数学女孩3：哥德尔不完备定理

世界非常伟大，我们单从表面观察到的无法与之相比。 ——哥德尔 作为一个自恃理解力特别好的直觉型选手，这是我选择数学系时最大的依仗，结果却成了我在数学道路上前进的最大障碍。数学这个东西，越是学下去，反直觉的东西就越多，以及，有时寻找意义是没有意义的，形式就是一切。很多定理公式，是需要很艰难很一头雾水很义无反顾地推导下去，在很久以后才能看到其中蕴含的深远含义，这也是数学让我又爱又恨的地方。“数学的本质在于它的自由”这句话是没错，但你要先在不自由中挣扎磨炼多年，才有可能到达真正自由的境界。真是太难了。 说回这本书，数理逻辑是我上学时就最喜欢的一门课，也勉强算是学得最好的一门，所以这一本的内容对我来说还是非常直白明了的。但我觉得这套《数学女孩》的意义，可能就是把“形式”和“意义”的距离拉近了一点，让人不至于时常发出“这有什么用”的疑问；把大定理的证明拆分成许多部分逐个击破，也是降低理解门槛的有效做法。说到底，真正有用的并不是某个公式或定理，而是建立不再依赖感觉和语言、而要依赖逻辑和算式的数学思维。这就像学习一门新语言，虽然过程痛苦，但新世界的大门也随之打开。祝大家都能体会到这种乐趣。

断断续续大半年, 终于看完了.「选聪明的还是选可爱」这个世纪难题还是没揭开, 不会又是喜闻乐见的套路吧. 不过在我舒一口气的同时: 中文版只出到了 3, 日文原版出到了 6, 而且还没完结!

看完以后感觉，哥德尔是个天才，抽象数学领先计算机程序语言几十年被其发明出来，看不懂是我的问题不是哥德尔的问题[偷笑]作者也很厉害，十章的篇幅将抽象代数和数理逻辑讲的算很透彻的了（除了第十章，知识难度陡然提升）

不管是什么样的真理，只要一经发现，就很容易被人理解。重点在于，要去发现真理。

科普很棒，不过如果想看小说剧情就不必了，像初中生写的日漫风[捂脸]。由于我是外行，感觉最后一章难度比较大就没看。

前面九章还是挺不错的，可以算很好的科普，甚至最后一章的“春”“夏”“秋”都还是正常的。结果到了“冬”，作者一口气甩出46个定义，我两眼一黑差点没晕过去，这是直接把哥德尔的论文复制过来了吧。 作者在后记中对自己的评价算是中肯:“在开始写作本书时，我自以为已经大概理解了哥德尔不完备定理。然而随着写作的推进，我发现自己的理解很不透彻。”如果写作者对内容的掌握没有达到鞭辟入里的地步，自然是无法向读者准确清晰地传递信息。

虽然是科普书，但没有纯谈数理逻辑的演化史，从概念出发，到推理结束，一环裹一环，像不断裹挟上升的浪花，看得非常过瘾。里面主体讲的是数理逻辑，还讲了一小些极限、连续、正余弦函数（并不知道为什么插入这些内容）。 可以瞥见，数理逻辑是计算机软件的雏形和基础，尤其是从罗素到哥德尔的一路论证与反论证，都是一步步地扩大形式系统，为了计算机的不可判定问题进行充分的理论准备。皮亚诺公理用来定义自然数集，将集合与逻辑结合在一起，建立了数学的基础。但集合如果只研究有限的话，其实很 trivial，集合被提出来的核心问题是研究无限。逻辑学的两大研究方法——语义学（Sematics）和句法学（Syntax），都是编译器乃至自然语言处理的基石。尤其是句法学研究，在不了解语义的情况下，使用与外延相对的内涵方式，使用一系列的集合来定义形式系统，更贴近计算机程序的日常思维。形式系统的组成包括公理、逻辑公式和推理规则，将三者结合在一起就能从形式上表示“证明”，得到的就是“定理”。而形式系统本身可以被定义为“相容”和“完备”的，这两者都是使用形式系统本身得到的定义，也就是形式系统的形式系统，希尔伯特计划就是想要证明数学可以被形式系统完全表示，并且具有相容性。哥德尔的两种不完备定理就是对这种形式系统能否用来描述形式系统进行了一番推理，他将形式系统的符号序列中的每个符号用质数来唯一描述，得到乘积，这一乘积被称为哥德尔数——因为是质因数，可以一一对应，所以哥德尔数可以用来唯一表达与确定形式系统。 形式系统里的逻辑公式可能会有自由变量，在自由变量还存在时逻辑公式就能被称为谓词，即 Predicate，消除掉自由变量后就是语句，语句才在语义上存在现实逻辑中的对错，而谓词不会。将自由变量用哥德尔数的数项替换后，就是对角化。对角论证法，就是将逻辑公式的现实含义代入形式系统，康托尔用它论证了实数是不可数集合。 在书里还提到了形式系统里的不同类（第 1 类、第 2 类……），类似于泛函里高阶函数的概念，很有趣。另一个有趣的形式系统表示是，将公理、定理都定义成形式系统里的数组项，前些项是公理，最后一项是定理，大概是酱紫研究形式系统本身。 分析、拆分和综合，形式化后又返回有含义的问题，酱紫形式和本质统一起来研究，会促进理解，也就是数学建模的核心所在。在数学中，形式相似时本质便也相似。数学归纳法，之所以有“数学”的前缀，是因为把它应用在其他学科时，很容易得出一些玄学结论。书里也批评了“滥用不完备定理，把它当成证明理性界限的定理”这样的玄学应用法。 另，书里几乎给出了哥德尔不完备定理的完整证明（说几乎是我根本没有跟着推……），如果有兴趣的话也可以就着哥德尔的原始论文单看这个。 前边都挺科普，最后一章开启狂奔模式——一步接一步地定义了一堆定义，代入一堆需要往前翻的公理，推出了哥德尔的两个不完备定理（这一部分建议当作传统教科书，拿起纸笔推演）。

近日終於重啟我的「數學女孩」之旅，繼續整理擱淺了近一年的筆記。約莫一年前完成了1&2的筆記整理，重溫之後開始著手第3本。這個系列的數學小說我第一次讀時其實沒有按順序，沒記錯的話3是我最後讀的一本，去年初初次讀完。 重溫這本書的內容我還算有印象，尤其是第十章的超級證明過程——引入46個定義之後從形式邏輯上證明數學的不完備性，非常燒腦，幸而這次閱讀手邊有英文版紙本書，不像初讀中文版電子書那麼雲裡霧裡。對照著看，果然我之前的感覺是對的——我對中文版很有語言障礙，英文版看著順眼多了；英文的用詞很直觀，但中文真的很讓人困惑（每個字都認識，但連在一起是在說什麼）。目前正在整理筆記，還沒到「超級證明」那章，目測會很費紙，彩墨們很有用武之地。我一如既往地喜歡寫筆記的感覺:)

「不，我还不明白」 算起来这是我看过的第三本有关哥德尔不完备定理的书籍了，前两本是侯士达的《G.E.B》和他编写的《哥德尔证明》。其中给我最多我好像有点懂了的幻觉的是《哥德尔证明》，《G.E.B》则多数时候觉得在看天书，而本书，则在前九章看得我信心满满，直到翻开第十章直接瞌睡连连。 撇开证明本身，对于一本以数学主题内容而言的书，本书从高中生学园生活角度切入，带上一点青涩文学，的确给冰冷严谨的证明敷上了层浪漫的光晕。以对话形式构建数学证明也有助于降低理解的难度。前九章选的数学证明内容也颇具启发性。尽管在临门一脚的不完备定理证明上让人有点摸不着头脑，但对于不完备的数学意义的反复强调仍另我印象深刻。

这个问题本来就是很难和不懂的人讲清楚，作者还是用了很大的力气的，但是感觉还是没有讲太清楚，可能最大的问题还是直观的例子不够丰富吧。 涉及到自指涉的问题都是很绕的，如果没有足够的浅显的例子，对大多数读者来说，这些文字就只是一堆绕口令式的拗口又难懂的佛经而已了。 向作者的努力致敬，但确实觉得还有改进的空间，毕竟努力的目标是让更多的人理解所讲的东西，而不是让大多数读者不明觉厉。