数学大师：从芝诺到庞加莱

看完了。好家伙，知识一个没记住，八卦一个没落下。大师中的大师：全能禁欲大师NPC牛顿，全能全程高能开挂的AI高斯，双商爆表特别懂人情世故敌人少的欧拉，全能通才AI庞加莱；大师中的二哈，每一个都早死，39岁，21岁，21岁，43岁，要么是心态被坏人搞崩了（利用女人名利和酒精），要么是身体被自己搞崩了。 交友一定要谨慎啊，大部分二哈大师，都是被周围人搞死的。自闭的牛顿都有爱管闲事的朋友影响他进步也是醉了，他到底有自闭呢？别人给他写信，大部分他都不带回的。他也就爱回哈雷和胡克，他帮哈雷做数学，哈雷帮他出版书。胡克就没啥可说了，天天追屁股后面惹顿顿，而且又是顿顿主业，顿顿急眼了追着他咬，也是没有办法的事情。顿顿多少有点儿自坑。欧拉超级会交朋友，欧拉是这本书里情商最高的，因此还拥有了上将拉格朗日，只不过后来自己瞎了。 看传记，其实那些巨巨巨巨富，才是真的高智商，尤其写自传，那个流畅啊，啧啧啧。传记看起来非常快，不太用太动脑子，专业一点儿的书，都感觉头要炸，尤其是来回厘清概念那种经济学金融学掐架，我滴个妈啊，得缓缓再继续刷。

《数学大师》 ​全部历史上挑选任何三个“最伟大”的数学家的名单都将包括阿基米德、牛顿和高斯。 1、​阿基米德在战争中丧生，被屠杀掉的是一个时代。 2、​笛卡儿并不是修正几何，他创造了几何。 3、​费马有费马大定律足矣。 4、自牛顿​始，神秘主义让位于理性，可不要再告诉小盆友苹果砸脑袋的幼稚故事。 5、​莱布尼茨被“评价”为，样样精通样样稀松，涉猎之广之精，在他的“稀松”面前，我们都是货比货得扔。 6、伯努利家族3代人中产生了8位数学家，他们并不是有意选择数学作为职业，而是像酒鬼离不开酒那样不由自主地陷入了数学。hi，“我是丹尼尔·伯努利。” 7、欧拉：数学渴望着第二个欧拉！天才欧拉在晚年失明的17年里，征服了唯一让牛顿头痛的问题：月球理论～月球的运动，全部复杂的分析都是他在心里作出来的。 8、拉格朗日19岁时把自己的一些著作送给欧拉，这位著名的数学家立刻看出了它们的价值。 9、拉普拉斯，无法无天地到处剽窃，但一个剽窃的天才仍然是天才。 10、拿破仑带着蒙日、贝托莱和傅里叶，去征服埃及，三位大数学家竭力硬塞给埃及，他们的“欧洲文明的一切好处”。晚年的蒙日被波旁王朝赶出了科学院，波旁王室最后一点卑劣的做法，给蒙日的葬礼增加了光彩。 11、彭赛列：他决不是那种假装正经的知识分子，认为每一次科学与工业一握手，就会失去她长期保持的纯贞。 12、高斯：数学王子！他活在数学的每一个地方！ 13、阿贝尔：天才与贫穷，26岁英年早逝，埃尔米特在谈到阿贝尔时说，“他给数学家们留下了够他们忙上500年的东西。” 14、哈密顿原理：哈密顿在23岁时，发表了自己还是一个17岁的孩子时做出的那些“奇怪发现”的完成形式，即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作。 ​15、25岁的伽罗瓦：在数学史上，两次主要的灾难都是由于柯西的疏忽造成的：那就是对伽罗瓦的忽略和对阿贝尔的不公平的对待。 整个晚上，伽罗瓦把飞逝的时间用来焦躁地写出他的科学上的最后遗言，在死亡之前他不时中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着涂写下一个极其潦草的提纲。他在天亮之前那最后几个小时拼命写出的东西，将使世世代代的数学家们忙上几百年。 16、凯莱、魏尔斯特拉斯、罗巴切夫斯基、埃尔米特、克罗内克… 17、“灿烂丰富的创造力”。黎曼真正的兴趣似乎是在数理物理学，要是他能多活二三十年，他很可能会成为19世纪的牛顿或爱因斯坦。 ​18、庞加莱：最后一个通才，对数学的热情，在青春期或在那以前不久（当他大约15岁时）抓住了他。

首先，这本书出版于1937年。任何一本讲历史的书如果是将近100年前出版的，我大概率不会有什么兴趣。因为，和我有什么关系呢？很多文史哲都需要当代人在时代背景下重写，科学的著作除非是你的研究领域，否则百年前的书仿佛来自于上古世纪，1937年有人工智能吗？ 但这恰好说明了数学的美妙：数学的实用性和其思想一样，是永恒的。不同于哲学史、科学史。数学史并非是始于柏拉图或者亚里士多德、然后整部历史就是对前人认识自身和世界不断拓展视野或者纠偏的历史。它更像是一个扩充哆啦A梦百宝箱的历史，每一个数学史上的发现，最好的归宿是进入寻常百姓家、而不是被高山仰止。你不必像对待黑格尔或者相对论那样“可是我不懂诶！”，请让欧几里德定理、毕达哥拉斯定理成为你的实用百宝箱！ 读这本书我才真正意识到，感兴趣思想史的人，错过数学思想史是不完整的。数学家往往让同时代的哲学家相形见绌。笛卡尔最大的成就还是解析几何的开创而非当代批判身心二元论的开始；牛顿后的哲学和牛顿之前风貌大不同，爱因斯坦也同理。哲学史是一个争论不休也没有定论的思想史。也许因为永无定论而让人着迷。数学则完全不一样，数学有争论但最终会有输赢。比如我们今日是能够给费马公道，而不必听笛卡尔对他的嗤之以鼻甚至不屑一顾。也许是因为有输赢，从本书里更多看到的是数学家们互相尊重、彼此支持，和哲学史呈现全然不同的风貌。哲学史上观点不同最终交恶、甚至对于同一流派解读有差而互相老死不相到来的，太多了。 我来读这本书是有野心在的，非数学专业的我，不仅想要了解数学史，而是想要数学史为切入点，贪婪地吮吸数学能够给人类带来的全部奥妙。但凡想成为任何意义上的通才，不懂数学会是极大的束缚，甚至让成为通才变得毫无可能。因为数学是真正具有广泛适用性的学科，只有数学能做到这种永恒的正确，而物理世界不过是其中之一实例。物理世界可能会消失，但数学是永恒的。我想以此为线索串起我的好奇心。 这部数学史似乎也在无意之间揭示了精通数学的捷径：不是要毫无由来地冒出来一个伟大的头脑，奇迹般地给你带来某个仿佛神谕般的理论。不是的。如果数学史真的带来什么启发，那便是，每一个神奇发现，都有它在历史上要解决的问题：牛顿为了解决天体力学的问题开创了微积分、伽罗瓦在研究代数问题可解行时开创群论、傅立叶回应边值问题，即“微分方程的解适合指定的初始条件“和解决现代物理的难题、20世纪之前的数学始终在探索无穷和连续……因此，掌握数学的一个关键也许是，进入这些伟大的头脑中，尝试去回应他们回应过的问题，就好像去重新发明这些数学工具，只不过是抱着让自己理解的目的。 但要说明的是，这些被解决的问题并非一定是实用的问题。如果这样，数学家就不会有超越时代的洞察和发现。有些数学发现在诞生之初可能并没有解决人们目力所及的任何问题，比如数论，但如果因此去否定数学家的成就，是不可取的。毕竟，总有人需要超越俗常、时间、空间、肉体的限制，瞥一眼永恒，而谁又能说，这不会是一眼万年，让后世永远品尝这一甘甜，毕竟，数学是真正的永恒。 跟随这本书的思想之旅要暂告一段落，但它给我打开的无数扇门一时半会儿还关不上。没错，我又给自己挖坑了： 费马大定理是怎么回事？ 为什么克罗内克说“最深奥的数学研究的全部结果，最终都一定可以表示成整数性质的简单形式”？ 伽罗瓦的群论为什么是“在全部数学中具有根本重要性的抽象理论”？ta如何回答”代数方程能够代数求解的充分必要条件的“？ 为什么希尔伯特说没有其他问题如无穷这般打动人类的心灵？ 物质世界和数学世界谁才是更本质的？数理物理学家和纯数学家是如何辩论这个问题的？无限复杂的物质世界能用简单到人类能够理解的任何数学理论完全地描述吗？ 我不确定自己的数学之路能走多远，但我确实感到在做数学时我达到论文和代码时没有达到的专注。也许过程本身即是奖励。

2024.10.30 内容值得五星。虽然有些句子确实翻译得不太流畅，但考虑到这本书的翻译者要知悉提到的所有数学知识，可能是纯数学出身的，在翻译方面有些句子翻译得没有那么好，也算是情有可原，毕竟不像文学翻译家一样是专业从事翻译的。 那些年代，欧美也是贫困和战争交织。看到很多数学家，其实也是出身贫穷，只是凭着一股热爱而继续研究数学，很多位都是靠其他职位谋生的同时继续数学研究，可以说是世俗也挡不住的纯粹热爱了。 看科普的时候，总觉得这种纯粹特别浪漫，就好比二战时欧洲科学家还不顾生命安危跋山涉水就是为了去观测日全食时光的偏转角度一样地纯粹、浪漫。 书里有些专业内容我还看不太懂，以后再重看，值得重看的一本书。

20世纪之前的数学，基本上可以看成是对连续和无穷问题的探索。 从希腊的芝诺开始，人们对运动中的连续问题产生了疑问，而这一问题可以归结为对事物运动规律的解答，人们对物体运动背后的本质产生了兴趣，包括物体作用力，流体力学，天体力学，阿基米德是属于那个时代的佼佼者。 然后时间来到了欧洲的文艺复兴时期，当笛卡尔开创性的发明了解析几何，一场关于连续运动的革命就开始了，牛顿在解决天体力学时发明了微积分，开启了数学分析的时代，然后是伯努利·雅各布的变分法，到了欧拉手里发扬光大并使得力学解析化，接到拉格朗日的手中开启了分析力学的大门，最终在拉普拉斯的手中完善了天体力学，最后只留下了三体这一终极问题有待解决。 凡是那个时代的大数学家们或多或少都参与到了力学的研究中，帮助那个时代的人们利用星象解决海上定位的问题，为未来称霸大海奠定了基础。 这一时期的数学主要是帮助我们探索自然、解释现象的工具，是一门应用科学。 纯数学的研究最早可追溯到毕达哥拉斯数的哲学，上帝只创造了整数。 直到在一位业余数学家(也许是最伟大的)的兴趣爱好中，才诞生了数论，这位业余爱好者就是费马。数论虽然和实际应用联系不大，却具有很好的启发性。 数论最大的启发应该是在算术和代数的研究中，这两者在高斯手里开始光芒夺目，椭圆函数是另一个研究天体运动的强有力工具，单复变量函数又进一步完善了连续理论。 高斯赋予了数学分析以严格性，开启了现代数学的大门，柯西、阿贝尔、雅克比、哈密顿和伽罗瓦是高斯的后继者，哈密顿-雅克比方程对量子力学的称述起到重要作用，庞加莱发展出比椭圆函数更一般的代数，为三体问题的最终解决奠定了坚实的基础。 几何是属于另一类实用的数学，蒙日的画法几何极大的推进了蒸汽时代的机械进程，彭塞列的射影几何进一步从几何层面解释了连续原理，同时开启了分析几何的大门。 直到罗巴切夫斯基横空出世创造非欧几何，凯莱，黎曼是他的后继者，借助于拓扑分析，黎曼几何直接为相对论开了路。 无穷是连续之外的另一个问题。伽罗瓦在对代数方程的可解性研究中开创了群论，之后在代数可解的问题上，埃尔米特发现了超越数，克罗内克发现了代数数，对于数的问题似乎太多了。克罗内克质疑无理数的存在，威尔斯特拉斯更是扬言要将数学建立在整数的基础之上，这场革命直到库莫尔和戴德金证明了无理数的必要性才画上句号，而他们也将算术推向了新的高度。 最后，关于数的无穷问题上，康托尔引入了无穷的新方法，集合论。然而正是这一有力工具却差点让数学“崩溃”，悖论是与身俱来的“先天病”。 悖论也许让我们将数学从“理想”的天堂拉回到了地面，我们不得不去思考他们存在的意义，他们代表了什么？是不可知，不可计算，不可构造还是没有意义？ 这是数学大师们留给我们关于我们这一代人需要解决的问题。 要相信，数先于人存在于世间，数有着不同于人创造的属于其自身的规则，悖论只是我们的规则与数的规则起了冲突，它的存在只能使得我们发现一个更加完善的数学。 最后的最后，说一点我的想法： 第一是关于悖论的，集合论和悖论与概率有莫大的关联，量子试验也许预示了我们的世界是概率的，或者是多个宇宙的量子态叠加，比如对于一个“实在”的物体，它自身也许只是一种围绕在“实在”附近的概率分布，只不过因为无穷个量子态的迭加，根据大数定律，这个物体才会收敛于“实在”。 第二是关于大师们的经历，书中的大师们都是数学史中排在前列的数学家，然后通过这本书你会发现，他们也是各色的，有的天生早慧，有的大气晚成，有的生来富有，有的生来贫穷，有的兴趣专一，有的涉猎宽泛，有的求学求知之路孤立无援，有的极具学术影响力。然而，他们都有一颗对数学皈依的坚定的心。

数学史上的几个说法。 历史上最伟大的三个数学家：阿基米德、牛顿、高斯。如果再加一个，那就是欧拉。欧拉是我最喜欢的数学家。 数学界六大导师：阿基米德，牛顿，欧拉，高斯，黎曼，庞加莱。 数学史上七大名著：欧几里得《几何原本》，牛顿《自然哲学之数学原理》，欧拉《无穷小分析引论》，高斯《算术研究》，希尔伯特《几何基础》，格罗滕迪克《代数几何原理》，米尔诺《从微分观点看拓扑》。 数学史远比文学史、哲学史、思想史、史学史等更接近一部天才史、通才史、创造史，更令人叹为观止。我之喜爱数学正在于此，在于它那遥不可及的无垠之美。《数学的语言》里，作者齐斯·德福林说：「在1900那一年，世界上所有的数学知识可以全部装入大约八十部书籍之中。而在今日，数学将必须有十万部书籍才能容纳。」从古老的算数，到几何，到分析，到1900时的大约12个主题，再到现在的六七十个范畴，数学越来越复杂，也越来越没有界限。真正的数学是天才的迷宫，是神明的游戏。 我喜欢《数学的语言》里关于数学的定义：「数学是研究模式的科学。数学家的所作所为，就是去检视抽象的模式。」康托尔说：「数学的本质在于它的自由。」魏尔斯特拉斯说：「一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完全的数学家。」本质上，我还是喜欢与诗歌有关的一切。数学也好，诗歌也罢，都像罗素说的，有一种庄严的纯粹、冷酷的完美。 这本书对数学的展开并不基于连贯的数学史和数学学派，而是从连续与离散等概念出发，并以此贯穿始终，展现出数学大师们对此概念的思考、革新与发展。连续——微积分学，离散——代数、数论和符号逻辑，几何学兼有离散和连续两个方面。今天数学的一个主要任务就是要把连续和离散熔于一炉，消除各自的含混之处，把它们包括在更为广泛的数学之中。在这个方向上有我喜欢的复杂与混沌理论，动态系统理论。 这本书始于芝诺和欧多克斯，终于克罗内克和戴德金、康托尔，他们之间的对立一脉相承。芝诺与克罗内克是连续与无穷的怀疑者，欧多克斯与戴德金、康托尔是连续与无穷的建立者。这种建立到康托尔时，以全新的集合论显现于世。 数学有4个伟大的时代：巴比伦时代，希腊时代，牛顿时代（给1700年前后这一时期取的名字）和始于1800年延续至今的最近的时代——黄金时代。 巴比伦时代，发明了代数。 希腊时代，欧几里得阐述了几何，毕达哥斯拉为数学引入“证明”并发明了最初的数论，芝诺与欧多克斯的思考奠定了现代数学思考的起点：极限、无穷、连续等。 牛顿时代与启蒙运动并生，现代数学始于这个时期，始于笛卡尔、牛顿与伽利略的创造。笛卡尔创造了解析几何，牛顿和莱布尼茨同时发明了微积分，伽利略以实验数学撬动了现代物理学的大门。似乎现代数学从一开始就是和哲学、天文学与物理学胶着在一起。 人物 芝诺（约前490-前425），辩证法之父，掀起了数学史对动和静、无限和有限、连续和离散的漫长思考。 阿基米德（公元前287年—公元前212年），力学之父，古代最伟大的智者。全部历史上挑选任何三个“最伟大”的数学家的名单都将包括阿基米德的名字。通常与他相联系的另外两个名字是牛顿和高斯，他们并称为世界三大数学家。今天的大数学家们依据25个世纪的艰苦努力赢来的成就，允许他们以自己无拘无束的自由思考来铺平他们的道路；而在所有的古代人中，唯有阿基米德习惯于这样的自由思考。据说，阿基米德在洗澡时，观察到自己浮起的身体，因而作出了他著名的发现：物体在液体中减轻的重量，等于它所排出的液体的重量，于是，他跳出了浴盆，一丝不挂地跑过叙拉古城的大街，高喊着“尤里卡，尤里卡！”（我发现了，我发现了！）爱伦坡有一本书的名字就叫《我发现了》。阿基米德的另一个流传了许多世纪的感叹语是“给我一个支点，我将能撬起地球”。 笛卡尔（1596年3月31日-1650年2月11日），法国数学家，解析几何之父，近代哲学之父，近代科学的始祖。极少有人能刷新人类思想的一个完整的方面，而笛卡儿就是那极少数中的一个。笛卡儿再造了几何学，并使现代几何成为可能。他发明的解析几何是人类在精密科学的进步史上所曾迈出的最伟大的一步。 费马（1601年8月17日～1665年1月12日），“业余数学家之王”，17世纪法国最伟大的数学家。他最伟大的工作是奠定了数论的基础。他对微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨。他和布莱士·帕斯卡共同建立了概率论和组合论的基础。 帕斯卡（1623年6月19日～1662年8月19日），法国数学家，他最好的工作，概率论的创立，是与费马分享的。在他以神童著称的几何方面，创造性的思想则是由笛卡儿提供的。作为笛卡尔和费马的同时代人，帕斯卡既没有费马的纯粹，也没有笛卡尔的理性。18岁时，他发明并制作了历史上第一台计算器。然而，病痛、短命、自我矛盾与宗教狂热耽误了他那伟大的天赋。 牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），英国数学家，物理学之父，最有影响的科学家。他发表于1687年的巨作《自然哲学的数学原理》，开辟了大科学时代。他是经典力学基础的牛顿运动定律的建立者。他发现的运动三定律和万有引力定律，为近代物理学和力学奠定了基础，他的万有引力定律和哥白尼的日心说奠定了现代天文学的理论基础。 莱布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德国数学家，历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。他和笛卡尔、斯宾诺莎被认为是十七世纪三位最伟大的理性主义哲学家。他还发现并完善了二进制。他和艾萨克·牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用。牛顿认为在数学上只有一个东西是绝对重要的，莱布尼茨则认为有两个。其中，第一个是微积分学，第二个是组合分析。微积分学是连续的自然语言，而组合分析对于离散就像微积分对于连续。莱布尼茨集数学思想的两个宽广的、对立的领域（分析和组合，或连续和离散）中的最高能力于一身，这是前无古人后无来者的。他是数学史上唯一一个在思维的这两个方面都具有最高能力的人。 欧拉（1707年4月15日～1783年9月18日），历史上著作最多的数学家，瑞士最伟大的科学家，被他的同代人称为“分析的化身”，有“数学界的莎士比亚”之称。牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的数学家。后来随着科学的发展，全才越来越少，有人说庞加莱也许是最后一个。欧拉是数学通才中的第一个，也许是最伟大的一个。欧拉13岁时就靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利的精心指导。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他的《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。他的分析学三部曲《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》是分析学发展的里程碑式著作。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版，这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论，这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。他还是拓扑学的先驱。高斯法国数学家拉普拉斯认为：「读读欧拉，他是所有人的老师。」高斯：「研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。」A.Weil：「今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能获得的益处，是现代任何一本教科书都不能比拟的。」我自己在所有数学家中比较偏爱欧拉和庞加莱。 法国数学家拉格朗日（1736~1813），18世纪最伟大、最谦虚的法国数学家，分析力学的创立者，被拿破仑称为“数学科学高耸的金字塔”。拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派。英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法（当时包括代数方法），进展很快，当时叫分析学。拉格朗日是当时分析学领域仅次于欧拉的最大开拓者。他完全靠自学掌握了他那时的现代分析，年仅16岁就成了都灵皇家炮兵学院的数学教授。拉格朗日19岁时就产生了《分析力学》的构想，这部拉格朗日52岁时才出版的著作在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展了达朗贝尔、欧拉等人的研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。拉格朗日用分析解决力学问题，标志着与希腊传统的第一次彻底决裂。不久后，他把比较有能力的人组织起来，成立一个研究学会，这个学会后来发展成为都灵科学院。科学院的第一卷论文集于1759年出版，当时拉格朗日23岁。这个时候，拉格朗日就已经被公认为与那个时代最伟大的数学家——欧拉和伯努利们——并驾齐驱。28岁获得了法国科学院的大奖。 拉普拉斯（1749年3月23日－1827年3月5日），被称为法国的牛顿。他是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一。此外，他还是分析概率论的创始人。他24岁时就已经是科学院副院士。1796年他的著作《宇宙体系论》问世，书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。他在1799～1825年出版的五卷十六册巨著《天体力学》第一次提出了天体力学的学科名称，是经典天体力学的代表作。拉普拉斯曾任拿破仑的老师。 高斯（1777年4月30日—1855年2月23日），德国数学家，数学王子。在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的人。数学史上最伟大的三个数学家阿基米德、牛顿、高斯，都是横贯理论数学与应用数学、数学与物理学天文学等的通才，其中，阿基米德是古代数学的代表性伟人，牛顿是为近代数学奠下基础的第一号人物，高斯则是为现代数学奠下基础的首推之人。 柯西（1789年-1857年），思想明确的属于现代的第一个伟大的法国数学家。现代数学中两个很令人感兴趣的主要问题应归功于柯西，这两个问题中的每一个都标志着与18世纪数学的断然决裂。第一个是把严格性引进了数学分析，并为此首先成功地建立了极限论。在引进严格性之前，数学分析就是整整一座谬误之神的万神殿。在这方面，柯西与高斯、阿贝尔一起，是伟大的先驱者。柯西给数学增添的第二个具有根本重要性的东西，是在相反的方面——组合方面。柯西抓住了拉格朗日在方程理论上的方法的核心，把它抽象化，开始了群论的系统创建。 罗巴切夫斯基（1792年12月1日-1856年2月24日），俄罗斯数学家，被誉为“几何学中的哥白尼”。罗巴切夫斯基创造了现代非欧几何中的罗氏几何，另一个是黎曼的黎曼几何。任何改变了几千年来无数人之共识的创造都是伟大的，这也是罗巴切夫斯基被称为“几何学中的哥白尼”的意义所在。尽管在罗巴切夫斯基，高斯就以其超前的数学直觉意识到了非欧几何，但他为自己的数学直觉付出的是沉默与戛然而止。而罗巴切夫斯基为他的非欧几何付出了孤独与勇气、痴迷与论证。 阿贝尔（1802年8月5日－1829年4月6日），十九世纪挪威最伟大的数学家。阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。他最著名的成果是首次完整地给出了高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解的证明。高斯和柯西真应该给阿贝尔一生的遗憾磕一个。阿贝尔一生清贫落魄，死时才27岁，他就像数学界的“普希金”一样。意大利天文学家皮亚齐发现了谷神星（太阳系中最小的、也是唯一位于小行星带的矮行星），并于1801年1月1日公布。「1801年，一个天文学家应该能在夜空中观察到，一群出色的数学天才之星即将大放异彩，开创数学史上最伟大的世纪。在那一群光彩夺目的天才新星中，没有比阿贝尔更明亮的了。埃尔米特在谈到阿贝尔时说，“他给数学家们留下了够他们忙上500年的东西。”」 雅可比（1804~1851），德国数学家，欧拉最好的继承人。阿贝尔与雅可比之于椭圆函数，正如牛顿与莱布尼茨之于微积分。雅可比是把椭圆函数理论用于数论的第一人。「就代数中复杂的纯粹运算能力而言，除了我们这个世纪的印度数学天才拉马努金以外，没有人能与欧拉和雅可比相匹敌。」雅可比就好像是欧拉再世一样。 哈密顿（1805～1865），爱尔兰历史上最伟大、最善于辞令的数学家。因为其优秀语言学家叔叔的教导，哈密顿成了历史上最令人震惊的语言学怪物之一。3岁时英语已读得非常好；4岁时是一个不错的地理学者，5岁时他能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，并喜欢朗诵德莱顿、柯林斯、弥尔顿和荷马的大量作品，荷马的作品是用希腊语朗诵的；8岁时他又掌握了意大利语和法语；他还能用拉丁语即兴创作。在不到10岁时开始学习阿拉伯语和梵语。接着，又学习了波斯语、梵语、迦勒底语、古叙利亚语、斯坦语、马来语、马拉塔语、孟加拉语，以及汉语。哈密顿12岁时开始对无意义地献身无用的语言的行为进行补救，并在他14岁以前完成。14岁时他用波斯语写了一篇词藻华丽的欢迎辞，欢迎当时访问都柏林的波斯大使。17岁时，他推开数学的大门。尽管哈密顿不是诗人，但他一生都在写诗。当时的名诗人华兹华斯、柯尔律治、骚塞等都是他的好友。在23岁时，他发表了自己还是一个17岁的孩子时做出的那些“奇怪发现”的完成形式，即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于光学，就像拉格朗日的《分析力学》之于力学。它在哈密顿自己手里被扩展到动力学，用它那也许是最终的、完善的形式来表述那门基础学科。哈密顿的遗作《四元数基础》作为自牛顿的《原理》问世以来对科学的最伟大数学贡献而永远屹立。他的研究工作成果最大的是光学、力学和四元数。他发现的哈密顿量是现代物理最重要的量。哈密顿—雅可比方程（HJE）是经典哈密顿量一个正则变换，HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。 伽罗瓦（1811年10月25日—1832年5月31日），群论的创立者，被成为“法国的阿贝尔”。阿贝尔和伽罗瓦是数学史上极大的意难平，两个人都从解决一般五次方程的问题开始自己的学术研究，都受到柯西的不公平对待，都短命。阿贝尔死于27岁，伽罗瓦死于21岁。之前说阿贝尔是数学界的“普希金”，那么伽罗瓦则是数学界的“马雅可夫斯基”。但伽罗瓦的死法却与普希金如出一辙，都是死于意气之争的决斗。伽罗瓦死前安慰他的弟弟说：“不要哭，”他说，“我需要我的全部勇气在20岁时死去。”他为数学史留下的宝贵遗产仅60页。 凯莱（1821～1895），英国数学家。他和西尔维斯特共同奠定了关于代数不变量理论的基础。不变量的概念对于现代物理学，特别是相对论，有着极其重要的意义。他也是矩阵论的创立者。他首创的另一个思想是“高维空间”几何。在非欧几何方面，他为克莱因的杰出发现铺平了道路。凯莱、欧拉、柯西、庞加莱都是数学史上著作极其丰富之人。 魏尔斯特拉斯（1815年10月31日-1897年2月19日），德国数学家，现代分析学之父，欧洲最伟大的数学教师。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。希尔伯特说：「魏尔斯特拉斯排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。」高斯、阿贝尔和柯西开始了严格化的第一个阶段；由魏尔斯特拉斯和戴德金开始的运动则分析学的更严格的要求；克罗内克对魏尔斯特拉斯的攻击部分导致了现代数学推理中严格化的第三个阶段。「正如魏尔斯特拉斯所说，“确实，一个没有几分诗人气质的数学家，永远不会成为一个完美的数学家。”答案就是：就诗一般完美这一事实而言，一个完美的数学家将会是某种数学上的不可能性。」与莱布尼茨一样，魏尔斯特拉斯虽然终身未婚。 乔治·布尔（1815.11.2～1864），英格兰数学家。布尔以前的其他人，特别是莱布尼茨和德·摩根，曾经梦想过要把逻辑本身加进代数的领域；布尔将它变成了现实。 埃尔米特（1822年—1901年），法国数学家。他借用椭圆函数建立了五次方程的解，证明了数e的超越性，引进了埃尔米特多项式。在不变量方面，西尔维斯特说：「凯莱、埃尔米特和我组成了一个不变量的三位一体。」 利奥波德·克罗内克（1823年12月7日－1891年12月29日），德国数学家。克罗内克最主要的功绩在于努力统一数论、代数学和分析学的研究。他主张分析学应奠基于算术，而算术的基础是整数。他的名言是：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”能够恰如其分地称为实业家的专业数学家是极其罕见的。最接近于这个理想的人是利奥波德·克罗内克。他也许是当时（19世纪40年代后期）唯一深入洞察了伽罗瓦思想的数学家。克罗内克工作的一个显著特点，是其理解的透彻、全面。他喜爱完美的东西；他的文章中经常有几页展示一个孤立结果的全面发展，以及它的全部内在含意，但是不用明确的细节去塞满这些独一无二的论文。克罗内克是一个艺术家，他用数学公式作为他的工具。克罗内克时期的柏林是世界的数学首都，当时柏林大学聚集了高斯、狄利克雷、戴德金、黎曼、库默尔、魏尔斯特拉斯、施泰纳和艾森斯坦等数学大师。其中，克罗内克的老师库默尔在研究费马大定理时，创立了甚至比定理本身更重要的理想数理论。在库默尔理想数理论的基础上，戴德金创立了一般理想理论。库默尔的学说经戴德金和克罗内克的研究加以发展，建立了现代的代数数理论。库默尔、克罗内克和戴德金在创立代数数的现代理论中，无限扩大算术的领域，以及把代数方程纳入数的范围之内等对于高等算术和代数方程理论所做的事情，相当于高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶和黎曼把几何从欧几里得过于狭窄的束缚中解放出来之所为。代数数理论的创造者们揭示了全新的观点，它照亮了整个算术，使方程理论、代数曲线和曲面的系统理论，以及数本身的真正性质，在一些极其简单的公设的坚实背景上变得极为明显。 恩哈德·黎曼(1826年9月17日—1866年7月20日)，德国数学家。他开创了黎曼几何，为后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。要是他能多活二三十年，他很可能会成为19世纪的牛顿或爱因斯坦。 尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（，1831.10.6-1916.2.12），近代抽象数学的先驱。他的两项最伟大的成就：首先是他对无理数理论、由此对分析基础的重要贡献，即“戴德金分割”；戴德金对“数”的概念作出的另一个突出贡献是在代数数方面。戴德金是完全符合高斯心意的数学家：“但是在我们看来，这些［算术的］真理应该从概念而不是从记号得出来。” 亨利·庞加莱（1854年4月29日—1912年7月17日），法国数学家。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。他在天体力学方面的研究是牛顿之后的一座里程碑，他因为对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。 格奥尔格·康托尔（1845.3.3-1918.1.6），德国数学家，集合论与超穷数理论的创始人。“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”

数学大师 从芝诺到庞加莱 E•T贝尔 良辰周讲书 1.阿基米德 给我一个支点，我可以撬起地球。 2.笛卡尔 我思故我在。 二元论与直角坐标系的创造者 3.莱布尼茨 独立于牛顿创立微积分 全能天才，17世纪的亚里士多德 徒子徒孙： 莱布尼茨——约翰•伯努利——欧拉——拉格朗日——柯西 4.欧拉 读读欧拉，那是所有人的老师 5.拉格朗日 欧拉的得意弟子。 数学史上的金字塔。 6.高斯 数学王子。 与拿破仑不共戴天。 数学历史上四大家之一， 阿基米德，牛顿，高斯，欧拉 7.阿贝尔 颜值极高的数学天才。27岁不到因穷困潦倒去世。 (由此可见，经济基础决定上层建筑) 一个令高斯都感到后畏的数学家。 8.伽罗瓦 数学天才，21岁不到因女人与人决斗去世。 与阿贝尔一起构建群论 阿贝尔与伽罗瓦不约而同地都“栽”在柯西手中。

经典！！！截止20世纪人类史上伟大数学家们数学思想史的盛宴。数学的精髓是人类理性的探索精神。这种追求真理的精神是人类文明进步的原动力之一，是人类文明的精髓。

个人阅读的关于数学家为主线写数学史的最好一部数学普及读物，作者对数学家的性格描，心理描写真实而人性，整本书都能感受到每一个人对数学本身的热爱与求索，人性的阳光与阴暗，以及基础物质基础的重要性😄…… 另外一个看点是欧洲主要是英国，法国，德国的数学和科学的教育环境，他们的人才培养方式，社会对数学学习，对理性的追求感觉就是社会文化的一部分，理性与数学就像下午茶与咖啡，变成了一种习惯。 大师是天生的数学家，当数学俘获他们精神的时候，当他们进入数学奇妙世界当中后，不管从事什么职业，都会转向数学的研究中，在其中体会快乐与成就还有赢得地位与金钱。 前面一半翻译的顺畅自然，后面一半感觉读起来困难，有些地方明显是句子错误，顺序对不上。

给我一个支点，我能撬动地球，二元论与直角坐标系的创造者，独立于牛顿创立微积分，全都是天才，17世纪的亚里士多德徒子徒孙……学好数理化走遍天下都不怕……