牛津通識讀本：數學（中文版）

常言道，隔行如隔山，就是同行時常也是如此，除非有高人指點，如同四兩撥千斤。這套叢書的特點就是請國內的專家寫導言。個人發現讀後收穫非常大，往往先讀它數遍後，才決定是否購與讀。例如，導言作者說，本書特點之一是，“作者在不便於或不需要進行嚴格數學推導的時候，會巧妙地繞過去，但對於必要的推導和論證，絕不偷工減料，而是不遺餘力地以十分詳盡的方式加以說明，一步步地將讀者引向有關的結論，同時也加深了讀者對邏輯論證嚴密性的理解”。這歸根結底是和作者深厚的數學功力、對數學內涵及其精神實質的深刻理解和把握分不開的。所以，咬牙跺腳買了它。因爲個人特別欣賞書中作者，反覆強調並解釋的一個基本的觀點：“對於數學，不要問它是什麼，而只要問它能做什麼。這一抽象化的思考方法，將重點放在數學內部體系的相容性，強調新的數學概念、方法與內容和已有的數學體系應自然地融爲一體，強調要將有關的數學內容脫離其物理上的實在、變爲符合一些特定規則的記號，就會更利於應用，更利於正確地理解高等的數學”。 令人驚奇的是，這本說數學的書，幾乎全部都只是具體的文字描述，沒有用那些很多唬人的數學公式。而且，每章都是那麼簡潔！這大概就是真正數學家，真明白人的特點。本書的特點還有，數學不深，道理深。 因爲它只是想引導人：思考數的哲學本質？數學有一種特別的思維方式。特別是，書中的數學表達公式，是乎都沒有超過高中水平，沒有任何微積分的公式等。 作者蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）教授獲得菲爾茨（Fields）獎的著名數學家。讀完他的書，不敢像說一些人吹的，可以數學功力大增，至少可以說，哪感覺就像，現在三伏天從外回家，立刻就送上一杯現榨，帶各種熱帶水果，外加冰鎮牛奶果汁，那是一個爽快！ 讀完本書讀者可能還會有的最大驚奇是：它幫助你產生幻覺，好像任何高中學歷以上的人，是乎都可以寫本有關數學書，在牛津大學出版社發表。😂😂😂！所以，我們不能不佩服本書作者的智慧與寫作能力與素質。

大道至簡—讀《牛津通識讀本：數學（中文版）》 昱宬 字數 1596 2019-03-07 19:40 本書開篇就️以20世紀初，偉大數學家大衛·希爾伯特的發現：【有很多數學中的重要論點在結構上十分類似】道出了，大道至簡，結構當然相似，而且是從底層開始構建。 書中的概念，比如內積空間（大部分讀者會雲裏霧裏），它由歐幾里得空間抽象而來，這是泛函分析討論的課題。至少我們都學過歐幾里得的平面幾何，即使忘記了也無妨，閱讀此書它會讓我們重溫歐幾里得四大公設，並理解了抽象思考的方法，假如讀者願意跟隨本書的節奏，不僅可以掌握些許抽象思維的方法，並把通過對歐幾里得第五公設平行線的思考，衍生出對球面的思考，得出雙曲幾何、球面幾何的概念。從而由抽象思考形成抽象思維習慣後，能幫助自己從紛繁複雜的現象中迅速歸納出一個或者多個規律，並會由此心生歡喜。因爲我們可以得到，在地球表面上，有一個各角均等於直角的等邊三角形。作者指出【“原則上”這個短語在這裏被過度使用了，因爲這樣的計算將會是極端複雜的，並且需要知道骰子的形狀、材料、初始速度、旋轉速度等更爲精確的信息，而這般精確的信息在實際中是根本無法測出來的。】，是不是感覺到，如果我們在與人討論”看到都不一定是真實”這樣民間智慧的時候，可以幫助我們更智慧方式就是使用抽象思考得出規律，然後將具體情況再代入呢？是不是也可以理解了，凡事從公理出發，充分應用、遵循特定的“規則”，最後以有趣的數學陳述結束，那麼這樣的陳述就可以當作定理接受，否則就不能被視爲定理。是否覺的佛教理論的因果論也如是說呢？ 科幻《三體》裏一個概念“降維打擊”被衆人津津樂道。什麼叫降維？又怎麼升維？在數學中可以將其特徵表述出來嗎？高維與低維的距離怎麼算？假設已知二維面積，向三維擴大一倍，三維的爲什麼是二維的四倍？還有，爲什麼這個時候不用體積來做單位？其中的含義又如何？此書會一一給你到來，讀者只需拿着筆和數張草稿紙跟着計算即可。 通過閱讀此書，或者類似的書籍，我們也許可以開個腦洞，在數學中將求導高階函數，也是一種降維；也可以在與人的交流過程中，對方如果習慣使用陳述句，那麼至少交流對象是一個對自己很負責任的人，因爲作者引用了一個宣言【邏輯實證主義者的宣言：“陳述的意義就是其證實的方法。”如果你出於哲學方面的考慮，認爲我的觀點令人生厭，那你不妨不要將它看作一個教條式的斷言，而是視爲一種可供採納的態度。實際上，我希望表明的是，要想正確地理解更高等的數學，採納這種態度是至關重要的。】，理由是數學即使無法做到精確的時候，至少它不放棄，而採納一種誤差允許範圍內的近似；閱讀此書，它還可以幫助我們如何理解俗語說的“那只是一種理論，與實際脫節”的真正內涵是什麼？原來，理論本來就是解決現實問題的，說這樣話的人並沒有對理論熟悉到能解決實際問題的能力，所以他要麼想繞過去，要麼想掩蓋自己的理論不紮實，或者羞於承認自己浪費了一些本可以不浪費的時間。 由於人類的心理作用，認爲公理都是因爲它的真實性，閱讀此書，我發現了【公理系統的主要問題並不是公理的真實性，而是公理的自洽性和有用性。】於是，我們對根號2具體是什麼數字，爲什麼是無理數也就釋懷了。 閱讀此書，我覺的數學一直在踐行着科學精神中的質疑、探索、理性、實證四要素。啓發較大的是，數學思想在生活、工作中應用，就是提醒自己，不要考慮一步到位的完美解決方案，因爲那樣有可能讓人一籌莫展，卻又很裝逼似得暗示自己，“我在追求完美”。 作者還提出“思維體操”這個概念，這個詞義表示需要數學需要基礎訓練，而且存在已知的高難度的動作，還有不可預知的難度。從這個概念出發，我們也理解了爲什麼有那麼多人旗幟鮮明地厭惡數學？因爲數學總是持續在自身的基礎上構建，所以學習時的步步跟進就顯得很重要。也理解了，如果對數學研究的艱難程度沒有一點概念，不瞭解要想做出重大的原創性工作，必須要花上數年的時間來充分發展知識和專長，也不知道數學是一項多麼需要集體合作的活動。那麼數學的確是令人望而卻步的。

我發現我對數學，尤其是高等數學，存在一個始終都難於逾越或者說適應的東西，那就是這些抽象的符號、定義、公式到底是什麼，意義是什麼，一旦我這樣思索（無法控制、下意識），試圖具象化，我就很容易停滯不前，再加上數學規則邏輯鏈十分縝密，往往嚴重的依賴之前的證明和規則，總是持續在自身的基礎上構建，不牢靠和充滿困惑的知識怎麼指望讓人完全掌握甚至感興趣呢？ 在實踐中，關於數和其他數學對象，重要的只是它們所遵循的規則，規則是最重要的，作者在用整本書說明這個。對於數學，不要問它是什麼，而只要問它能做什麼。好像從來沒人告訴我？又或者沒人鄭重其事的和我聊這個，以至於我的大腦始終殘存着開篇那樣的思考方式。 數學作爲最高層次的抽象思考，可以消除許多概念和哲學問題，而我也明白了，真正無趣的並不是數學，而是我所受的數學教育。 這本書對於把握數學特徵和研究方法提出了高屋建瓴、深入淺出的見解，建議所有對自然科學感興趣的朋友都來看看。

怎樣的一本書可以做到：話題既深刻又有趣，行文既從容又精煉？本書當合此意。 霍金大致說過，公式加一，讀者減半。那麼，一本以《數學》爲名的書，彷彿就不該出版。 公衆對於數學的“敵意”是強烈的，但這不是數學之錯。 很可能並不是因爲數學很無聊，而是數學課的經歷很乏味。 印象一旦崩壞，想扭轉的難度之大可想而知。因此本書評僅面向如下兩類人： 1 對數學不那麼討厭，甚至還有點喜歡； 2 即便討厭，也會反思是否只因自己偏食。 至於那些數學的深度仇視者，或許可以借本書開啓一場救贖之旅： 1 在一個自媒體橫行的年代，我們至少應該具備的是區分小丑和高手的能力。數學大家很少寫書，也許數學證明就是他們的生命之書。所以請珍惜本書，作者爲1998年菲爾茲獎得主。 2 全書字數不足8萬，每章節短小精悍，基本可能做到在你準備放棄前讀完。如果你感覺某些章節困難，讀一段想一天的少食多餐策略是推薦的。我無意散播本書很難的印象，只是數學本身的很多話題就不存在於很多人的生活中，是陌生感產生的隔閡，絕非作者故弄玄虛。 3 我們當然不可寄望在如此濃縮的一本書裏能做到面面俱到，但竟然能將數學最精要處展示出來。尤爲可讚的是，凡其所寫的，幾乎都能做到清楚明白，這就是一個內功深厚的高手所爲。 本書行文輕快，既可能是作者的一種隱忍，也可能出於追求簡潔的一種數學本能。但其內涵卻足夠豐富，全書8章大致分爲三部分： 1 一般性數學（第1-3章） 前兩章主題是“抽象”，而且作者還將其分爲三個層次的抽象，我將其理解爲物理抽象、哲學抽象和數學抽象。 物理抽象是將現實世界中繁雜的現象去蕪存菁後，追求本質的過程； 哲學抽象是對完成物理抽象後的，對所獲得的“不是具體的、有形的”數學對象進行研究的過程； 數學抽象則是徹底不用顧及現實世界，而以邏輯爲其邊界的放飛自我的過程。 正所謂“欲窮千里目，更上一層樓”，對每一層抽象的理解或接受，都會越少束縛，難怪那些純數學家仿若行走於雲端。也難怪一些人會感嘆數學之美，另一些人一臉懵逼地問“你說啥”。 如果說這本書要向你傳達什麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考…… 第3章論及證明。如果說抽象讓數學超然世外，而證明則令其清澈透明。其實證明與公理化思想放在一起更完整，因爲這才足以體現數學的演繹邏輯特徵，這也是數學有別於科學以歸納邏輯爲起點之處。 2 主要數學分支（第4-7章） 這部分的前三章分別論述了數學三大分支的分析（極限與無窮）、代數（維度）和幾何。 第7章很有特點，直言“大多數人認爲數學是一門純淨、精確的學科……這樣的想法實在是大錯特錯”，好像前面爲數學苦心經營的很仙兒的人設一下子崩潰了，其實不然。數學是一門不設限的學科，它不爲人設而活，而爲人類的自尊心而活。我們可以承認對很多事情的無知，但在此之前，我們決定探索一下兔子洞到底有多深。 3 數學家的故事（第8章） 本部分8篇小文章，讀起來都輕鬆愉快，或許有助於消除很多人對數學或數學家的誤解。 其中的第7篇《有沒有著名數學問題被業餘愛好者解決過？》尤其有意思，它告訴我們，如同整個人類文明的發展一樣，數學也是一門需要積累的學問，那種“掉進一個洞，偶遇一本書，練就一身功，從此稱霸武林”的武俠觀，或者我們追求頓悟的想法，極其有害。 對很多人來說，數學像一堵高牆，殊不知走出牆外，就是一場擺脫思想囚籠的自由之路。 牆外也許無杏，但一定有美好。一生囿於圍城，甘心嗎？

數學即哲學！這是我的觀點。而且，數學是一門真正普世真理。不受任何人，任何地域，任何國家，任何意識形態影響和左右的學科。 自人類誕生，數學即誕生。人類開始進行理性思考以來，就一直在發現、論證關於數學的基本問題。 因此，數學即是邏輯。數學的本質是按照規則對字符的操作。數學是一門心靈活動的修正主義哲學。

通識讀本的意義在於科普。當然專業是數學的根本用不着讀這樣的書，估計都深度掌握了。數學即關於數的學問，既準確又模糊，既有意義也充滿玄機，1是什麼？指的是一頭牛，一隻蝴蝶，一棵樹，一朵花，一株苗？還是一個國家，一個民族，一個地球？都是，都不是。這便是哲學的追問吧？一生二的意義是什麼？也許是人生的岔路口。哈哈😄，1+1等於幾？0，或1，或N，在時間長河的變量中的確寓意萬物，生生不息吧。在我看來，至少學好數學買菜時能算清帳，知道多退少補的意思，知道開源節流指是啥，買房要耗銀幾何？活多久，體重身高血壓值，橫豎撇捺幾斤幾兩即心中有數，你瞧，數來了，哈哈😄，不知天高地厚即糊塗蟲，儘可能（近似的概念）不做這樣的糊塗蟲吧。邊看邊想，讀這樣的書，會覺得自己不怎麼聰明。讀不懂不能怪作者。 胡言亂語，閒時可補腦洞。謝謝高爾斯和譯者。

三維世界無法確定四維世界物體的真實形狀，這就好比你捅破一層窗戶紙，紙上的二維生物只認爲有類似圓形的不明物體入侵，根本無法判定是人類還是其他什麼生物，同理，假如能看到高維生物，也只是其部分身體在三維世界投影，根本無法確定到底是什麼模樣，數學有N維空間的定義，但是卻無法真實描繪N維世界，這需要N維世界的知識來定義。 ----夢迴冰河紀，己亥九月十七於烏魯木齊

讀完這本數學科普書，儘管有些數學概念深奧，晦澀難懂，但書中提出的數學學習和研究的思想、方法、態度，卻是值得人們去思考、借鑑、運用。數學作爲一門自然學科，已成爲整個科學研究的基石，引領着衆多的自然學科、社會學科的發展，並催生了許多新的學科，豐富和發展了現代科學技術。特別是計算機技術的迅猛發展，數學思想方法和技術的科學基礎更加重要，甚至會爲未來的人工智能和生物技術等學科發展輸入強大的動力，未來的科學技術發展的希望在數學！

數學的本質是表達的藝術。2019年讀完的第203本書。

很簡潔的把數學的美表達出來。成書年份偏早，一些內容已經過時。 比如龐加萊猜想被證實。 比如如今數學家很頻繁的使用電腦去輔助研究（不是單純的計算），如陶哲軒，無論是用 lean 還是 AI。 而且優秀的女性數學家越來越多，比如 2025 年最重要的數學進展有很多就是女性數學家貢獻的，包括王虹等證明三維掛谷猜想。