计算进化史：改变数学的命运

二刷，还是看得很艰难，本想着学过编程的我慢慢啃慢慢磨是可以拿下的，事实证明要读透它，我还差好几个计算机系和哲学系的学生……小小篇幅二百多页，却是全程高能的硬通货，非常烧脑，作者写得简洁凝练，多数专业名词都蜻蜓点水，随便一个句子都可以引申出宏大的数理背景和一座座高耸的逻辑大山，没有太多的时间去查资料，总体看下来大概脉络是了解了，收获也挺多，但是那些蜻蜓点水的专业名词似懂非懂……只怪自己综合素养还不够。 “数学”活动最古老可以追溯到公元前2500年，美索不达米亚平原和古埃及的会计师们会做一些基本的加减乘除计算，比如分配粮食，测量土地等，公元前5世纪毕达哥拉斯学派对“无穷”的引入，实现了抽象的数学对象与自然中的实际物体之间的分离，三角形不再是一块田地的形状，而是无穷无尽个三角形形状抽象出来的概念，毕达哥拉斯定理适用于这个三角形，还有千千万万个三角形也适用吗？单靠简单的测量再计算已经不够，思维方法的改变势在必行，要用推理来代替计算，这个转变，视为数学史的诞生。书里用了一章的篇幅解释了什么是推理，最典型的例子就是欧几里得的专著《几何原本》，这本书一直都被视为数学方法的原型：先提出公理，然后利用显式或隐式的演绎规则，由公理证明定理。从此，计算常常被视为数学知识中最基础的一部分，做计算也经常被看成是缺乏创造性的枯燥工作，数学家们自己对计算颇有成见，甚至认为推理才是解决数学问题的唯一途径。作者本书《计算进化史》为计算正名，认为解决问题需要把推理的步骤和计算的步骤巧妙地融合起来，讲述了自20世纪70年代开始，数学方法的基石——证明的概念逐渐发生的演变，让被人忽视的数学概念“计算”重新回到了舞台中央（随着算法的出现和计算机的发展，不少数学家尝试是否能用算法代替推理，结果均已失败告终），并展现了计算为数学研究发展带来的全新前景。 下面讲讲我几个看得懂的也饶有兴趣的几个概念。 谓词逻辑的发明：要证明某个命题，自然语言有着严重的不精确性，比如“所有人都爱着某个人”就会产生歧义，可以是所有人都爱着同一个某人，也可以理解为所有人都有一个自己爱着的某个人，戈特洛布·弗雷格和查尔斯·桑德斯·皮尔士等数学家，引用了变量、关系谓词以及“任取”和“存在”等量词丰富了命题的语法，只要调换量词的顺序，就可以降歧义消除掉，比如“存在某个人x，对于任何一个人y，都有y爱着x”表示所有人都爱着同一个某人，而“任意一个人y，都存在某个人x，y爱着x”则表示任何一个人都有自己爱着的某个人。这样严谨的谓词逻辑就可以表述演绎规则了（ps:弗雷格的谓词逻辑反驳了康德的数学判断都是先天综合判断，认为应当是先天分析判断）。但是，谓词逻辑也有缺陷，在这个逻辑中，出现可以证明一个命题以及它的对立面同时成立，比如我们可以构造一个集合R，它包含所有不是自身元素的集合，可以证明，集合R既不是自身的元素，又是自身的元素（通俗版就是有名的“我是说谎者”）。悖论的出现让谓词逻辑根基不稳，后来罗素首先在1903年为弗雷格的逻辑提出了一个修正方案——类型论才修复了谓词逻辑。 可计算性理论：如果一个问题可以用算法解决，我们就说它是“可判定”或是“可计算”的。比如求两个数的最大公约数就是可计算性的，那么有没有一种算法，能够判定在谓词逻辑下的命题是否可以证明成立呢？通俗来讲，就是设有一个关于命题的函数，该命题可证明成立则函数值为1，否则为0，这样的函数存在吗？答案是不存在，丘奇和图灵用归谬法证明（通俗讲，就是设置一个程序C，指令是当C不停机时C停机，当C停机时C不停机……像不像让一个人把自己抱起来？）所以，计算和推理完全是两回事：某些数学问题无法用计算解决，需要推理。细思极恐，如果这样的算法存在，那么计算机以后可能会是可怕的存在，人脑太不堪一击了。 可构造性理论：通过举出一个例子来完成的存在性证明叫作“构造性”证明，而被举出的例子则称为“例证”。但现实很多问题是无法用构造性证明的，比如一枚硬币掉进一个看不见的箱子，要嘛它正面向上，要嘛反面向上，但由于箱子是密封的看不见，所以你无法举出“例证”，到底是正面还是反面，这个时候只能用排中律，一件事和它的对立面不可能同时是错的，如果正面向上得到数字2，反面向上得到数字4，排中律可以确定得到的数字一定是偶数。有些命题的已知证明必须依赖排中律，结果导致有人承认它们是定理，而其他人则不承认——构造主义危机。构造主义危机的主要意义在于，它让人们注意到了日常语言中“存在”一词的不同含义。我们今天可以用“存在”一词来表示我们能够构造这个对象，明天就用同样一个词来表示对象应当存在，虽然我们不知道如何构造它。构造主义危机算是解决了。 后面第三篇的公理化危机看得囫囵吞枣，有时间有精力再续……

Masterpiece! 把数学放在了更广的背景之下！试图寻找“无公理的数学”更是一种新的路径。丘奇论题（可形式机械规则化）比丘奇定理（机械规则必须停机）给出了更深入的见解，而“物理丘奇论题-唯物主义解释”的结合已经足以证明“R规则=M物理=H心智”；我用斯宾诺莎的语言转述一下就是R规则就是实体，M物理就是自然/宇宙，H心智就是思想。当然作者只给出了R-M-H之间的关联和可能的制约，并没有得出我这个斯宾诺莎主义者这般强制的结论。推理和计算可以是等价的，因为两者都是逻辑的不同体现；而公理是概念的隐性定义；那么“定义-公理-推理/计算”是需要整体考虑的事情，他们之间的关系必然是非线性的；我们需要从语法（推理/计算）中生长出语义（定义），而公理是我们中途的脚手架，建成之后可以拆除。

当数学跨界遇到哲学、科学，这本书带你重新认识什么是“计算”。 这本书从计算的变迁这一独特视角回顾了数学、逻辑学和哲学的历史沿革，展现了计算为数学研究发展带来的全新前景，展望了这场数学革命在自然科学、信息科学与哲学领域引发的重大变革。本书荣获年法兰西学术院哲学大奖，一直是数学、计算机科学和哲学领域的畅销读物。

篇幅不长，但理解难度却非常高的神作。作者对计算的入路是从最早数学的实用计算主义到古希腊的推理体系，然后再到希尔伯特时期的讨论进行深入浅出延伸的。其后又对计算机是否可以进行证明提出了探讨：四色问题是否是一个证明？并且由此延伸出，现代数学的分析发展必然是后天分析，而计算是否可以取代公理，最终实现自由的计算+演绎的证明模式。这无疑将会为数学的发展建立一天黄金之路：虽然没有办法实现希尔伯特梦想中的完美自洽同时可以完美理解的数学，但依然可以为数学绕开难以处理的公理逻辑。如果可以实现，那么计算机注定就可以为数学带来一条新的康庄大道。

这本书的信息密度过大，包含的概念非常多，讲述公理，逻辑推理和计算三者的关系基础，涵盖了不少现代数理逻辑基础，也就是数学的数学。 我的水平还无法对这本书就行评价，前半部还能看懂一些，后半部主要就是看概念，了解一些专业词汇了，这是讲述数学之道的书，如果只想学习数学知识本身，只求术的话，还是建议不要看了。

某种意义上说西方文明体系间组分间也并非完全孤立的，任何单一命题追本溯源都会回到古希腊哲学的基本命题，世界是数的（毕达哥拉斯学派），世界是物质的（泰勒斯），以及世界是逻辑的（亚里士多德）。从物理史角度人们更关心泰勒斯与亚里士多德的交汇（世界的物质性和精神性极其基于的逻辑结构，形而上学），从这本数学史中可以洞察毕达哥拉斯与亚里士多德的交流（证明or计算），毕竟亚里士多德的三段论奠定了逻辑表达的基础（虽然不够严谨），同时亚里士多德也定义世界问题的了”形而上”和物理学这个名词。也就不难理解为什么20世纪是物理学转身，形式逻辑哲学兴起（丘奇，维根特斯坦，哥德尔），第二次数学危机的发端（罗素悖论，希尔伯特，），以及控制论（维纳）的出现、计算机概念（图灵）的兴起，因为一切都可归咎于这样一个命题”是否存在一个物理系统，他可以解释世界”，19世纪牛顿的答案被否定了（机械系统），哥德尔定理（形式逻辑系统），罗素悖论（集合系统），图灵机（计算系统），而这一切都又不是完全孤立的。

太棒了，全书如听仙乐耳暂明，特别是谓词逻辑命题那块。 后面最后一章，感觉后劲不足，如果作者有物理学背景，和分析哲学背景，对“消除公理，靠计算规则和演绎规则来证明命题”这个问题，就感觉能给出更好的理解了。 这本书对了解计算机的由来，和符号分析哲学，和数论的发展历史，都是很有帮助的，思考的历史，为什么要去做那些 ，对动机的历史记录，是宝贵的价值。

本来想对计算有所了解读了这本《计算进化史》，和我想象的差异很大。 但是，确实让我对计算的起源发现有了了解。对计算、分析、推理、排中律等有了更深的理解。 我又读了第二遍，比读第一遍有了更多的理解。 这本书从数学的起源说起，再说到计算和推理的发展。计算与推荐之间关系的演变以及在数学中的作用。 对进位制的出现，欧几里得《几何原本》的出现，都有了新的了解。 这本书太难了，不懂的知识太多了，我要再继续读其他的书，争取对这本书有更多的理解。 以及进位制的来源，判断

其实我是想看图灵机和数学哲学的关系 这本书还有好一部分是有疑惑的，因为涉及到很本质的问题，有难度，加上自己知识点的缺乏，不能全部读透，但已经再很大程度上帮助我去思考什么是推理，什么是计算，他们到底有没有边界。后续会再读的

从数学的发展看计算的进化，从计算的进化看数学的发展，令人耳目为之一新。 往深里走，数学的基础定义、公理、演绎和计算可以非常简洁，以致于是一个像丘奇“β归约”这么“弱”的系统。正如图灵机，看似很弱，其实很强。 丘奇讲那么多，图灵讲那么少，有点奇怪了。丘奇定理是演绎的方法，在纯数学上的意义很大，非常厉害。而图灵机是计算的方法，除了跟丘奇定理等价外，还为现代计算机奠定基础。哪个更厉害？