魔鬼數學：大數據時代，數學思維的力量

書分四境, "聖賢庸渣". (此書, 下聖) 私以爲, 原文書名(How Not to Be Wrong)更貼切. 不過譯名恰恰反映了我民的閱讀心態. [零假設] 當我們想相信什麼, 總能找到證據. 零假設就是這樣一個糟糕的工具~ 它可以讓幾乎我們的"任何疑神疑鬼" 得到 "證明": 偷斧子的鄰家小孩, 出軌的老公, 疫苗和抑鬱症, 上帝, etc. 邏輯上, 當我們簡單的把世界的可能性分爲: a 上帝存在 b 世界是無神且進化產生的, 由此想通過 "不存在的概率極低到幾乎不可能發生" 來 "證明" 上帝 "必須存在"; 我們忽略了其它可能性: c 世界是多神的 d 有一個跟上帝敵對的神 e 我們生活在某種matrix裏, etc. simply put: YOU CAN'T (prove that god exists). why? 因爲: 1 即使零假設可用, 也不行 -- 你需要考慮其它可能性, 證明b不可能並不確保a的必然 2 何況零假設是有問題的 -- 因爲零假設本身就是個概率極低的事件(任何事物都是或多或少關聯的), 證明"零假設" 是錯的在多數問題上形同廢話 3 關於b, 真的概率很低麼? 我們真的需要d,e,f? 這個不是本書話題, 有興趣的人可以看看霍金的 "The Grand Design" (有意思的是, David Deutsch的書 "The Beginning of Infinity" 很好的討論了matrix的問題, 頗逗~) [概率] 說實話, 我以前真的不知道, 當我們說 "明天有30%的概率外星人降臨" 的時候我們到底在說些什麼. 書中的解釋頗釋然: there are "known unknown" (we call RISK), and "unknown unknown" (we call UNCERTAINTY) 看來, 我們就是太經常把 risk跟uncertainty弄混了 -- 而兩者是完全不同級別的未知 -- (自然數和複數的差別!!!) [博彩] 三個結論: 1 gamble is usually a terrible idea (when you bet against the pro) 2 fee is high! 3 NOT ALWAYS! 地球人都知道賭場極難贏錢, 但關鍵就在最後一句: not always. (尤其當規則設計的比較粗糙的時候) 當低估的機會出現, 你是真的可以賺錢的~ (那個奧馬哈的老頭不總是說市場不是有效的麼) 當然, that's why we learn math. ho~ [關聯] 有些看似難以理解和解釋的事情, 其實背後有及其簡單的道理. 有時候這些道理在圖形上一目瞭然~ [因果] what's the difference between "correlation" and "causality"? answer: TIME 你真的認爲, 是肺癌使得人們吸菸麼? 是莫斯科的警察導致犯罪了上升? 是高體溫導致致病病原體攻擊你的免疫系統? [真理vs.定義] 大選和死刑的問題, 展現了通過數字解讀事件的豐富可能性和侷限 -- 從不同的切入點, 可能會得到相互矛盾的結論. 而哪一個纔是真實的呢? 於是, 結合哈代(以及霍金) 我們知道: 1 數學的體系, 依賴於公理的選擇. (有多少人爲選擇, 就有多少種幾何), 只有等價, 不再有"真理". 2 正因爲(1), 數學與真實世界, 是兩個相互獨立的世界. 數學的 "有效"(證明)有賴公理的選擇; 而物理的 "有效"(正確)有賴於對事實的建模.~ 都是人選的, 不存在絕對真理 3 對於更加世俗的世界(經濟學, 社會學, 政治), 更不存在唯一的"正確", 所以, 有賴於我們如何 "定義" (比如, 我們如何 "定義", 選舉的獲勝者; 或,我們如何 "定義" 一個人應該判處死刑) ~ 矛盾和悖論無處不在, 即使是本該無暇的數學公理體系尚且如此, 美國憲法裏充滿bug更理所應當. 發現自己喜歡的觀點(體系), 包含悖論, 崩潰, 或是從一開始就是完全錯誤的, 總不會是愉快的體驗 -- 就像自己喜歡的球隊捱揍. Fitzgerald給出的建議是: 對沖! 當你能夠從任何角度思考同一問題, 駕馭所有的正反觀點的來龍去脈, 你將 "真正擁有這個觀點", 甚至得到更深刻的領悟. 對於一個讀者個人來說, 其實最受益的並非底層的信息, 知識, 也不是中層的思想, 或上層的智慧; (雖然我用這個差異分類圖書) 而是一種更加玄妙(無法證明, 無法證僞) 的東西, "信念" -- 當你相信或迷戀一件事或一個觀念的時候, 有時候並非因爲它是"正確的" 或是 "有用的", 而是因爲你 "願意" -- 這是一個無關真理與正確的純 "口味" 問題. (很多美學問題是口味問題, 但並非所有的美學問題都與 "實用性" 無關.) yeah, FLAVOR, that's what keep you going! ~ /take home message/ 1/ correlation is cheap, causality is EXTREMELY expansive (or, even unobtainable). 2/ and that's why TRUTH is so f***ing boring and expensive (be careful with the tools you use) 3/ "evidence" is everywhere, if one wanna believe in sth; but it's always HARD to "disprove/falsify" sth, even if all it takes is JUST a single exception! 4/ at last, the counter-intuitive truth is: you can never PROVE any theory to be TRUE; but to FALSIFY it takes only ONE exception. (that is equivalent to: a, INDUCTION never works for creating theories. b, "creating ideas" & "understanding" are the 2 sides of the same thing) 5/ 哦最後一條: 高爾頓的經歷證明, "有一個名滿天下的大表哥" 對於學術發現真的很重要! .. 嗯~ 任何能減少世間的神叨叨, 都是好書! 

很有獨創性的作品。表述清楚明白，每閱讀到一個新的章節主題，我都懷有極大的興趣，並且充滿期待。不難讀懂，比較建議按照章節整體讀完。數學是人們用於思考不確定性事物的手段。藉助數學知識，我們即便無法完全馴化不確定性，至少可以使它變得易於駕馭。帕斯卡首先運用數學知識幫助賭徒理解隨機性這個概念，計算在不確定性最大的情況下賭注的賠率。數學爲我們提供了一種公正、公平的表達不確定性的方式：我們不是無能爲力，而是“不確定，原因是……不確定的大致程度爲……”又或者“我不確定，而且我相信你也不確定”。 以下爲摘錄 我們習慣於線性思維的原因之一：我們對時間與運動的理解，是在生活中觀察到的各種現象的基礎上形成的。甚至在牛頓提出他的那些定律之前，我們就已經知道物體會沿直線運動，除非有外力改變這種狀況。 隨着拋硬幣的次數越來越多，前10次結果的影響力就會越來越小。硬幣肯定無法記得前10次是什麼樣的結果！如果我們再拋1 000次，那麼這1 010次正面朝上的比例仍然接近50%。大數定律不會對已經發生的情況進行平衡，而是利用新的數據來削弱它的影響力，直至前面的結果從比例上看影響力非常小，可以忽略不計。這就是大數定律發生作用的原理。 有一天，一位巴爾的摩的股票經紀人主動給你發來一份行業資訊，透露了某隻股票將要大漲的內部消息。一週之後，這位巴爾的摩股票經紀人的預言應驗了，這隻股票真的漲了。第二週，你又收到一期行業資訊。這一次，這位經紀人認爲某隻股票會跌。結果，這隻股票真的跌了。10周過去了，這份神祕的行業資訊每期都有新預測，而且它們全都應驗了。 第11周的行業資訊又到了，勸說你將錢交給這位巴爾的摩的股票經紀人幫你做投資。由於連續10期行業資訊的預測都非常成功，這充分說明這位經紀人眼光敏銳，能捕捉到股票市場上稍縱即逝的良機，因此，他的佣金收入自然相當可觀。 這樣的交易似乎有利可圖，是吧？ 如果從那位巴爾的摩股票經紀人的視角來講這個故事，情況就大不一樣了。第一週，你不是該經紀人的行業資訊的唯一接收對象，因爲他一共發出了10 240份。但是這些行業資訊的內容並不一樣，其中一半人收到的資訊與你的一模一樣，預測那隻股票會漲；而另一半行業資訊的內容則正好相反。收到後一種行業資訊的5 120人，再也不會收到第二份行業資訊。但是，包括你在內的收到前一種行業資訊的5 120人，第二週會收到第二期行業資訊。在這5 120人中，有一半人與你收到的第二期行業資訊相同，另一半人則正好相反。因此，第二週過後，有2 560人收到了連續兩次預測正確的資訊。 到了第10周，有10名幸運兒會連續10次收到這位巴爾的摩股票經紀人的正確預測（無論股市是什麼情況，這個結果都不會改變）。這位經紀人有可能會密切關注股市動態，也有可能通過擲骰子的方式隨便選一隻股票，但都會有10個人在收到10期行業資訊後認爲這位經紀人是個天才。這位經紀人很有可能會從這10個人身上狠賺一筆，但是對這10個人而言，前面10次的正確預測並不能保證後面的預測也是正確的。 我們之所以會得出錯誤的結論，就是因爲這種“不大可能”真的會發生，並且令我們感到驚訝不已。宇宙之大，無奇不有。只要我們嘗試足夠多次，總會遇到這些發生概率極小的事件。 僅僅證明數據與理論相一致還不夠，還要證明數據與反面理論不一致，也就是要排除討厭的零假設。所謂零假設，指的是假設所研究的介入活動不起任何作用。比如，我宣佈自己擁有超能力，可以讓太陽從地平線上升起。如果你想驗證我的這個說法，只要在早晨5點鐘時走到戶外，就能看到我的超能力！但是，這樣的證據根本談不上是證據，因爲根據零假設，即使我沒有任何超能力，太陽也會照樣升起。 在服用第一代避孕藥的育齡婦女中，每7 000人中可能有一人會患血栓。服用新型避孕藥的確會使患血栓的風險加倍，也就是2/7 000的概率，但是這種可能性仍然非常小。“極小數的二倍仍然是一個極小數”這個數學事實已經得到了證明，某個數的二倍會產生什麼樣的影響，取決於這個數本身的大小！ 1982年的諾貝爾經濟學獎得主喬治·施蒂格勒（George Stigler）說過：“如果你從來沒有誤過飛機，那隻能說明你浪費在機場的時間太多。”與提前趕到機場一樣，杜絕浪費行爲也需要付出代價。履行義務與保持警惕都是有意義的行爲，但是杜絕所有浪費行爲，與把誤機概率從非常低降到零一樣，其成本超過收益。因此，我們不應該問“政府爲什麼要浪費納稅人的錢”，正確的問題是“政府浪費納稅人的錢以多少爲宜”。用施蒂格勒的話說：“如果我們的政府沒有浪費行爲，那隻能說明他們在反浪費方面花了太多的時間。” 到目前爲止，我們已經不厭其煩地證明了一個結論：從獎金期望值的角度看，買彩票幾乎在所有情況下都是錯誤的選擇；即使在某些罕見的個案中，彩票的獎金期望值高於其售價，我們也必須非常小心，才能從彩票中儘可能多的獲得期望效用。這個結論讓擁有數學思維的經濟學家，很難解釋彩票銷售非常火爆的事實。我們的老朋友米爾頓·弗裏德曼與倫納德·薩維奇給出的一個解釋得到了普遍認可。他們認爲，彩票玩家遵循的是一種不規則的效用曲線，該曲線表明人們在買彩票時考慮的是階級地位，而不是數量多少。如果你是中產階級，每週在彩票上投入5美元並且沒有中獎，那麼這個決策會讓你損失一點兒錢，但是不會改變你的階級地位。而且，儘管你損失了一點兒錢，但是這個效用與零非常接近。不過，一旦中獎，就會讓你步入一個新的社會階層。 迴歸平均值“從理論上講是一個必然的事實”。優秀的特質不會持續存在，隨着時間的推移，平庸這位不速之客會悄然登場。事實上，生活中隨時間產生起伏變化的任何東西，幾乎都會受到迴歸效應的影響。一位作家在他的第一部小說大獲成功之後，或者一個流行樂隊在其第一張專輯銷售火爆之後，第二部作品受歡迎的程度往往會下降，這是爲什麼呢？不是（至少不全是）因爲大多數藝術家的能力只是曇花一現，而是因爲藝術家跟所有人一樣，他們的成功也是天賦與運氣共同作用的結果，也會受到迴歸效應的影響。 我們生活的環境成了數字化信息的世界，相關性會使有效信息量減少的理念也成爲最核心的組織原則。過去，照片就是在有化學塗層的相紙上將顏料排成某種圖案的產物，而現在則變成了一串數字，其中的每個數字代表像素的亮度與顏色。一部400萬像素照相機捕捉的畫面就是由400萬個數字組成的數字串，因此這部照相機在拍攝照片時需要留出不小的內存。但是，這些數字相互之間有很強的相關性。如果一個像素是鮮綠色的，那麼下一個像素可能同樣是鮮綠色的，所以這幅圖像中實際包含的信息遠少於400萬個數字的信息表達能力。正是出於這個原因，壓縮技術才成爲一種可能。壓縮是一種非常重要的數字技術，可以將圖像、視頻、音樂和文本儲存到遠小於我們預期的內存空間中。相關性概念的提出使壓縮技術成爲可能，但是在實際操作中還涉及一些更現代的概念和想法。 白天證明、晚上反證的做法不僅適用於數學，還可以對我們的社會、政治、科學與哲學理念施加壓力。在白天時，儘可以相信自己的理念是正確的，但是到了晚上，則認真思考自己的理念是不是錯誤的。不要自欺欺人！儘管我們並不相信這些理念是錯誤的，在思考時也要儘可能地讓自己相信它們是不正確的。如果我們無法擺脫現有理念的束縛，則說明我們對自己深信不疑的理由有了更深入的瞭解，離找到證明方法也就更近了一步。

一、線性關係與線性迴歸的陷阱 線性，簡單而言，是兩個變量之間保持一定比例的關係，可以是正比也可以是反比。最常見的應用場景是統計分析中的線性迴歸方法，即用一條直線去擬合數據點，以預測或解釋變量之間的關係。 線性迴歸容易被誤用或濫用，主要體現在： 1.忽略複雜影響因素：現實世界中的很多現象，背後是多重原因共同作用的，單純用線性模型（即“粗線性思維”）只看數字比例，容易造成誤導。 2.陷入“相關即因果”的誤區：線性相關不等於因果關係，迴歸直線所表達的僅是數字之間的一種表面聯繫。 3.過度外推和擬合：根據線性模型外推未知領域，或以爲所有數據都能用直線描述，都會產生嚴重誤判。因此，使用線性工具時，要警惕背景變量和潛在因子的影響，不能盲目相信一條“看起來合理”的直線。 二、概率與數學推理——“奇蹟”背後的合理性 很多看似不可思議的事件，“奇蹟”其實都能用概率和數學推理解釋。例如，在一個樣本容量極大的場合，比如全國範圍的彩票，每天就有“中大獎”的人出現，即使中獎概率極低，事情依然會發生。 1.大數定律的啓示：只要試驗次數足夠多，低概率事件也幾乎必然會出現。 2.選擇性關注與敘述謬誤：我們只注意到發生的“奇蹟”，而忽略了無數沒有中獎的人。 3.概率的日常誤解：偶然中的必然，數學能幫我們用理性的視角看待所謂的“超常事件”。《魔鬼數學》教我們用概率邏輯檢視世界，那些“奇蹟”並非如願以償的神蹟，而經常是數學可以計算的必然結果。 三、迴歸現象——世界的“均值吸引力” “迴歸到均值”指的是：當某個現象表現極端（特別高或低）時，下次極有可能向均值靠攏。 1.極端表現與隨機性：比如某選手超常發揮獲得第一，下次表現往往回歸正常，這不是因爲“幸運耗盡”，而是純粹的統計現象。 2.誤解（歸因）陷阱：人們容易將回歸現象誤解爲干預有效（如“賽後批評”使得下次表現更差），其實只是對“極端”自然反彈的誤讀。 3.普遍應用：任何受到隨機因素影響的測量或過程（考試成績、運動表現、股市行情等）都包含迴歸效應。理解迴歸現象，有助於我們搞清楚哪些變化是真實的因果作用，哪些只是統計必然。 四、多元意見與公共決策的複雜性 當集體只面臨兩個選擇時，多數表決簡單明瞭，但現實中的立場常常多樣和複雜。 1.多元選擇的悖論：只要觀點多於兩種，民意就可能陷入“循環偏好”（A勝B，B勝C，C又勝A）的悖論，這就是著名的康多賽悖論（Condorcet’s Paradox）。 2.民意的模糊性：民意不是預設的、清晰的實體，而是衆多個人意見的複雜混合體。只有當大部分人一致時，才稱得上“有民意”。 3.政治策略的啓示： 優秀政治家關注公衆意願，但真正偉大的政治家善於利用分歧，在無法達成一致的情況下，實現最大多數人的最大滿意。 4.民主決策的數理哲學：數學原理揭示了“代議制民主”中的集體選擇難題，有效提醒我們：在公共選擇下，永遠不存在絕對公平的表達——這推動我們更加理性地審視“多數民意”的概念。 五、期望值——用理性衡量利益得失 期望值（Expected Value）是概率論的重要工具，用來衡量隨機事件的平均收益。 1.彩票的趣味案例： （1）購買彩票的實際價值，就是彩票價格。 （2）中獎價值則是考慮所有中獎可能和獎金後的數學期望值。 （3）正常情況下，期望值總低於票面價格，主辦方穩賺不賠。 （4）然而，歷史上存在罕見情況，因爲獎池積累和票價分佈失衡，某些彩票的期望值確實一度高於購買價，甚至吸引數學家和投資團隊批量購買彩票套利。 2.現實意義：期望值不僅用於彩票分析，還廣泛用於投資決策、保險、日常選擇等，幫助我們識別風險、做出最理性的選擇。 3.數學直覺的塑造：通過期望值等數學工具，我們能訓練直覺，敏銳洞察生活中的本質規律，避免被表象和感性誤導。 六、其他重要思想與實例 1.統計數據背後的故事：解釋數據時要警惕因果錯配、倖存者偏差等。“把世界簡化成一串數據很誘人，而對數據的誤用，卻可能產生災難性後果。” 2.數學的現實力量： （1）數學不是高冷的學科，而是分析問題的有力工具。 （2）學會用數學思維，能幫助我們做出更明智的判斷，更深刻地理解社會、經濟、政治等層面的複雜現象。 抽象的數學其實與我們每個人息息相關。數學不僅限於數字遊戲，而是理解世界、洞察本質、優化決策的思維利器。無論是統計分析的警示、概率奇蹟的解讀，還是羣體決策的悖論和期望值的算計，數學都在用理性照亮我們的生活。在信息爆炸和紛繁選擇的時代，更要用數學原理武裝頭腦，做更“聰明”的人。

一本側重於數學思維的書，裏面討論了一些理論比如大數定律、倖存者偏差、線性思維誤區、負數陷阱、非對稱支配效應等，瞭解他們有助於規避思維誤區，提高決策直覺的準確性。 Key takeaways: 斯科特·菲茨傑拉德（Scott Fitzgerald）說過：“一流的智力應該具備同時考慮兩種相互矛盾的觀點並且正常運轉的能力。” 在大腦中同時裝入相互矛盾的兩個假設，按部就班地梳理矛盾，區分知識與理念，逐一審視這兩個假設，直到最終發現真理，或者儘可能地接近真理。 決策時不僅要考慮所有可能的未來，還要考慮所有可能事件的影響，密切關注哪些事件可能發生、哪些事件不太可能發生；摒棄羣體信念與個體信念應當遵循相同規則的認識；爲認知找到最佳的平衡點，使直覺在形式主義推理鋪設的康莊大道上自由馳騁。

在這個被情緒綁架、被數據忽悠、被成功學PUA的大數據時代，《魔鬼數學》最尖銳的價值，從來不是教會人計算，而是給普通人遞上了一把反收割的理性匕首。我們總被99%有效、必賺不虧的話術裹挾，總把偶然巧合當成必然規律，總用線性思維賭長期趨勢，本質上都是缺乏一套可落地的數學思維防火牆。 這正是當代人最致命的認知短板。本書沒有堆砌晦澀公式，而是用最通俗的案例撕開真相：所謂“神奇偏方”不過是小概率巧合，所謂成功祕訣多是迴歸平均的假象，所謂絕對正確本就是理性的自我欺騙。這本書的犀利之處，在於它不雞湯、不迎合，直面我們的認知惰性：數學從來不是少數人的專屬，而是每個普通人對抗虛假、規避陷阱的生存工具。在這個靠情緒收割流量、靠謊言牟取利益的時代，不懂這套數學思維，不是笨，而是在主動給別人當韭菜；而讀懂《魔鬼數學》，本質上就是學會用理性對抗混沌，用邏輯刺破謊言，這纔是大數據時代最稀缺的生存能力。 本書最顛覆認知的 3 個核心結論 1. 數學的核心不是 算，而是 想：90% 的人學數學，都困在了 “怎麼計算” 裏，但這本書告訴你，數學的終極價值，是一套幫你看透本質、避開陷阱、做對決策的底層思考方式，哪怕你數學考不及格，也能完全掌握。 2. 深奧的數學，比淺顯的數學更有用：加減乘除人人會，但解決不了複雜的現實問題；而貝葉斯推理、迴歸效應、期望值這些看似深奧的原理，底層邏輯極簡，能直接解決你生活裏 90% 的決策、避坑、防騙需求。 3. 大數據時代，數學思維是你的終極防騙防火牆：我們每天都被數據轟炸 ，“95% 用戶好評”“這款藥有效率 99%”“跟着買年化收益 20%”，只有掌握了基礎的數學思維，你才能看透這些數據背後的騙局，不被別人當韭菜收割。 我覺得對投資感興趣的，值得一看，幫助你理解。

分享一下書中的概念，還在整理中 -倖存者偏差：在對數據進行數學統計的時候，要時刻提醒自己數據的來源是否經過某種程度的篩選，數據來源可能具有一定的倖存者偏差。例如，在統計總統支持率時網絡問卷不是一種合理的方式，因爲網絡問卷在無形中淘汰了一部分不接觸互聯網或是無法從某個途徑得知問卷的人，這導致結果會有偏差。 -線性思維誤區：分析低稅率政府的收入，你會發現稅收越多，政府收入越多，這不難理解。但當你分析高稅率政府的收入，你會發現收入隨着稅率增加而降低。這是因爲過高稅率打擊了人們工作的積極性，所以政府收入反而會下滑。綜上，稅收與收入之間的關係是條拋物線。所以爲了最大化收入，政府應該提高還是降低稅率，實際上取決於此刻在收入拋物線上的位置，這一點是和生活經驗相矛盾的。生活中我們習慣用線性思維去理解事物，"社會正趨向老齡化，按現有速度來看50年後社會80%都會是老年人"就是一個典型的線性迴歸的錯誤。 -大數定律：在連續10次得到正面朝上的結果後，我們總是覺得下一次反面朝上的概率肯定要略高一點兒，好像只有這樣才能修正目前的不平衡狀況。但實際上硬幣是沒有記憶的，這一次正面朝上的概率依舊不會有任何改變。大數定律不會對已經發生的情況進行平衡，而是利用新的數據來削弱它的影響力，直至前面的結果從比例上看影響力非常小，可以忽略不計。這就是大數定律發生作用的原理。 -負數陷阱：在數字有可能是負值時，不要討論它們的百分比。舉個例子來說明這個問題，假設我開了一家咖啡店，但是咖啡賣得並不好，上個月，我在咖啡銷售方面虧損了500元。不過，同時我的咖啡店還銷售點心和書，這兩種業務則分別爲我賺了500元。總的算來，我這個月賺了 500元，其中100%的盈利來自點心銷售。因此，點心似乎是目前的主要贏利項目。但是我也可以這樣認爲，利潤的100%來自賣書。這個例子容易看出其中的陷阱，因爲利潤把虧損的部分計算在內了。但很多生活中接觸到的數據並不是很容易發現負數陷阱。當談及增加的同時可能包含減少的時候，得出的結論就要多留意一番。 -相關性的不可傳遞性：煙酸與優質膽固醇含量之間存在相關性，高含量的優質膽固醇與低心臟發病率之間存在相關性，我們好像可以得出這樣的結論煙酸和預防心臟病有一定相關性。關於相關性不可傳遞性可以用一個簡單的例子來反駁，爸爸和我有血緣關係，媽媽和我也有血緣關係，但爸爸和媽媽之間並沒有血緣關係。相關性是不可傳遞的。 -非對稱支配效應：假想面前有兩個面試者A和B，他們在各種能力上勢均力敵，選擇兩者的可能性分別是50%。此時出現了一個新的面試者C，C的能力並不如前兩者，C更像是低配版A。按照概率來看C的出現並不會改變選擇A或B的概率，但試驗表明此時C的出現會讓實驗者更傾向於選A，這種現象叫作"非對稱性支配效應"。iPhone手機內存32、128和256G的，256G內存的選項讓消費者在32和128之間選擇的時候更傾向於128，就是非對稱支配效應的一種應用。

1.掌握了數學知識，就像戴了一副X射線眼鏡一樣，我們可以透過現實世界錯綜複雜的表面現象，看清其本質。 2.非線性思維表明，正確的前進方向取決於你當前所在的位置。 3.這個方法蘊含了一個基本的數學思想：如果老天要我們解決一個非常難的問題，那麼我們應該想方設法找到一個簡單的問題，而且這個簡單的問題與難的問題非常接近，這樣，老天也不會有反對意見。 4.人們在長期遵循傳統做法之後，很容易把它誤當作現實世界真實存在的規律。 5.如果你將不可能排除在外，那麼剩下的，無論可能性多麼小，都必然是事實 6.數學方法通常是人們天生就會的心算活動的形式化產物，是藉助其他手段對常識的擴展。 7.在面對數學難題一籌莫展時，我們通常有兩種選擇：第一，把問題簡單化；第二，把問題複雜化。 8.是否有激情以及是否刻苦鑽研是判斷一個人是否聰明的重要特徵。 9.事實上，生活中隨時間產生起伏變化的任何東西，幾乎都會受到迴歸效應的影響。 10.爲達到某個目的而發明的數學工具，往往也可以在其他多個方面發揮作用。 11.數學家有一個惡習，即以證明某些明顯正確的東西其實是徹頭徹尾的錯誤爲樂 12.數學還是人們用於思考不確定性事物的手段。藉助數學知識，我們即便無法完全馴化不確定性，至少可以使它變得易於駕馭。 13.當爲一個定理絞盡腦汁時，我們應該在白天證明它是正確的，在晚上證明它是錯誤的。 14.曾經嘗試過，也失敗過，但是沒關係，再嘗試、再失敗，每一次失敗都是進步。 15.數學告訴我們：世界是有結構的；我們可以期待去了解它的部分結構，但不可能像我們想象的那樣一蹴而就；在披上形式主義的外衣之後，我們的直覺將會變得更加強大。數學上的確定性，與我們在日常生活中形成的信念並不是一回事，後者的確定程度不及前者，我們必須充分認識到兩者之間的區。 對於和數學打交道不多的普通人來說，尤其是不怎麼接觸統計相關的，這本書只讀引言和結語部分就好了，最多把第一章線性思維看完就夠了。因爲後面太多統計學概率論方面的知識會讓你陷入迷茫。感興趣的除外。可能是我國沒有全民公投這類選舉問題，所以對書中選舉投票和彩票中獎策論都不怎麼感冒。加之最近有些忙，這本書讀了好久纔讀完。對這本書的期待高開低走，收穫一般。 書中總共六種數學思維模型，分別是：1.倖存者偏差；2.線性思維誤區；3.大數定律；4.負數陷阱；5.相關性與因果性的區別及相關性的不可傳遞性；6.非對稱支配效應。 數學是常識的延伸，藉助各種工具將複雜的問題變得容易理解，解析世界運行的規律。書中非線性思維讓人印象深刻，你往哪走只取決於你現在的位置，而不能想當然的理解成線性發展趨勢。還有幸存者偏差，我們要有全局思維，能夠站在畫面之外看。才能發現事物的本質。均值迴歸，一切太好太差的表現，最終都會迴歸均值，理解了這個，心態就會好很多，不再苛求每一次的完美。

📚魔鬼數學：大數據時代的思維利器 🔢《魔鬼數學》撕開生活裏的數字假象，超接地氣～ 🧠用數學邏輯拆解難題，普通人也能get硬核思維！ 數學思維的力量居然這麼強大 📒現在做決定前都會默唸書裏的話："足夠好＞永遠在等最好"✨ 📒深夜讀到"線性迴歸陷阱"直接笑出聲😂 "兩個變量一起增長≠因果關係"——這不就是我們總犯的"喝紅酒養生""學霸都早起"錯誤嗎？最近刷到養生帖都會下意識畫散點圖📈 🎲冷知識：作者用數學算出了《蒙娜麗莎》的黃金比例📐 理科學渣也能看得手舞足蹈！ 📚書名：《How Not to Be Wrong：The Power of Mathematical Thinking》中文名：《魔鬼數學》🗣作者：Jordan Ellenberg -📒該書的作者藉助故事形式，呈現了線性迴歸、推理、貝葉斯推理以及概率等統計概念的運用與誤區，助力我們geng有效地解jue問題。作者解釋了數學如何影響我們的日常生活——在我們甚至不知道的地方；在某些地方，數學變得相當複雜，但他總是適當簡化，讓你跟得上。 🌟書中金句摘抄： 1. 🔍在混沌的世界裏，藏着數學邏輯的底層規律 2. 📝數學思維，是大數據時代的決策底氣 💥讀它的三大理由： ✅告別感性決策：用數學邏輯避開生活裏的思維坑 ✅📊喫透數據本質：不再被複雜數字牽着鼻子走 ✅💪職場加分項：練就理性分析問題的核心能力 想提升思維邏輯的寶子👀 讓數學思維幫你看透問題本質！

數學通常被認爲是純理性學科，數學家被看作是不苟言笑的死理性派（我卻恰恰喜歡死理性派），數學學習也有那麼點兒枯燥，還有無聊又和現實脫節的數學應用題，但將信息數化的過程還是很有趣的，對數字化技術也有了直觀的理解。現如今，我們生活的環境成了數字化信息的世界：計算機語言、幾千萬數字組成的照片、軟件應用、信息傳輸、網絡遊戲甚至貨幣等等，都由數字編碼而成。數學思維爲複雜多變的外部信息提供了可量化、行之有效的工具手段，換個角度看世界很奇妙，也許不久的將來《黑客帝國》《西部世界》中的景象和數字生命或成現實。數學成爲了不確定世界裏的一點確定。現在越發覺得，太年輕的時候不適合學數學，得建立起對邏輯推理一定的認知纔行， 我二十來歲學數學可能比十來歲學數學好理解吧，但年齡再大又不適合記憶哈哈。 （ps：此書實乃治療睡眠障礙之良方）

我覺得把數學寫得有意思的人很偉大。很多時候不是數學沒意思，而是人沒意思。知識的壁壘人爲的情況比較多。