼效果，然後再想辦法實現這個效果。就好像建築師在動工前會畫好設計圖，然後再想辦法完成設計圖上的設計。也有點像最近流行的“以終爲始”的思想，先確定自己的目標，然後再看看有些方法可以實現目標，最後再結合具體情況從這些方法中選擇最合適的方法。書中經常會用到這個方法，作者會先確定想要得到什麼樣的公式，然後再看看有沒有辦法拼湊出自己想要的公式。 6.我很贊同作者在書中提到的，我們只能理解自己發明出來的東西。這讓我意識到了最好的學習是模擬前人遇到的問題，然後踩着前人的腳印去思考問題，接下來嘗試用自己的方法去解決它，也就是作者所說的前數學，用更流行的說法是：“重複造輪子會讓你對輪子有更深刻的理解”。我希望自己在將來的學習中能夠掌握作者在書中用的這種方法，那就是通過自己動手創造來理解新事物。 7.作者提到的絕大部分令人困惑的概念是有毒的，對此我非常贊同。它們只會破壞所有人使用數學的樂趣，比如正弦，餘弦，平方根，立方根這些概念應該通通扔進垃圾桶。爲了挽救自己對數學的熱愛，我們最好只使用自己喜歡的概念和符號。

這是我讀書的心理路程，我也沒有我會把讀完，下面都我閱讀過程中真實的感受，也許以後我會整理成專門的長評，但現在就讓這個評論陪還在書外面觀看的你，一起看看我走的路吧 2024.8.11（週日） 現在看到300頁（手機版本微信閱讀）左右，我們通過多項式發明了初步的微積分，真的大受震撼，我丟，原來數學看起來想吐的符號是前面偷懶進行的縮寫，而縮寫前的意思就是加減乘除，當時就是被符號嚇到了，也沒有找到數學的意義。 還好現在我有點耐心，接着往下看吧 看到382頁 複合函數求導？複合個鬼啊，書上確實定理很漂亮，語言很簡潔，但是腦子要轉幾道彎，通過作者的方法，不就✖️1再約掉嗎？講的很清晰，對於自學的人真的是打破心中的枷鎖。啊啊啊啊啊 2024.8.18（週日） 我回來了，目前看完第一遍，我認爲對於有一點點基礎，然後想學習的人，這本書真的很棒，因爲他從一年級加減教到了大學偏微分，講的很清晰，證明過程很全，看到中間AM型捕獲機器，dx/dy=0，d（x+y）/dy=1時我不能理解，看的我吐血，幾乎要放棄，回到繼續對於數學畏懼和無知的狀態。 但是我去搜索爲什麼，後面幾經輾轉在知乎搜到了《終點又回到起點（數學學習 039）》，這個作者對於這個過程進行了詳細的解讀，明白了原來dx=C（常數），C'=0。 我接着向後看，原來偏微分只是一個機械的變形，從輸入一個得出一個機器變爲輸入多個得出一個機器。沒有想象中那麼恐怖嘛！ 接着往後就是無窮層面的積分了，和向量結合在一起，你看到別害怕，因爲作者講的很詳細，你可以看懂的。 如果你想學數學，有一個問題，薄的數學書，講的簡潔，你不知道他是怎麼推導的，想到快瘋了都想不出爲什麼所以你看不下去； 厚的數學書，讀剛剛開始覺得太簡單了，不符合你知識水平，同時太厚了，讀起來沒有成就感，沒有快速征服的快樂。 那麼，我想問，你還有機會去接觸數學嗎，就想爬山豎直上爬一樣，沒有臂力不行，盤山公路嫌遠不走，那就永遠在在山腳下吧。 這是寫給當時的我的，因爲之前看數學，知識沒有串聯在一起，看到半路，難度太大了，放棄了；好在現在的我堅持看完了第一遍，真的原來數學是數學家幫助我我們更簡單的理解公式，到後面是讓問題越來越簡單的。 在看第一遍學習中，我學到了，原來現在學習的知識不是數學家一次就發明的，也是不停的試錯試出來的，但是數學書上刪掉試錯的過程，導致我們無法理解爲什麼這個就變成這樣，他怎麼想到的，有一種強烈的挫敗感，，好在這本書會帶我們一起經過試錯找到答案的過程，原來數學也是可以出錯的。出錯後找到更好的數學。 “發明數學的過程就像在迷宮中大人牽着手帶我們走路，雖然有可能出錯，但是大人總能接着往下去試，找到正確的方向 我們能去學習的這種思維嗎？而不是一開始就想要正確的答案是什麼，我們能，也可以去試的” 好的，第一次的讀完評論就到這裏了，我準備再看一遍，因爲已經知道了書的結局，數學沒有那麼難，但是過程中一些式子還是不太會推，再看一遍，自己再發明一遍，謝謝作者牽着我的手帶我觀光了數學迷宮，讓我發現自己也可以再次獲得挑戰迷宮的機會，謝謝，謝謝，謝謝

我想這本書讓我徹底明白了e,ln(x)是怎麼來的，讓我瞭解了數學中那些陌生的符號背後的含義。所以在數學探索中，性質先於本質，也許很多時候我們無法理解這個數學概念到底是什麼，但爲了讓它有我們想要的性質，我們在萬千定義中，選擇了一個。 這是一本想了解數學的一本入門書，如果數學也曾讓你感到困難和痛苦，不妨從讀這本書看起，也許一會開始一段從虛空中創造數學的一段旅程。 對我來講，這本書是一個起點，我將從這本書出發去創造更多的數學。感謝作者，讓我有了一段快樂的數學之旅

如果你足夠聰明或者遇到過好的數學老師，這本書可以合上了，因爲你是幸運的。 如果你沒那麼幸運，不妨潛心讀一讀，一定會有不少收穫。雖然有不少地方作者有些無聊和囉嗦。 有人說作者使用了大量的“同義替換”來說明解釋問題，這樣做簡直是“化簡爲繁”、“多此一舉”。 對此作者也表述的很清楚： “如果想鍛煉出對數學的深刻理解，能將歷史偶然從邏輯必然真理中分離出來是最重要的技能之一。事實上，這本書上的許多非標準做法的目的就是將必然從偶然中分離出來。大部分數學——標記、術語、對其進行探索時的形式化程度，以及課本上講述其內容的社會傳統——這些都可以改變。但就算這些全都改了，還是會有一些基本的真理會留下了來。那些基本真理，無論表述成什麼樣子，都構成了數學的真正精髓，也只有在將一切偶然剝離開並改頭換面之後，我們最終才能看到底下這些不變的真理”

十分讚賞作者要把數學從嚴謹抽象的形式世界拉回鮮活具象的現實世界的動因和嘗試，同時我喪失了讀完的迫切性，作者細碎嘮叨的敘述風格不適合我。此書的心意，與大數學家柯朗寫的《什麼是數學》如出一轍，但後者脈絡分明，讀感流暢舒適，每每捧在手中靜思都有新的感悟。 這本《燒掉數學書》標題驚世駭俗，受過互聯網常年坑害毒打的朋友們大多會警覺性地標記它是又一本爲引流而不擇手段的標題黨。可萬一錯過呢，於是我試着讀了開頭，從作者的自述中，瞭解到他的經歷和動機。作者在回顧的時候也承認當時年少氣盛，起名"燒掉數學書"是魯莽之舉。他還是數學專業高材生的時候，也免不了覺得數學實在過於嚴謹枯燥，處處是形式證明。於是他萌生了讓數學回歸趣味的想法，帶着讀者從零開始，一起重走一遍數學之路，什麼固有的符號書寫全扔掉，什麼形式性概念全扔掉。可謂勇氣可嘉，就如同大物理學家費曼說的他理解不了現有的量子力學，於是自己重新發明了一遍。偶像圖靈也有這樣"重新發明"的習慣。我並不質疑“重新發明”學習法的巨大功效，不過你我畢竟不同，我"重新發明"的東西，對你來說可能只是又一個"難以理解"的東西，你只好"重新發明"專屬於你的東西。此書敘述的方式，對我來說是"難以理解的"。它的目錄就給我一種亂糟糟的感覺，彷彿是小孩子的塗鴉，什麼"機器"，"錘子"，"怪獸"，"誘騙數學"，即使書頁翻近過半，偶爾從書中驚覺作者的小心思，但回到目錄索引上依然茫然不知所措，章與節之間有着怎樣的有機聯繫呢？他在書中刻意迴避正規的書寫符號和概念，用圓形，三角形和方形等替代變量x，y，z，把"函數"稱爲"機器"，把一些有用的結論當作基本工具稱它們爲"錘子"等等，我個人並不覺得更好理解了，反而有閱讀障礙。把"函數"當作"機器"是不對的，它們的共同特徵是任一個"輸入"都有唯一的"輸出"，你把2放進平方函數f(x)=x*x裏，它就會吐出4，你把蘋果放進榨汁機裏，它就會吐出蘋果汁。但是數學上的函數是一個靜態的映射關係，它告訴我們2與4是以平方的方式對應起來的，它就在那，永恆地掛在宇宙的黑板上，不生不滅。2的平方等於4不需要經歷任何時間，只有當我們想知道2的平方等於幾的時候才需要時間把它算出來，映射是永恆的，運算才需要時間，榨蘋果才需要時間。而且我們在做平方運算的時候，並沒有把2作爲原料，把它榨掉吐出了4，無論運算多少次，2還在那裏，4也在那裏。而機器運作的方式則是喫掉"輸入"，吐出"輸出"，你把蘋果放進去，蘋果就沒了，得到一杯蘋果汁(可能還混進潮溼的空氣異味)。整體上，作者的陳述事無鉅細兜着圈子來來回回地磨蹭，好比明明讀者的疑問只在A，B兩個選項，他搞出A，B，C，D四個選項，然後原地繞圈如果C會怎樣呢，D會怎樣呢，哦，原來C和D行不通，我們就剩下A和B啦，一番自言自語後得出正確答案B。可C和D過於明顯，一開始就不是問題的啦。 《什麼是數學》沒上架，不要緊，我有實體書哈。引用柯朗的序言”除非學生和教師設法超越數學的形式主義，並努力去把握數學的實質，否則產生受挫和幻滅的危險將會更甚“。斯圖爾特的再版序言"它的目標之一是反擊這樣的思想'數學不是別的東西，而只是從定義和公理推到出來的一組結論，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數學家根據自己的意志隨意創造'，如果這個說法是正確的話，數學將不會吸引任何有理智的人。它將成爲定義、規則和演繹法的遊戲，既沒有動力也沒有目標。簡言之，這本書想把真實的意義放回數學中去。但這是與物質現實非常不同的那種意義。它的意義不存在於形式的抽象中，也不存在於具體的實物中，所謂的非現實的現實性 "。這正是一度沉迷形式主義而視數學爲形式遊戲的我的慘痛寫照，後知後覺。謹記"所有的數學命題最終應歸結爲關於自然數的命題，這一點已成爲了現代的指導原則"，是所有的數學命題。"幸而數學家不必去討論從具體對象的集合轉化到抽象數的概念的哲學性質。因此，我們把自然數其及兩種基本運算-加法和乘法當作已知的概念接受下來"。自然數以及加法和乘法的真實，不是你我桌面的那隻杯子，那隻蘋果的那種真實，它是類似顏色般的真實("顏色"如"杯子"都是名詞)，我們直覺上可以感知自然數的存在，它們的存在是客觀的，它們不是任人捏造的虛構詞語。

花了幾天時間時間翻閱完，大受震撼，因此想好好寫一篇書評，梳理一些思路，同時也希望有更多人能從本書獲益。 學習數學最重要的能力是什麼？在我看來，至少有三種: 第一，重複勞動帶來的自律，解決難題帶來成就感，對於大多數人而言，數學唯有勤做題才能帶來成果，這是提高成績唯一的方法，也符合量變引起質變的規律，而這種自律若養成，會成爲以後工作極爲重要的能力之一； 第二，數學帶來的邏輯思考能力，這一點有助於人在思考問題時，表達演講時，更有條理性，如從論點，論據，事例證明三段，基本會形成一個金字塔形式的思維結構，因此，數學對於養成一個人的思維方式有較大影響，這也是工作所需能力之一； 第三，對於將來研究數學的人而言，或者有志在空間和時間的哲學範疇有所突破的人而言，數學背後的思想是極爲重要的，是連接形而上與形而下之間的橋樑，或許會成就一個基礎突破也未可知。 現在返回到本書，先從整體而言，作者的目的是顛覆傳統數學的教學模式，思維習慣，破開符號表面的幻像，直擊符號背後的數學思想。認識論告知我們，必須經過感性認知到理性認知，而現在的數學課堂，通常都是直接從理性邏輯開始教學，唯有一些應用題可能會返回到感性認識或者叫做直覺認知，所以本書作者，就從最簡單的設定，加上一些直覺認知，通過邏輯關係推導出從初中到研究生都能用到的一系列數學知識，實現了他所說的“前數學”想法，即告訴讀者當初人類爲了解決一個問題，是如何進行思考的，又是如何一步一步得引入不同符號來把這種思考的結果形式化。也實現了一個從簡到難的認知過程。 可喜得是作者提到的幾個基本思想都非常簡單，只要是稍微有點數學基礎的人，都可以讀懂，比如描述二維空間長度的勾股定理，可以把一系列常數展開成加法和乘法的多項式，解決彎曲問題從而引進的放大思想，放大以後再引入無限小思想，從單元微積分，到多元微積分，再到變分，背後的指導思路全部都是一個簡單的思想，即(一個方向的微小變動量)/(另一個方向的微小變動量)，所有複雜的問題都可以化成單元的解決方案，這就是本書最精彩的地方，它去掉了所有的常見符號，只留下一個最本質的東西，比如很多性質上一樣的東西，不過是換了一套馬甲，從而導致人們從心裏上認爲它們不同。 另外一個重要的思想是，利用數學的性質去定義數學，或者在數學的定義裏已經隱含它的性質，二者不可分割，最不可思議的是，這個性質是人爲規定的，是人類爲了選取更符合美學性質，如對稱、簡潔等原因而選擇的，儘管在規定以後它可能會衍生出很多規定之外的內涵，但是確實從最開始，人就是爲了簡化計算量而選擇的一種形式，或許這就是數學不可思議的地方。 本書往深裏說已經牽扯到空間的本質，因爲在把三位的“長度”，即空間距離推廣到n維的過程中(比如各個維度的方向都是垂直的，也許想象不來)，雖然只是一種類比，但並沒有證明，儘管這種類比看起來是舒服的，符合人類認知的。構建於此的數學究竟會在基礎物理裏起多大作用，不得而知。或許將來會有所突破。 學校裏學得數學，有一大部分就是解題技巧，都是在邏輯的圈子裏打轉，有時會通過變換不同的符號起到很大的迷惑性，但這並不是最根本的，關鍵在於，如何真正理解符號背後在說什麼。這一點，作者至少盡力在說明了。 本書有的部分似乎有些廢話，就當是一種調節，而且這是作者第一次寫書，國外人寫科普類的書，有時會有這種特色，電子書有些符號印錯了，特別是上標，上劃線等，讀得時候如何有疑慮，不妨看看是不是印刷錯誤導致的。 綜合看來，有微積分基礎的看起來會更輕鬆，學過泛函和變分的，看完也不會再對那些頭疼的符號頭疼，高中生可以閱讀到多元微積分前面，如果可以再深入，可以截止到變分，最後一章牽扯到向量，多維空間還有泛函分析，可能會有些難度。 祝大家讀後數學越來越好，學理科的也可從中吸收作者考慮事情的思想，靈活變通。 天佑中華，福滿人間。

不知道作者哪來的自信，竟然取名爲燒掉數學書？太差了！如果能打負分，我願意打負分！不是將原來數學書中的定義重新改幾個名字，就能使數學本身更容易理解，把函數取名爲機器，把求導叫錘子，我覺得本書寫得像個錘子！換幾個名詞，反而使原來簡單的公式定理更難理解了。這本書完全是不合格的科普圖書，故弄玄虛大而無當。科普書應該化繁爲簡，而不是化簡爲繁，本書是反面典型！以下是我在書中的一段點評，幾乎反映了我對此書的總體評價。“不太認可作者的觀點，這是數學中著名的歸納思維，發明函數表達式是有高度的抽象歸納思維的。作者爲了區分不同的函數表達式，每一個都用一個新的字母表示，這樣囉嗦無當，就會有無窮無盡的函數字母。相比較而言，發明函數表達式的萊布尼茨比作者高明多了！”

這本書非常好，揭示了數學被創造出來的過程，這種創造的過程遠比瑣碎的事實陳述要重要，大部分的教科書都是在不斷地灌輸數學知識，死記硬背，讓人感覺數學是複雜，無聊，天才的遊戲。他們總是試圖讓學生感覺自己愚蠢，不聰明，反覆強調一種學習的順序，學習的基礎。 但是，拋卻那些古怪而無聊的考試題目，數學本身是簡單而有趣的，每一個人都能夠根據自己的經驗去發明數學概念，因爲數學就是從生活中來的。 我感覺這本書適合掌握了加法和乘法後的所有階段的數學學習者閱讀，當然，閱讀時很重要的一點，不要把他當做教科書，而要視爲一本行動指南。 思想是不可能通過別人灌輸而獲得的，必須通過自己的思考和行動來感受他。

這本書表達的一箇中心想法就是“數學背後蘊含的思想非常簡單和有趣，而基礎教育使用各種繁雜的符號和表述掩蓋了這種數學之美”。爲了說明這個想法，作者將各種慣用的數學符號使用自己捏造的符號重新表述，從最簡單的加法和乘法出發，使用直覺型的推導方式，“發明”出了微積分甚至變分法。這本書最大的優點就是聚焦於數學公式背後的思想而沒有囿於細枝末節，作者反覆告訴我們的就是，這個公式看起來很複雜，但是背後表達的東西誰都能搞懂，爲了強化這一點，作者使用非常詼諧、有趣、吐槽式的寫作手法將內容放在類似於童書的對話式結構中。這些給從小就害怕數學的我極大的激勵，這讓我想起考研時看着張宇老師的考研數學網課重學了一遍高數，他也是儘可能地用有趣的玩笑和形象的比喻讓我們克服對數學的恐懼情緒。我認爲作者和張宇老師都是真正熱愛數學的理想主義的教育者。雖然如此，本書的缺點也很明顯，來自作者的無意義碎碎念太多了，而且說實話作者寫小說文筆並不好（不知道是不是翻譯的問題），除去數學思想的對話部分，給人一種絮絮叨叨的感覺。瑕不掩瑜，總的來說，這本書給我很多的啓發，我願意推薦給所有對數學有興趣但是敬而遠之的讀者。

這本書的確不怎麼樣，但這本書的作者理解數學的方式非常好。 我相信對於剛開始從頭學數學的小孩，學這本書的比學課本的能更靈活的看待數學問題，但是對於已經接受了課本體系的小孩或者成人，沒有太多實用價值。換句話說，這本書可能是真的數學渣渣的武林祕籍，唯有真渣渣學了可能纔能有奇效。由於轉換成本過高，不是渣渣或者不打算認真看了教渣渣反而很難看進去。但是這本書的作者的自圓其說，自成體系的理解方式值得借鑑。 不過從另一方面看，雖然我們數學平均水平很高，即使是數學不好的也比一般的外國人好，但是外國人喜歡寫這類書，而且我認爲能寫出這類書的人理解了數學的本質。在相同的高水準的數學知識儲備下，誰對這些知識理解得越透徹，越成體系，誰就能更好的運用知識。 不得不說，外國人在“把知識變成自己的”這方面值得學習，想一想，我們對於概念，定義，性質，定理能不能用自己的話而不是課本的話描述呢？能不能形成體系呢？能把數學課本的客觀中立體系變成個人化理解體系，自圓其說，這一點能做到的人也不多吧。 這本書應該至少能啓發我們關注這些問題：怎樣避免成爲應試教育下的流水線產品？如何在填鴨教育下保持自己的思考和理解？什麼是自己的思考和理解？