數學女孩5：伽羅瓦理論

伽羅瓦15歲時候開始接觸數學，17歲開始寫論文，20歲的時候因決鬥死去。 書裏的一段話本身就可以作爲推薦語，摘抄如下： . . 兩個世界。 從這個世界到那個世界架設橋樑。 在這個世界不容易解決的問題，可能在那個世界很容易解開。 數學真是奇妙。 伽羅瓦理論把數學以最美的形式展現給我們。  . . 我忽然察覺， 外面的天色已暗。 我被米爾嘉動員來參加伽羅瓦節。 這個讓我盡情享受伽羅瓦第一論文的活動已經結束。 假期也接近尾聲。 爲什麼我們終將面臨“結束”呢？ . .  伽羅瓦。 伽羅瓦面對問題， 在 17 歲時寫下論文。 但是我—— 我有正視存在的問題嗎？  . . “好痛！” 有人忽然往後拉我的耳朵。 一轉頭，發現是米爾嘉站在我的身後。 “原來你在這裏啊。”她坐在我旁邊，身上散發着柑橘的香氣。 “嗯。”我搓着耳朵回答，“剛剛在發呆。” “這樣啊。”她喝了我剩下的咖啡。  . . 我的身邊有米爾嘉。 米爾嘉的身邊有我……至少現在是。 但是我——  . . “你的興趣是哭喪着臉嗎？” 米爾嘉湊近臉龐。 “我纔沒有這種興趣。” 我不自覺縮回身體。 “你總是用‘但是我’來打擊自己。”米爾嘉說。 “我只是覺得自己什麼都沒做成。” “你不是伽羅瓦。”米爾嘉小聲說。 “我又不是天才……好痛！” 我被她的手肘戳了一下。 “你不是其他任何人。”她小聲說，“你是你自己。” “即使我什麼都不會？”我小聲說。 “你不是在這裏嗎？” “但只是在而已……” 這時我默不作聲。  . . “他還不到 21 歲。”  . . 決鬥前夕。 伽羅瓦一邊大叫着沒時間了，一邊拼命書寫。 寫給未來的數學家。  . . 沒有時間。但是我—— 沒有時間。所以我—— . . 我期待有人能解開我在這裏書寫的潦草又難以理解的一切， 並讓它進一步發展。 ——埃瓦里斯特·伽羅瓦 命運不允許我活到讓我的國家記住我的名字， 所以請你們記住我吧。 我會作爲你們的朋友死去。 ——埃瓦里斯特·伽羅瓦 認真記筆記： ✎羣的定義（公理化定義） 即滿足四個羣公理的稱爲羣。 G1　運算具有封閉性。 G2　對任意的元素而言，結合律成立。 G3　存在單位元。 G4　對於任意的元素，存在此元素的逆元素。 ✎論羣之重要性：羣是天才伽羅瓦留給我們的遺產，爲了掌握方程的形式，伽羅瓦創造了羣的概念。這個遺產由後來的數學家整理歸納成公理。 ✎羣的基數也成爲羣的階。 ✎S₃是三次對稱羣。 ✎ S₃：是S₃自身的子羣，是三次對稱羣。（所有對稱性的可能，組成的一個新的系統，系統自身仍是對稱的？） C₃：三階循環羣。對應於等邊三角形的“旋轉”，只要旋轉 3 次 120°即可恢復原狀。（週期對稱？）逆元素則是旋轉 -120°。（輪換對稱？）（週期對稱可以表示成一系列輪換對稱的乘積） C₂a，C₂b，C₂c：二階循環羣。對應於等邊三角形的“翻轉”，只要翻轉 2 次即可恢復原狀。差異在於翻轉時使用的對稱軸不同。（反射對稱？）（輪換對稱可以表示成一系列反射對稱的乘積） E₃：單位羣。只有一個元素。（反身對稱？） ✎：S₃的子羣共有 6 個，這是S₃的特徵之一。 ✎循環羣：用一個元素生成的羣。 eg:C₃＝｛[231]¹，[231]²，[231]³｝，C₃是由[231]這一個元素生成的羣。[231]叫做C₃的生成元。 ✎阿貝爾羣：交換律成立的羣稱爲阿貝爾羣，也叫交換羣。 ✎C₆：6階循環羣。在‘不可以翻轉’的規則下旋轉的正六邊形。這個羣的生成元經過 6 次旋轉後會恢復原狀 ✎S₃是對稱羣，C₆是循環羣，二者基數都是6，但S₃不是循環羣，故二者不是同一類型。依據是：S₃無法用一個元素生成整個S₃。即：C₆是循環羣當且僅當C₆中所有元素可以用一個元素生成。 ✎不把數只當成數處理，不把形式只當成形式處理，不把功能只當成功能處理，而是在羣的名義下將這一切整理在一起處理。 我們不單單要用羣來計算數，還要把羣當作掌握結構的道具。通過羣，我們可以統一表示數、形式與功能。 圖形的旋轉或對稱性可以用算式書寫和計算。我們把移動圖形視爲積；把重複相同的操作視爲冪運算；把重複同樣的步驟繞一圈恢復原狀的集合視爲循環羣。 ✎與正十二邊形共有頂點的正多邊形，它們的頂點數是 12 的約數。 思考共有頂點的正多邊形就等於思考結構 ✎1 的n次方根：n次方等於 1 的數 1 的原始次方根根：n次方後第一次等於 1 的數 ✎複數域內因式分解與分圓多項式 ✎共軛的解共同擁有方程這個軛 ✎用代數方式解方程，關鍵在於因式分解。做因式分解，必須釐清用哪個域來思考。如果是包含方程的全部解的擴域，方程可以因式分解成一次式的積。方程論就是域的理論。 ✎線性空間——方程與域 費馬大定理——代數與幾何 （代數與分析） 哥德爾不完備定理——形式與意義 在三等分角問題——作圖與數 ✎域是可以進行四則運算的集合，在裏面添加元素，會形成擴域，這是域擴張的方法之一。 ✎線性空間是滿足“向量與標量的乘法”與“向量之間的加法”的集合。用線性獨立的向量組成線性組合，可以表示線性空間的任意元素，並且爲唯一的表示方法。此線性獨立的向量集合稱爲基，基集合中的元素數稱爲維度。 ✎擴域可以視爲線性空間，此時的維度稱爲擴張次數。 ✎ [Q（√3）:Q]＝2（有理數域的二次擴張） [Q（√5）：Q（√5）]＝1 [Q（√2，√3）：Q]＝4（有理數域的四次擴張） ✎ ●不會不懂裝懂 ● 找出不懂之處 ● 保持不懂的感覺 ● 找出不懂的理由 ● 豎立不懂的旗子 ✎擴張次數的積的定理。也叫鏈式法則。 通過添加幾個數所形成的擴域的擴張次數’等於‘一個數一個數添加的各擴域的擴張次數的積。 ✎x⁴-10x²+1是√2+√3在域Q上的最小多項式 ✎共軛的數總會在一起。但共軛的數不一定屬於相同的擴域。因爲都不一定在域擴域內。 eg：x³-2＝0的三個根³√2，³√2ω，³√2ω²，後二者不屬於Q（³√2），因爲此內爲實，而二者爲復 ✎關於三等分角問題π/3是反例 ✎Q（cos20°）/Q是三次擴張（沒看懂） ✎用線性空間的維度定義的擴張次數等於最小多項式的次數。作圖是個幾何問題，它涉及方程、三角函數與代數，又與整數論密切相關。數學滲透在各個領域。在“用直尺與圓規無法三等分 60°”的證明中，竟然會出現“因爲 3 不是偶數”這個事實。 ✎正規擴張是域擴張的一種，當擴域L恰好是K[X]中某個多項式的分裂域時，稱L/K爲正規擴張。有限擴張B/F是正規的，當且僅當B的F-自同構個數等於[B:F]，此時伽羅瓦羣的子羣與中間域一一對應。 （等價表述：假設最小多項式有一個根屬於擴域，其他根也一定屬於此擴域。 這樣的域擴張稱爲正規擴張。） ✎在思考方程的可解性時，我們建造了兩座塔。 它們分別是“域塔”與“羣塔”。 ✎五次及五次以上方程有根式解當且僅當方程的伽羅瓦羣是可解羣。

我要悄悄學好數學 成爲一個酷酷的幹倒數學的女孩 (題記) 作者寫得這系列《數學女孩》真的很詼諧易懂！不過易懂非易懂也。 很新穎的主題，如果你也被標題和封面深深吸引，不妨大膽翻開，每一個章節前面都有一段美極了的引言。那應該也是我們心心念念尋求的點吧！

2025.02.28 這本書要每個地方都看明白的話不算容易。 即使前面的內容我都試圖弄明白了，但是最後關於爲什麼五次及以上方程不能以代數通式解方程的結論，我看完後也還是不太明白，可解羣、正規子羣等這些內容的深入理解看來還是得以後深入瞭解下羣論纔行。 整本書最讓我印象深刻的是找x¹²=1的解的內容。一開始跟着作者一起去不停地做因式分解，費很大勁找到了12個根，但是後來發現，居然x¹²=1的12個根，就是內接於單位圓的正12邊形12個頂點的座標！而根據歐拉公式，更是可以直接寫出這12個根分別是1,cos30º+isin30º,...,cos330º+isin330º！這個結論實在優雅。 總之看的過程中有很多驚喜，我會陸續看下作者其他書的。

“伽羅瓦理論”對於我目前掌握的數學知識來說是超綱的，最後一章的證明我更是硬着頭皮才堅持看完，並且跳過了關鍵證明部分。本來我計劃通過進一步學習尋找突破點，在查閱資料的過程中，有位外國博主卻說“要完全理解伽羅瓦理論，至少需要深入學習‘羣’和‘域’兩門課程”，另有網友說“需要對‘羣’相關知識熟練掌握”，於是我意識到這並非是我短期內所能夠理解的，只能寄希望於往後的學習生涯。 然而，雖然不能把握理論本身，我在本書前半部分的閱讀中也再次體會到了數學之美，對於羣、環、域也有了進一步的認識。鬼腳圖、集合、羣、代數式、方程等不同的數學概念之間有着深層的聯繫和隱祕的規律，這些人爲定義的概念通過複雜的變化，彷彿擁有靈魂，在不斷的糾纏、碰撞中向着神奇的方向生長，最終演化爲一副完整的邏輯圖騰。 最後我不禁思考，究竟是人們發明了數學，還是數學本就在那裏，我們只是發現了它？

在數學旅程中隨處可見的兩個世界。 在費馬大定理中，這兩個世界是“代數”與“幾何”。 它們還可以是“代數”與“分析”。 在哥德爾不完備定理中，這兩個世界是“形式”與“意義”。 在三等分角問題中，這兩個世界是“作圖”與“數”。 而這次，這兩個世界是“方程”與“域”。 數學家喜歡爲兩個世界架起橋樑。 ——這也是我總是爲數學之美和數學家們的智慧深深折服無限傾慕之時。當兩個看似不同的領域被意想不到的方式連接起來，這種震撼與感動我永遠記得。

畫圖和計數是數學愛好者的基本功，示例是理解的試金石。 讀完此書，最大的收穫，莫過於此。所有學過近世代數的人，無不對其抽象難以理解，印象深刻。更令人難以接受的是，學完了羣環域，卻一頭霧水，不知所云。 物理學家、諾貝爾獎得主理查德/費曼名言：我想知道這是爲什麼，我想知道爲什麼/我想知道這是爲什麼，我想知道究竟爲什麼我非要知道/我想知道爲什麼/我想知道這是爲什麼。 其實，所有學習伽羅瓦理論的人都想知道，這個理論到底是做什麼的，又是怎麼做的，做這個事情有什麼用，等等。 只要思考上述問題，就必然涉及古老的方程及其解法，人類對未知數的不捨追蹤，正是前進的動力。隨着一二三四次方程的根式解的發現，五次及以上方程是否有一般根式解成了挑戰人類智慧的難題。單純考慮有沒有根式解其實似乎意義不大，難能可貴的是，人們從中得到意想不到的收穫，不僅順便解決千年尺規作圖難題，還爲其它學科提供了方法和工具。它再次告訴我們：提出問題真的比解決問題更重要。 本書自始至終告訴讀者，要理解抽象的數學概念，請畫圖。鬼腳圖，真的把置換用形象的圖表示出來了，特別是三條豎線的鬼腳圖把S3的六種置換一一表示出來，比起抽象的符號表示來，有豁然開朗之感覺。 計數真的很重要！伽羅瓦正是從羣、子羣、商羣的階中發現了方程有一般公式解的奧祕。 示例，更是理解的不二法門。我常常在想，能不能舉個最熟悉的二次或三次方程，說說它爲什麼有根式解。從簡單、特殊的例子中發現一般的結論和規律，是數學大家最拿手的本事。 伽羅瓦正如牛頓所說，之所以創立羣論，其實是站在巨人的肩膀上。 ①歐拉充分發揮其計算優勢，將一般五次方程變化爲x↑5+px+ q=0，離公式解僅一步之遙，但無功而反。 ②高斯分圓方程可解及代數基本定理，既解決了n次方程必有n個根的根的存在性問題，又指出了可解的充分條件。 ③韋達的根與係數的關係，揭示了根的某種對稱性，告訴我們，一切關於根的對稱多項式均可用係數表示。 ④拉格朗日預解式以及根的某種對稱性的思考，似乎離問題解決已近在咫尺，但卻失之交臂。 ⑤阿貝爾的域論，真的難人可貴。域，只是現在的說法，阿貝爾其實是對有理數集換了個說法，注意到至少含有0和1這兩個數的集合，關於加減乘除四則運算封閉而已！並不是象現在抽象代數課本中搞的那麼玄乎：可交換的除環，環是含加乘兩種運算，且關於加法成羣，關於乘法成半羣。阿貝爾的域，域的擴張，正規擴域，m型擴域，根域，分裂域等，硬是整出了五次及以上方程無一般公式解的結論，令人歎爲觀止。不能不指出，在不知方程根的情況下，擴域並不是一個簡單的事兒。 我猜想，如果沒有阿貝爾的域，一定不會出現伽羅瓦的羣！現在來看，羣並不難理解，如整數關於加法成羣，還是交換羣，但這有用麼？即便產生，也會很快消亡，因爲它真沒什麼用。 伽羅瓦的羣，就是方程的伽羅瓦羣，它是阿貝爾域上的羣，是一個置換羣，它的運算是合成。這個羣裏的每一個置換，都是一個自同構映射，什麼不變則已知，已知則不變，說的就是對域上的所有數施加作用，都不變，但對擴域中新增的數，則不盡然，將所有仍不變的置換留下來，構成子羣，即不變子羣，也叫正規子羣，對應的擴域，必爲正規擴域。天才的伽羅瓦正是看到了這個神奇的對應，將域的世界與羣的世界勾連起來，找到了方程根式解的祕密：方程可根式解的充要條件是方程的伽羅瓦羣是可解羣。只要商羣的指數爲質數，則必可通過添加方根，讓域擴大，此乃正規擴域，讓羣縮小，此爲正規子羣，直至能縮小爲單位羣，則爲可解羣，否則爲不可解羣。 羣論不僅完滿解決五次及以上方程不可根式解問題，還順便解決了困擾人類二千年之久的三等分任意角、立方倍積尺規作圖不能問題。懷爾斯的費馬猜想證明也應用了羣論。另外在物理化學等領域也得到應用，難怪近世代數課本搞的專講抽象的羣環域，讓學的人不知所以。 伽羅瓦真的改變了數學研究的方向，從以計算爲主轉變爲以結構爲主，正如他所說：Jump calculations，Group  the  operations.This，l belive，is the mission of future mathematicians.

離重溫《數學女孩4》並整理筆記有段時間了，但連續數月高溫&工作繁忙沒有馬上繼續，近日終於重溫完《數學女孩5》並開始整理筆記。手邊有英文紙本書對照著看，紙本書的公式排版比電子書好太多，依然覺得英文版讀起來比較沒有語言障礙，整理筆記我也主要參照英文版。 與前四本的筆記整理不同，這次我選擇不按照章節順序，而是我覺得合理的邏輯順序，之後《數學女孩6》也會採取一樣的做法。雖然故事內容的章節順序有它的合理性，但難免出現「開始一個數學新領域的基礎」之後過了好幾章「解決另一個看似無關的問題」再重新回來的現象，這一系列5和6給我的感覺尤甚，所以整理筆記我會用自己的邏輯重排章節順序。我梳理的新順序如下：先從第2章和第7章開始，這兩章圍繞二次方程和三次方程求根公式，內容相對簡單；接下來是第5章和第6章，這兩章內容相對獨立，分別討論三等分角的尺規作圖和引入緯度與線型空間的概念；餘下的章節再依序串聯「鬼腳圖」與「多項式方程係數解」的相關內容，即伽羅瓦理論的核心。與同系列其他書一樣，第10章的內容比較深奧，待整理筆記時再深入研究。

伽羅瓦定理對於非數學專業的人來說，太難理解了。我也是出於好奇，想了解爲啥五次方程無根式解，這一好奇就花了幾個月的時間。。。看書，查資料，問AI，看bilibili視頻，東拼西湊的瞭解了下來，伽羅瓦真是天才，不過應該也結合了很多前人的思考。這些資料看下來，覺得這個講的還是比較好的，相比其它資料，這本書更加平易近人。但老實說，我估計光看這本書是不夠的，這本書雖然簡單易懂，但忽略了一些重要的證明步驟，還是要結合一些視頻和其它書籍看，才能徹底弄明白伽羅瓦在講什麼。非常感謝這本書給我的幫助

非常淺顯易懂的文章，沒有複雜的故事也不是枯燥的說教深入淺出，對於業餘和興趣愛好者來說是個不錯的入門讀物。

雖然在最難最有分量的第十章，作者只是介紹伽羅瓦論文裏的引理和定理而未給出證明，但作者把伽羅瓦理論的思路框架還是梳理得比較清楚的。