愛與數學

第一本閱讀完的數學書《愛與數學》，作者富有激情講述了自己一路研究數學的美和堅持，一開始我很疑惑，數學和愛，怎麼會聯繫起來呢。但確實是數學是大愛，它包含了宇宙的客觀規律，那些看不到的背後規律。 這本書專業性很強，我讀不懂，但是沒有關係，我跳過去讀不懂的東西繼續閱讀。數學的知識很廣闊，慢慢來～ 因爲這本書，我去看了費馬大定理的證明着懷爾斯的記錄片，着實被他努力的堅持而又樸實的語言震撼到了，最後證明了他幾乎快要哭了，那是一件多麼不容易的孤獨之旅！

Je pense，donc je suis人類大腦的構造決定了我們無法想象維數大於二的彎曲空間，我們只能藉助數學才能理解複雜的空間。邏輯嚴謹的數學語言所表達的意思不存在多種理解的問題，其真實性也是客觀的。我們對物理世界的認知很容易失真，但對數學真理的認知卻一成不變。數學真理是經久不變、客觀且必然的存在。原來，費金也一直在思考這些公式，而且思路跟我差不多。因此，從一開始的時候，我們一個人說完上句，另一個人立刻就能接出下句。這是一種非常特殊的感覺：他清楚我的每一個想法，我也能聽懂他的每一句話。世界上存在這種客觀真實、持久不變的知識（而且爲我們全人類所掌握）也的確是個奇蹟。世界奇觀就在我們身邊，與現實交織在一起，從某種意義上講，它就埋藏在我們內心深處。數學指引着宇宙的運行，隱藏在各種形狀與曲線背後，掌控着小到原子、大到一顆顆恆星的世間萬物。數學就等於嚴謹加上學術誠信再乘以事實準繩。我們必須通過數學來不斷推動社會進步，促使更多的人掌握數學知識與數學工具，以保護自身的權益免受少數當權者的肆意踐踏。沒有數學，就沒有自由。如果某個羣的各個元素都可以通過某種一致的方式表現爲某個n維空間的一種對稱操作，我們就說該羣有一種“n維表示”。突然之間，我有了靈感。那種豁然開朗的感覺太棒了，就像在拼圖遊戲完成之後，一幅精美絕倫的圖畫呈現在我面前，那種攝人心魄的美讓我興奮不已。那些無法入睡的不眠之夜，也一下子變得無比值得了。沒有人指導，任何學生都無法獨立完成研究工作，導師絕對不可或缺。在學會一兩個和絃之後，我們就可以用吉他彈奏好幾首歌了。你不會因此成爲世界上最優秀的吉他手，但你的生活卻變得更加豐富多彩了。當年的我有強烈的明星情結，我發誓我當時看到蓋爾範德頭上有一圈光環。只要有愛，還有什麼可以阻止你呢？數學的一個主要作用是對信息進行排序，信息的排序分類是梵高的畫作區別於隨意塗鴉的根本原因。伽利略（Galileo Galilei）說得非常好：“自然界的法則是用數學語言寫就的。”數學是一種描述現實、揭示世界運行規律的語言，這種普適性語言已經成爲檢驗真理的黃金標準。我這才知道，數學不僅典雅美好，而且它還像詩歌、藝術和音樂一樣，充滿了無限可能。於是，我深深地迷上了數學。

《愛與數學》的作者是愛德華.弗倫克爾，博士畢業於哈佛，目前是加州伯克利大學的數學教授，目前的主要研究領域是"朗蘭茲綱領研究"，同時他也是一位電影工作者，製片並執導了電影《愛與數學的儀式》，爲觀衆提供了一個看待數學家的非一般浪漫視角。 他寫本書的主要目的旨在讓人們更好的認識數學，行文中將自己的艱難求學經歷和數學理論的通俗講解交叉呈現，作者因有猶太血統而在前蘇聯求學困難重重，也因此不得不放棄其興趣所在的理論數學，轉而研究應用數學，輾轉冒險之後，終於來到哈佛求學。他講述自己經歷的同時，用大家易於理解的語言解釋數學這門學科，一邊梳理經典的、令人驚歎的數學原理；一邊陳述學習數學和研究數學併成爲21世紀最著名數學家之一的個人經歷。他鼓勵讀者探索內涵豐富、五彩斑斕的數學世界，讓大家領略到數學的美感，比如“對稱中令人震撼的美”、比如如何利用數學知識對信息進行整理、排序，也能將信息轉變成物理現實等等。還有作者認爲“所有公式都是愛的公式”，無論是對世界的愛，還是人與人之間的愛，越瞭解數學，越能使愛更加豐富和深刻。 數學是一門比其他學科更抽象並令人難以理解的學科研究，研究對象是抽象對象與概念，能給外行和內行都帶來無數的挫敗感，其結果的不確定性更讓人望而生畏。在數學領域，關於成功有明確的界限，沒有部分的成功可言，失敗或成功兩者涇渭分明。但在內行人眼中，數學也是迷人的，不僅因其能給人以美的享受（我本人特別遺憾於無法體驗這種享受，每次想起來都自慚形穢），更多的，數學是一種描述現實、揭示世界運行規律的語言，這種普適性語言已經成爲檢驗真理的黃金標準。數學是科技的基礎，已經成爲人類力量、財富與進步的源泉，並且在不斷鞏固地位。也因爲如此，就我所知，數學家高高站在學術鄙視鏈（如果有的話）的頂峯。基本上科學上重大的突破中，都有數學的身影，比如狹義相對論要用方程式來表示。數學讓我們瞭解如何搭配傳統的壁壘，如何在追求真理的過程中充分發揮想象力，從教條和偏見中解放出來。數學等於嚴謹加上學術誠信再乘以事實準繩。此外，數學真理一成不變，客觀且必然，經歷上千年也不會發生變化，那些公式和定理都歸人類所共有，小到原子，大到恆星，經由瞭解各種形狀與曲線，數學引領我們探索宇宙和宇宙的運行。但任何人都無法申請專利，它如此深奧和精緻，卻無法被任何人壟斷。這樣的知識寶庫，價值非凡並使人難以置信。 作者希望通俗的展現數學的力量和美，並關注廣闊的圖景和不同概念及不同數學分支之間的邏輯關係。從對稱羣開始講起，研究對稱性的破壞機制，可以幫助人們深入瞭解自然界基本構成單位的作用機制，它有這些特點：普適性、客觀性、持久性、相關性，這些基本上也是數學理論應當具備的特徵。然後是辮羣，有很多實際應用，比如構建高效安全的公共密鑰和研究DNA與酶結合而成的鏈環，從而更好地掌握DNA的重組機制，他解釋“層”、“斐波那契數列”、“羅塞塔石碑”、“黎曼曲面”、“李代數”等等術語，對我這個完全的門外漢來講，大多數都是看不懂的。還有非歐幾里得幾何學對杜尚、畢加索等人的啓發，在那個時代，數學幫助藝術找到了創新的突破口，藝術家藉助數學知識，看到了隱蔽性極高的新維度，他們深受啓發，以新的美學形式表現出現實世界中蘊含的深邃真理，並影響我們的集體意識，又反過來對數學界產生了推動。數學可以幫助我們理解幾何學中的所有變化、圖形和表現形式，是一門通用語言，適用所有維度的空間。 之後，他主要介紹他的研究課題——數學界近50年來的重要思想“朗蘭茲綱領”，朗蘭茲綱領是數學家羅伯特.朗蘭茲在20世紀60年代後期提出的一個數學理論，本質上是一個關於對稱的開創性數學理論。朗蘭茲綱領研究似乎屬於抽象的純理論研究，不會產生任何形式的直接應用價值，但基礎性學科研究是所有進步的基礎。作者認爲朗蘭茲綱領是數學中的大一統理論，它揭示了數學不同領域的共同規律，把世人的目光聚焦於此，進而深入探索各領域之間不爲人知的聯繫。朗蘭茲的理念之所以意義非凡，還因爲它可以對數論中看似雜亂無章的數據加以整理，使之形成規律，表現出對稱性與統一性。朗蘭茲綱領能將數字、對稱操作與方程式編織在一起，涉獵的內容廣博，一大批人都在爲之努力。今天，朗蘭茲綱領已經被看做現代數學的一個基石，是衆多學科中人們耳熟能詳的一個概念，是現代社會的鍊金術。它可以貫穿數論、有限域平面上的曲線及黎曼曲面，使數學中多個分支領域發生關聯，連卡茨—— 穆迪代數甚至也被融入其中。這些不同數學領域中存在着相同的模式和現象，雖然表現形式不一，但總能被找到相同特徵，這些共同特徵有指向所有數學分支中的底層結構（源代碼）。並且越來越多的數學家和物理學家認識到，也許朗蘭茲理論與量子物理對偶性之間存在難以分割的聯繫：有可能存在某種對稱性，使波色子和費米子可以互換，這種對稱性被稱爲“超對稱性”，因此朗蘭茲綱領與電磁對偶性的聯繫迅速成爲一個研究熱點，並發展成爲一個朝氣蓬勃的研究領域。還有關於統一理論，書寫終極統一理論核心內容所使用的必定是數學語言。數學概念似乎是一種客觀存在，無須藉助物理學，也超越了人腦的限制。 值得一提的是他用應用數學的統計學幫助醫生進行建模並分析病情。醫生們因爲針對性的醫療診斷而難以發現一般性規律和原則，而數學家可以在這方面爲他們提供幫助，因爲數學家思維方式與醫生完全不同，可以尋找並分析一般性規律。醫生們需要數學家的幫助，因爲數學家們能解構自己本身的思維方式，設計出正確的問題，然後通過不帶有任何偏見的冷靜分析得出結論。這就是數學思維的力量。 在哈佛不息探索的精神和濃厚的求知氛圍下，他如飢似渴的研究數學，同各類數學家一起探索數學的奧祕並在科研活動中順便做環球旅行。每一次取得的研究成果都會把未知領域的面紗撩起一角，但我們看到的卻並非最終答案，而是新的問題或方向。無論基礎物理和數學，都是如此，都需要花費大量的人力物力，給學者們足夠的自由與優渥的生活，讓他們可以盡情探索思考，等待那靈光一閃的瞬間。 也許有人會問，爲什麼要把那麼多錢投入到這種基礎研究，而非民生、國防等可以立竿見影的項目上？回答是：我們必須從長遠的角度和技術發展的角度看待這個問題……基礎研究雖然不會起到什麼直接作用，但會推動科技的進展，使人民過得更好，國家更富強，讓我們在國防和民生上的投入更有意義。 最後，是他導演的關於數學的電影《愛與數學之祭》，劇本討論的是現實世界與抽象世界之間的碰撞。他希望這部電影是一個寓言，告訴人們數學公式與詩歌、繪畫和音樂一樣，也富有美感。強調數學中人文與精神層面的內容，有助於激發觀衆的好奇心。 作者盡力通俗解釋數學原理，其中不乏用“醉漢三人份兩瓶伏特加還是五人分三瓶哪個更多？”這種通俗比喻用以趣味比較2/3和3/5哪一個數更大，有很多想明白公式或有新發現之後的豁然開朗和頓悟的快感，有很多數學家的貢獻與軼事（比如伽羅瓦這種不正經的）和他在數學領域的良師益友的科研經歷、觀點和性格等，讀起來比較有趣，除了講解數學公式的部分，都很流暢好讀。而關於書的名字，“我們無法通過公式來描述或解釋愛。我討論愛與數學的聯繫，並不表示愛可以與數學相提並論，而是要告訴大家數學的內涵遠比我們想象的要豐富。” 而我最喜歡的一段話是：“即使數學公式並不足以表現世間萬物，但總的來說，數學公式仍然是表現人類已知真理的最純粹、適用面最廣也是最經濟的表達方式。它們不會人云亦云，而是忠實地向所有人傳遞永恆、珍貴的知識，而且，它們是一座座巍峨挺拔的現實之塔，所表達的都是人類必需的真理，引導着人類走過時空的征程。”

作者是俄國猶太人數學家。他這本書像是一本個人自傳，同時介紹他自己在當時俄國反猶太人的生長環境下如何成爲數學家的心路歷程。他後來本科畢業就在哈費被聘爲教授，後移居美國。就像學習數學分析的人曾經都受益於吉米多維奇的數學分析習題集，今天世界各國對於俄國數學家的傑出貢獻都不敢輕視。他是當今是數學/量子物理學領域一位非常了不起人物。他在哈佛大學用一年時間獲得數學博士學位。作者發現了一個驚天祕密：“朗蘭茲綱領竟然與量子物理學之間存在難以分割的聯繫，而且，連接它們的紐帶是對偶性，這是物理學與數學中都存在的一個屬性”。 看本書作者介紹他們高中時代數學補習或者學習考慮的數學問題，就會發現與中國與俄國在數學教學之間的極大距離。豪不奇怪，他們在高中就有羣理論及現代幾何學方面的投入，就不能不感嘆。所以，俄國如果將來在量子物理基礎研究可能會有什麼最大突破，也不應該會有什麼稀奇。特別世界各國，今天在數學基礎理論上的投入比例，必然將來成爲在AI與量子力學等科學領域創造力上的本錢。 讀本書目錄部分就可以得一個大畫面。本書也再次提到人生中導師的重要性，有名人指路，一生受益。他分享了何爲數學家的特殊靈感及俄國數學大師們在莫斯科大學數學學術討論會的語境，及他個人數學研究課題經歷與故事等令人耳目一新內容。他通過講故事同時也介紹數學相關領域的發展。本書也再次證實一個說法，第一流導師指方向，第二流，指……。讀本書作者的故事經歷，任何人都可以品出，數學在日常生活中的重大意義。 一般來說，數學家與哲學家寫作重要區別在於，前者邏輯思維條理清晰，後者有些除了自己像瘋一樣，讀其書者不小心也有可能會瘋。儘管本書中及其它一些數學普及書內容中，都有可能會有一些數學細節，普通讀者可以跳過，但是都可以不影響識大局。這就是讀數學作者書的好處，本書也沒有另外。

一部融合了個人故事、哲學思考和社會評論的作品。 一. 數學的普遍性與美 作者強調數學的普遍性，認爲它超越文化、語言和國界。 他認爲，數學不是精英的玩具，而是可以像愛一樣超越文化、地域和時空，將世間萬物聯繫在一起的普遍語言。 二. 朗蘭茲綱領 這是現代數學中的一個重要理論框架，旨在統一數論和幾何等領域。 可以證明像費馬大定理之類的難題，也是把數學和量子物理學等其他自然科學連接起來的橋樑。 1.提出背景與歷程  ①提出者：加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲  ②提出時間：1967年，在一封給美國數學家安德烈·韋伊的信中首次提出。  ③發展歷程：朗蘭茲綱領最初以猜想的形式出現，隨着時間的推移，這些猜想逐漸演變成了一套完整的理論體系，並對數學界產生了深遠的影響。  2.核心思想 朗蘭茲綱領的核心思想是建立不同數學領域之間的“橋樑”，特別是數論和調和分析之間的聯繫。它提出一系列猜想（稱爲“朗蘭茲猜想”），認爲某些數論對象（如伽羅瓦表示）可以與調和分析中的對象（如自守形式）對應起來。這種對應關係被稱爲朗蘭茲對應或朗蘭茲互反性。  3.主要組成部分 ①伽羅瓦表示：數論中研究代數方程的解的對稱性（通過伽羅瓦羣描述）。 ②自守形式：調和分析中研究的具有特定對稱性的函數。 ③ L-函數：一種將數論和幾何信息編碼爲複函數的工具，朗蘭茲綱領試圖揭示不同L-函數之間的聯繫。 ④對偶性：朗蘭茲綱領提出了一種對偶性，將數論中的伽羅瓦表示與自守形式聯繫起來。 4.重要意義 朗蘭茲綱領的意義在於它試圖統一數學中看似不相關的領域。如果這些猜想被完全證明，將改變我們對數學的理解。 ①數論與幾何的聯繫：朗蘭茲綱領揭示數論和幾何之間的深層關係，例如通過“幾何朗蘭茲綱領”研究曲線和曲面的性質。 ②數學的統一性：它展示數學的內在一致性，表明不同領域之間可能存在隱藏的聯繫。 ③應用潛力：雖然朗蘭茲綱領主要是純數學研究，但它的一些成果已經在物理學（如弦理論）和密碼學中找到了應用。 5. 研究進展 ①類域論：朗蘭茲綱領在特殊情況下（如阿貝爾擴張）已經被證明，這是類域論的核心內容。 ②費馬大定理的證明：安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）在證明費馬大定理時，使用了朗蘭茲綱領中的思想。 ③幾何朗蘭茲綱領：近年來，幾何朗蘭茲綱領是代數幾何中一個深刻而活躍的研究領域，它將經典的朗蘭茲綱領推廣到幾何背景中，並揭示代數曲線、D-模和局部系統之間的深刻聯繫。通過與數學物理的結合和新工具的發展，幾何朗蘭茲綱領在近年來取得許多進展，同時也提出了許多新的挑戰和問題。它不僅是純數學的前沿領域，也爲物理學提供了新的視角和工具。 三. 個人經歷 有兩個主軸： 一是梳理經典的、令人驚歎的數學原理； 二是作者學習數學、研究數學，併成爲21世紀著名的數學家之一的個人經歷。  四. 數學與藝術 作者認爲數學不僅是邏輯工具，也是一種創造性藝術形式。 他通過實例展示數學如何激發藝術靈感，通過生活中的實例，如比較分數大小、製作羅宋湯時的食材配比等，展示數學在現實生活中的應用。 五. 數學的社會意義 作者還討論數學在現代社會中的重要性，特別是在科技和加密領域的應用。 所以他呼籲更多人理解數學，認爲它是推動社會進步的關鍵力量。 六. 數學教育 書中批評當前數學教育的不足，認爲它過於機械，忽視了數學的創造性和美感。 作者主張改革教育方式，以激發學生對數學的興趣。 七. 數學思維的力量 作者強調數學思維的重要性，認爲它可以豐富我們的生活，幫助我們更好地瞭解這個世界以及自己在世界中的位置。 通過習得數學思維方式，我們可以更加理性地看待問題，找到解決問題的有效方法。

很喜歡這本書，作者從自身的經歷寫起，因爲父母和自身猶太血統的原因對數學產生濃厚的興趣，後來在葉夫根尼·葉夫根尼耶維奇·彼得羅夫教授的影響下堅持研究數學，也表現出了在數學上的非凡才能。然而在考大學的時候，卻遭遇了莫斯科大學數學系反猶太主義的一系列阻攔，以誣陷和莫須有的結論被拒之門外，而後在父親輾轉各處的努力下最終進入政策相對寬鬆的石油研究學院，因爲個人的非凡才能而終於引起了莫斯科大學著名教授的關注和指導，然後開始了個人的數學研究生涯，在本科階段就取得了多項聞名於國際數學界的成果。然而在蘇聯當時的政治背景下，一個有猶太血統的人無論多麼努力，都不會有很好的前景，正在這時哈佛大學向全球招募4名數學系客座教授，作者便收到了其中一張邀請函，在權衡一切後作者選擇並最終留在了美國，在這一更具有學術氛圍的環境中進行數學研究，並取得了很多舉世矚目的成績，爲基礎數學做出卓越的貢獻。最後作者在巴黎參加研討會時，偶爾結識了電影文化，於是將本身對數學的想法拍成了一部電影《愛與數學之祭》，想要擺脫“通俗電影往往會把數學家塑造成幾近精神錯亂、與社會格格不入的怪人，讓觀衆覺得數學是一門與現實毫不相干、枯燥無味的學科”之印象，以男主人公將數學公式以紋身的形式存在於女主人公身上的方式，來回應女主人寫給他的情書，“在電影的結尾，這位數學家在真理子的身上文了一個數學公式，這是他對那首情詩的回饋。因爲在這位數學家的心中，這個公式表現的就是愛。公式可以承載情詩所表達的那種激情與感性，我們正是利用這一點來表現數學與詩歌之間的相似性。對於這位數學家而言，這個公式是他的創造性成果，是激情與想象力的產物，是一份愛的禮物，是他寫給她的一封情書”。 在閱讀的過程中，作者所提到的很多數學概念:羣，數論，李代數，黎曼曲面，羅塞塔石碑，朗蘭茲綱領，伽羅瓦羣，模的運算，費馬大定理，谷山-志村-韋伊猜想等等，聽過的那些很容易讓我想起高中和大學學數學的日子，而沒聽過的概念也會讓我有種想要去了解的衝動，更想去了解我們的數學系學生都學些什麼。 而文中所講到的數學運用的領悟，比如量子物理，計算機編程，醫學中對病例分析形成醫生判斷方案的直觀樹狀圖，現代網絡密碼鑰匙等等，讓我不禁感嘆數學的美妙與偉大，尤其是運用客觀數據總結醫生診斷的方法與過程，感受到了數學與生命的結合。 而作者也會經常提到的猜想-論證法，賦值法等數學家研究的方法，也是我在教學中經常跟學生講解的方法，讓我感到其實我們離數學家也沒有那麼遙遠，這不，我們也運用同樣的方法嘛。數學是一個無法申請專利的研究領悟，它的成果是人類共同的財富，“比如，愛因斯坦不能爲自己提出的公式E=mc2註冊專利。原因在於，如果這個公式是正確的，那麼它所表示的是宇宙的某個永恆真理，因此不可能私有化，只能由大家共享。無論貧富、膚色與年齡，誰也不能把它從我們手中奪走。在這個世界上，再也沒有其他任何事物能像數學那樣深奧、典雅而又不屬於某個人的了。” 讀的過程中也時常會思考，作者在考大學時遭遇的經歷，以及到美國後遇到越來越多的來自蘇聯的猶太血統數學家，想想中國人的智慧其實受到全世界人的認可，然而，我們國家走出的大有成就的科學家，最後幾乎也都和本書的作者一樣加入了美國國籍，他們是否也有過和作者一樣的遭遇，是否也曾迷茫，糾結，彷徨，最終做出了無奈的選擇，所以我們的“土壤”是不是也有很多問題？ 最後，個人覺得這本書最適合對數學有一定興趣的高中畢業生閱讀，他可能會堅定你研究數學的方向和決心，也真誠的希望有一天我們的土壤能培育出真正屬於我們的科學家，更希望有一天人們談到數學時會覺得它和詩歌、音樂、舞蹈一樣動人，而不是，天啦，學數學的過程簡直是折磨人，或者，數學毀了我整個童年。

愛與數學 [Love and Math: The Heart of Hidden Reality]這本書是一個師姐推薦給我的，作爲一個文科生，我居然把它讀完了。原因有三點：這是師姐的推薦書目，抱着肯定值得一看的心態翻開的第一頁；我是個文科生，但其實喜歡理科，高中分科讓我痛苦了兩年，很遺憾的錯過了理科，但是對於自然科學興趣還在；最後就是這本書本身了，講的理論簡單的有過了解，更多的內容對我來說猶如天書。但是，我還是深爲弗倫克爾所傾倒，跟隨他的筆記，就像走過一段夢幻的旅程，他把我帶去了一個陌生的神祕的數學世界，他讓我看到那些最聰明的人是怎樣生活的，他們對真理無比執着，熱愛無與倫比，他們讓我覺得天才之間仍然有一道巨大的鴻溝，數學、物理和精神是相互獨立而又相互作用，很多物理的洞見都源於數學真理的發現，我想起了三體裏面楊東冬說的物理學已死，基礎科學的裹足不前限制了整個人類的文明發展，所以，作者呼籲更多人愛數學，感受數學之美，從而更多的人從事數學研究，一代一代去真理之海拾貝，雖然我們不能像柏拉圖、牛頓、愛因斯坦、彭羅斯以及作者這些偉人一樣去奪取真理殿堂的王冠，但我們可以永葆一顆探索的心，帶着問題去生活，從而真正發現數學之美，生活之美和世界之美。

誠然，書中闡述的知識外 無不體現數學無用而強大魅力，強大是因爲它主動選擇忽略什麼，併爲此承擔後果。 數學的概括 、精確及顯式都是有代價的。因爲它觸及數學有一些“反身性”層次。 形式化不是消除模糊，而是把模糊顯式化，（比如羣論，數論 ，幾何 各個數學理論的產生） 當然，精確性是有代價的（抽象、假設、適用域）。同時，數學語言本身也會遮蔽現實的某些維度。 同時 數學是可驗證的民主，不是意見民主。（當然這也體現了數學明晰性及確定性的魅力） 爲什麼數學是“民主的”？但真理未必屬於多數。 首先，很顯然吧！數學的民主性在於任何人可以檢查證明，結論不靠投票產生，多數人不能改變一個定理的真假。 但注意這個微妙差別：數學是真理對所有人開放≠真理由多數人決定。 其次，真理未必屬於多數。歷史上，多數人常常是錯的（尤其在早期階段）。日常很容易發現一些經典模式：新理論剛出現時，只是少數人理解，而多數人懷疑甚至反對，後來才被接受。 所以，多數人的一致性，很多時候是 滯後的共識，不是真理的源頭。 最後，當然值得強調的是——數學民主 ≠認知能力完全均等。 當然，“所有人對數學概念都會得出相同結論”。顯然是不夠嚴謹的。更嚴謹的說法是：一旦理解並驗證正確，結論一致。 但不難理解的現實是——不是所有人都能立刻理解數學結論。故此，認知門檻是真實存在的 。很顯然，數學是開放的，但不是自動可達的。 最後，用我的話來說就是——數學是真理最民主的領域之一，因爲它不依賴身份與權威；但真理從不由多數決定，（真理不是多數人的意見），多數人只是遲早會抵達它，最終連多數人也無法否認的結構。 當然，關於數學的概括 、精確 、反身性等。都可以從書中的研究及論證得出 。比如關於羣變換到流形維度研究裏談到的維度。 書裏闡述 維數是對象的屬性，不是環境的屬性。若就維度而言，將對象屬性定義爲“對象自身的維數（intrinsic / manifold dimension）”，而將環境屬性定義爲“嵌入維數（embedding dimension）”。很顯然，通常二者不相等。（我寫“通常”，因爲比如：人本身就是一個三維區域（3D volume），而不是由更高維空間中的方程切出來的低維對象。）當然，就邏輯學層面而言，這是一個規定定義 。（顯然也體現了數學的概括）。 換我的話來說。Embedding dimension（嵌入維數） 說的是——把一個對象“放進”某個歐幾里得空間裏而不丟失其結構，所需要的最小環境維數。（也就是說至少要多大的空間才能“裝下它”且不自交）。 而對象的維數——內在維數（intrinsic / manifold dimension），也就是對象需要多少參數可以完整描述。 當然，通常嵌入維數大於內在維數（這裏爲了嚴謹我表達爲“通常”），因爲至少要給對象足夠的“展開方向”。更強的結論來自 Whitney 嵌入定理（光滑流形）： 任意 d 維光滑流形都可以光滑嵌入到 R^2d（甚至很多情形下 R^（2d-1））。 這給了一個上界，但最小嵌入維數往往更小需要具體分析。 可以直觀地說，把對象放進n維歐幾里得空間(n-dimensional Euclidean space)裏，同時保持它的結構（常見有兩種語境）： 拓撲嵌入：連續、單射、同胚到其像（不撕裂、不粘連、不自交） 光滑嵌入：在拓撲嵌入基礎上還要求可微、導數滿秩（也就是Jacobian，Jacobian 描述是當輸入發生微小變化時，輸出如何變化，一個很直白的理解，它其實就是多變量函數的“導數”而已） 所以“嵌入維數”通常是：min{ n ｜X /Rⁿ｝ 當然， 剛說過，通常嵌入維數大於內在維數（這裏爲了嚴謹我表達爲“通常”），因爲存在一個非常重要的普遍規律： 如果一個對象由n維空間 + k個獨立約束 通常：Dim= n - k。 同樣，Dim = n-k 只是一個在良好條件下成立的定理推論，而不是普遍真理。它成立需要一整套隱含前提。 可設設對象由：F_1=……=F_k=0；定義在 Rⁿ中。如果滿足關鍵條件： 約束函數光滑（至少 C^1）； 約束條件彼此獨立； 在該點處 Jacobian 滿秩； 接下來 rankDF=K，那麼劇隱函數定理就存在Dim= n - k，這時候的對象就是個Dim= n - k維的流形。比如： x²+y²+c²=R²（球心在三維原點的球面）；n=3 k=1，梯度≠0。 Dim=n-k=2（成立！） 當然，有不成立的。比如約束條件不獨立： 像x=0 ，2x=0。 很顯然吧 ，實際只有一個約束條件。所以Dim=n-k=2。而不是1。 再比如 一種簡單容易驗證的情況——出現奇點，也就是Jacobian（雅可比）降軼。 y²=x³。此爲在原點 梯度=0，不是流形 所以Dim=n-k 顯然失效。很顯然出現奇性和尖點。 另外 ，再比如約束條件是並集的 也不成立。比如：xy=0，這顯然是x軸並y軸。不能說你=2，k=1，於是Dim=n-k=1。因爲它不是單一流形。 當然，一些不規則圖形，比如分形就不成立，例如科赫曲線 、康託集均不成立。因爲它們沒有光滑約束及參數方程 ，公式直接實效。 所以"Dim=n-k"不是定義，也不是普遍定律，而是隱函數定理在正則約束情形下的推論；一旦約束失去獨立性或出現奇點，該關係立即失效。 最後 存在真正正確的數學版本(嚴謹表述) 如果：F: Rⁿ →R^k， 且a是正則值：rank DF=k。 那麼：F^（-1）(a)是一個：Dim=n-k維流形。這纔是數學上真正可靠的命題。 Jacobian 是一個“局部線性化矩陣”，描述函數在某一點附近如何改變。 如果有一個函數：F: Rⁿ →R^k，也就是：輸入 n 個變量，輸出 k 個數。那麼 Jacobian 是一個：k x n的矩陣。 當然，爲什麼它決定"約束是否獨立"。 設有約束：F_1=0,F_2=0,...,F_k=0。 這些約束的"方向信息"就是：各個梯度向量，也就是Jacobian的行。 如果：rank(J)=k。 說明：沒有一個約束是其他約束的線性組合； 每個約束真的減少一個自由度； 於是：Dim=n-k。 當然 在數學裏沒有“約束數 = 維數減少數”的定論（這顯然是非常狹隘的）。真正存在的是rank(Jacobian) = 局部自由度減少數。 也就是說真正的公式是：Dim = n - rank(J)，而不是 n−k。 當然之前說，爲什麼“人”的內在維數是 3？ 如果把一個人抽象成幾何對象。它有長寬高。在身體內部移動，你需要(x,y,z)三個獨立參數。 所以人的內在維數 = 3。這和有沒有約束沒關係。 爲什麼嵌入維數也是 3？因爲我們生活的空間本身就是三維。而“人”只是這個空間中的一個有體積的子集，它們不需要更高維空間才能存在也不是從更高維裏“切出來”的表面。所以，最小嵌入維數 =3。 很顯然 但這裏可以有效的說明：維數相等 ≠ 沒有約。有沒有約束，是另一個問題。舉幾個對比就會瞬間清晰。比如 球體（實心）：x²+y²+c² ≤ R²。 內在維數 = 3 嵌入維數 = 3 但它有約束（不等式） 說明：有約束 並不等於是降維了。 球面（只有表皮）：x²+y²+c²=R²。 內在維數 = 2 嵌入維數 = 3 有一個等式約束 這裏纔出現：降維。 立方體：0 ≤ x,y,z ≤ 1 有6個不等式約束 仍然是3維體 所以，真正決定維數的不是“有沒有約束”。 而是約束是否減少自由度。（也就是減少了對象延展或者活動的自由方向）。 當且僅當約束是等式；且局部獨立（Jacobian 滿秩）。纔會減少維數。 如果人類生活在四維空間，那麼人仍然可能是三維體，只是嵌入維數變成4。 故此，沒有約束不意味這維數高 ，相反有約束不代表着維數低。真正決定維數的是局部可以自由運動的獨立方向數。

這本書顛覆了我對數學家的印象，大部分內容看不太懂。 數學之路 愛德華·弗倫克爾出生於1968年，在蘇聯一個叫科諾姆納的小鎮渡過了童年。 他出身於知識分子家庭，從小就顯出了對科學的濃厚興趣。 童年的愛德華並不喜歡數學，覺得數學枯燥、乏味且缺乏實用性。 他喜歡物理，尤其是關於量子力學的知識，深深讓他着迷。 少年總是熱愛幻想，若一個概念有些浪漫色彩，自然更容易吸引少年的心。 量子力學吸引愛德華的，是“夸克”（一種比質子、中子更基本的物質構成粒子）。夸克的物理和哲學屬性讓他着迷，“夸克”這一名稱的來源也讓他傾心——一部叫《芬尼根的守靈夜》的夢幻小說。 《芬尼根的守靈夜》和其作者詹姆斯·喬伊斯小說中的一首詩第一次以囈語的方式呈現了“夸克”，後來這一名詞被物理學家採用： 衝馬克先生叫三聲夸克！ 他肯定沒有從叫喊聲中聽到什麼， 因爲他聽到的都是毫不相干的內容。 物理學家命名粒子時從文學中找靈感，這讓小愛德華驚歎不已，也讓他覺得科學不只是冷冰冰的邏輯和事實。 在那之前，他有很多“不務正業”的愛好，比如踢球、繪畫等，一度認爲自己不是幹科學家的料，直到他了解提出夸克理論的諾貝爾物理獎得主蓋爾曼也常常“不務正業”——愛好文學、語言學、建築學，他纔打消這種顧慮。 讓愛德華喜歡上數學的，是他父親的一位數學家朋友——葉夫根尼。 葉夫根尼看出了愛德華的聰慧和熱情，想將這位充滿潛力的年輕人引到數學之路。他向愛德華展示了蓋爾曼夸克模型的數學基礎，告訴愛德華如果要深入瞭解“八重道”（暗合佛教的“八正道”）和“夸克模型”（量子力學理論），就必須瞭解SU（3）羣，要了解SU（3）羣就必須先了解“對稱”的概念，然後葉夫根尼給愛德華看了一些八重態的圖和公式。 正是這些圖和公式，讓愛德華心中產生了一種前所未有的悸動，當時他還看不懂，但求索的願望已被點燃。 八重態 在這之前，愛德華心目中的數學無非是二次方程、三角函數、微積分之類的知識，再難的問題也跳不出這些框架，通過和葉夫根尼的交流，讓他窺探到了一個截然不同的、完全超乎想象的數學世界。 從此，愛德華義無反顧地踏上了數學之路，那一年他才15歲，是一個即將踏入高中的少年。 後來的求學路途並不順暢。 愛德華的父親是猶太人，上個世紀八十年代的蘇聯，對猶太人的歧視非常嚴重，在升學和工作中，血統是相當敏感的因素。 愛德華的姓——“弗倫克爾”明顯地顯示着他的猶太血統，這一點，在報考大學時給他帶來了莫大的麻煩甚至羞辱。 當時蘇聯最好的數學專業在莫斯科國立大學，這是愛德華心儀的學校。但是從他提交報考信息後，就受到了連續不斷的阻撓。 起初是招生老師暗示他放棄報考，他沒有退縮，在考場上，他以優異成績通過了筆試，而在面試時，他遭遇了明目張膽的歧視：他的數學知識在一同參加面試的學生中矯矯不羣，考官每提出一個問題，別的學生還在埋頭思索，他已經得出了答案並舉手示意，可考官竟視而不見，硬是等其他人舉手回答； 在單獨面試中，別的學生問答大都簡單而順利，考官唯獨對他百般刁難，比如考官問他“圓的定義”，他回答“平面上與已知點距離相等的點的集合”，考官說：“錯！應該是平面上與已知點距離相等的 所有 點的集合。” 類似這樣雞蛋裏挑骨頭的擡槓還有不少，即便愛德華才華橫溢，這樣的“考試”是無論如何也過不了的。 那時愛德華還是一個十幾歲的孩子，這樣的經歷對他的打擊可想而知。他沮喪、失望，但毫無辦法，最終，和父母商量後，他決定報考石油天然氣學院，那裏的數學系不算最好，但也不差，最重要的是，石油天然氣學院是蘇聯爲數不多的不歧視猶太學生的學校。 在石油天然氣學院，愛德華結識了很多有才華的同學，他們大都是被莫斯科國立大學拒絕的學生，後來成爲了世界數學界有建樹的翹楚。在那裏，愛德華也結識了很多德才兼備的老師，受到了數學家瓦爾琴科和富克斯的指導，旁聽了莫斯科國立大學基裏洛夫的理論數學課（石油天然氣學院只有應用數學課程），參加了著名的蓋爾範德研討會...... 愛德華的人生轉折點 有的老師雖然在莫斯科國立大學任教，但他們從不歧視猶太學生，看重的只有熱情和才華，所以儘管入學時遭遇了挫折，但幾年的大學生活，還是讓愛德華充實了不少，不論是學術上還是精神上。 1988年，20歲的愛德華從大學畢業了，充滿激情、探索和樂趣的學術生活也將告一段落，雖然大學裏取得了一些不菲的成就，他的前途依然黯淡——嚴酷的政治環境讓有猶太血統的他很難在莫斯科學術界有一席之地。 好在第二年，他收到了哈佛大學的橄欖枝——全額獎學金在哈佛的學習和研究。 這是愛德華人生的轉折點，在哈佛，他遇到了來自全世界各地的優秀數學家（其中包括華裔數學家丘成桐），和他們一起學習、討論、研究，極大地豐富了愛德華的視野和知識；在美國，他也如飢似渴地吸收當地的文化，電影、脫口秀、音樂等等，都豐富了愛德華的見聞和精神。 在良好的學術氛圍中，愛德華迅速成長爲世界一流的數學家，並參與了數學界的“大一統理論”——朗蘭茲綱領的研究，目前，這仍然是愛德華的主攻方向，雖然經歷過一些坎坷，他依然繼續着童年的夢想——對數學與量子物理對稱的求索。 愛與數學，愛予數學，我想，除了好奇和理想，愛，也是愛德華在數學大道上一路前行的重要力量。 數學之理 書中，“數學之路”和“數學之理”是穿插並行的，作者將學術道路每個階段所掌握的數學原理都用盡量通俗有趣的文字介紹給讀者，儘管如此，這些深奧的數學知識還是很難理解，所涉及的深度已經是某些領域的核心或前沿，比如關於對稱、辮羣、李代數、n維空間等等。 不過，這也非常正常，完全不用因看不懂而沮喪，即便是數學從業人員，除了他自己研究的領域，也不可能盡數理解。 愛德華在前言中就說道：某些內容一時看不懂其實無傷大雅，我在從事數學研究時，有90%的時間會有不甚明白的感覺，所以，不必緊張。困惑（有時甚至是挫敗感）是數學研究的一個必不可少的組成部分。 不過，我們要看到積極的一面：如果生活中的一切都無須費力便可理解，那樣的生活將會多麼無聊！ 書中介紹了很多深奧的數學原理，雖然我自己連一知半解也談不上，但皮毛之解不一定無益，下面就挑朗蘭茲綱領做一些簡單介紹。 朗蘭茲綱領 在美劇《生活大爆炸》中，可愛的謝耳朵最終獲得了諾貝爾獎，他的研究對象是弦論。弦論是大統一理論中的一種，大統一理論統一的是什麼呢？ 我們都知道相對論和量子力學是二十世紀最偉大的兩大理論，可它們之間存在着一些不可調和的矛盾，即四種微觀粒子相互作用力——萬有引力、電磁力、強相互作用力、弱相互作用力各自爲陣，互不融洽，沒有遵循統一的規律，如果能找到一種理論能和諧地描述四種作用力，解決量子力學和相對論的衝突，那將多麼完美！ 所以從愛因斯坦到當今的理論物理學家，無不有着發現大一統理論的雄心，弦論以及後來超弦論，都是在這一征程中所發現的理論，然而離最終目標還有相當的距離。 言歸正傳，“朗蘭茲綱領”，就是數學界的大一統理論。 數學分支領域衆多，有數論、代數幾何、約化羣等等，它們彷彿一塊塊彼此隔絕的小島，數學家們擇善而居，埋頭從事各自的研究。人們發現不同領域中衍生出來的各種理論其實有着一脈相承的聯繫，於是把各個領域統一起來的想法也就應運而生。 1967年，在一封加拿大數學家朗蘭茲寫給法國數學家韋伊的學術交流信件中，首次提出了朗蘭茲綱領。 朗蘭茲在普林斯頓大學的辦公室，這曾是愛因斯坦使用過的辦公室 要說明白什麼是朗蘭茲綱領，需要了解迦羅瓦羣、李羣、自守層等等的深奧概念，要講清楚它們遠超我的能力學識，普通的讀者也無需深入瞭解，但是我們可以從最粗淺的框架一窺其奧： 我們中學都學習過，用一對數字可以表示平面上的一個點，稱爲“座標”，用方程式可以表示平面諸如直線、圓等的圖形，由此推廣，可知數和平面是對應的，特定的圖形可以轉化成特定的數組，所表達的內容是一致的。 同理，數學中還有一些概念也具備這樣的對應性質，如函數和層，羣和範疇，這些概念有些屬於數論，有些屬於幾何學，但是它們之間的聯繫不像數字和平面那麼顯而易見，朗蘭茲綱領要做的，就是試圖在貌似風馬牛不相及的內容中捕捉潛在的聯繫，將它們統一起來。 也許有讀者會提出這樣的疑問：數學中各樣的領域是在發展中自然產生的。 爲什麼要費力氣將它們統一起來呢？ 首先，這是在數學研究中浸淫深入的數學家們本能的追求，支離的數學碎片散發出互相聯繫的信號時，也激發了只有數學家們才能體驗到的神祕和誘惑，和諧統一的美感和魅力，是他們無法抵擋的。古往今來人類的很多努力，都不一定是功利物質的，對神祕的好奇，對美感的追求，一直都是人類活動的重要動力。 其次，朗蘭茲綱領與量子力學有難以分割的聯繫，其紐帶是對偶性，物理和數學中都有這一課題，這也是愛德華的研究領域。物理的對偶性典型的就是電磁理論，電磁的相互轉化就是對偶性的體現； 數學的對偶性很常見，比如乘法運算的交換律：a×b=b×a。這貌似微弱的相似性，當把它們推廣深化到對偶羣的概念時，就會出現令數學家激動的強相關。 所以朗蘭茲綱領有可能揭示量子對偶性未被發現的祕密。 再次，雖然一些基礎理論科學的研究似乎看不出實用價值，但它是技術進步甚至爆發的基礎，數學與物理領域中的一些看似抽象、深奧的發現，常常會帶來各種創新，並在日常生活中得到應用。 比如數論中的一些成果現在已經廣泛應用在網絡購物，每一筆交易，都會用到其中的模N算法。此外，基礎科學的發展也是一個國家文化和實力的體現，關乎國家榮譽，這與藝術、哲學等是一樣的。 在美國，朗蘭茲綱領的研究得到了DARPA（美國國防部高級研究計劃局，the Defense Advanced Research Projects Agency）的資助，獲得了高達數百萬美元的資金支持，這是迄今理論數學研究獲得的最高支持。 數學之美 愛德華在本書序言中提到一個悖論：一方面，我們的日常生活離不開數學，網購、用GPS導航、上網檢索信息，無不需要數學公式和運算法則；另一方面，大多數人卻覺得數學是一門讓人頭疼的學科，唯恐避之不及。 愛德華也給出了對此的解釋：首先，數學的確較其他學科更爲抽象，難以理解；其次，學校裏教的數學是很久以前的“陳芝麻爛穀子”，現代的數學已經有了長足發展，“珍藏着琳琅滿目的珍寶”，只是大多數人不得其門而入，這就像美術課只教油漆刷牆，卻從不展示達芬奇和畢加索的名作。 我相信，數學造詣如愛德華之深，枯燥已不復存在，費解已化爲探索的樂趣，剩下的只是神祕、好奇、攀登和成就感。 可對於初入門徑的學子，要體驗到這種美感，還是要在枯燥抽象的漩渦中掙扎一番的，能隨隨便便就獲得的，那叫“快感”，不是“美感”。 作爲一個非數學專業的普通人，我更是無緣數學之美，但藉着作者真誠激情的文字，對數學和數學家有了更美好的印象。 以前，我以爲包括數學家在內的科學家，大概是《生活大爆炸》中謝耳朵的形象——聰明卻執拗，驕傲而單純，在自己的領域鮮有匹敵，生活其他方面卻顯得有些幼稚低能，雖沒有如電視表現的那般誇張，但或多或少都會有這些氣質。 而愛德華有着完全不同的形象，他熱愛藝術，生活豐富，富有激情，愛憎分明，沒有一點“呆氣”，反而“靈氣”滿滿。 以前，我以爲數學研究是這個世界上第二枯燥的工作（第一枯燥是在實驗室搖瓶子），每天對着一大堆數字、公式和圖表苦思冥想，這得需要多大的毅力才能堅持啊！ 而愛德華在書中卻展現出，數學研究如藝術創作一樣，是一個激情四射的求索過程，是一種個性十足的體驗，需要熱情，需要奉獻精神，需要全身心投入，從中體驗到的是思考的快樂、解決難題的成就感，其中當然有困惑和挫折，但更多的是心流和幸福。 數學之美是獨特的，這在於數學規律是客觀現實，而不是感官現實，它是一種獨立存在，與人類意識無關的東西。 沒有喬布斯，也許不會有現在的蘋果手機，但沒有哪一個數學家敢宣稱沒有自己，某條原理就不會出現，更沒有人去爲某個公式申請專利。 因爲數學表達的，是宇宙的永恆真理，它對一切衆生，不論膚色年齡性別種族，都是平等的，它無法私有，只能共享。 正如愛德華在書中的感嘆：在這個世界上，再也沒有其他任何事物能像數學那樣深奧、典雅而又不屬於某個人的了！

弗倫克爾結合自身的數學啓蒙經歷與研究歷程，講解了現代數學中的對稱概念與羣論。普通人通常認爲數學就是研究數字的學科，但現代數學的核心是對稱，核心工具是羣論。弗倫克爾早期的核心研究方向是無限維對稱。朗蘭茲綱領是數學界的大統一藍圖，也是一整套宏大的猜想：原本看似割裂的數論與分析，底層由同一套對稱結構連接，二者可以互相翻譯、互相轉化。正如物理學追求“力的統一”，朗蘭茲綱領追求的是“數學結構的統一”。朗蘭茲綱領以對稱爲核心打通了數論與分析，建立起全域數學對應；弗倫克爾進一步推動了朗蘭茲綱領的幾何化與物理化，實現了數學與量子場論的深層統一。他還倡導，數學教育不應該只聚焦數學的技術層面，更應當展示數學本身的美麗圖景。數學是永恆客觀的隱藏實在，人類只是發現而非發明了數學結構。