古今数学思想(第1册)

跨学科科普书。介绍了从古巴比伦泥板文字的时代开始，各个历史时期的主要数学成就，包括数学公式符号，当时解决和面临的主要问题，数学方法背后的哲学思想，天文和航海等方面的问题。跨越的学科很多，数学历史哲学天文物理，连神学都包含进去了。 本书特点是知识量大，而且按历史时间先后顺序进行了完善系统的讲解，读后可以将各学科零散的知识点完整组合成整体。首先缺点是读起来很艰难，内容多，公式多，阅读压力大。 另外，开篇一句话就把整个中华文明从数学史里踢出去了，中国无贡献。巴比伦简陋的泥板文字在数学史上都有位置，阿拉伯和印度也都有些贡献，璀璨的中华文明，直接就出局了。这种情况的出现，需要深度思考，不能简单归因为歧视和偏见，其中所涉及的意义还在数学之上。 本书所体现出的另一重点是知识的爆发式发展，今天看来很基本的概念，比如0，负数，无理数这些概念都是几百年前出现的，再之前千万年的历史中，人类连0都没意识到。这也是很发人深省的。

数学是我很喜爱的一门学科。比较庆幸的是从小学五年级开始有比较认真的学习数学，比较遗憾的是没有认识到数学的决定性作用。高中那会了解到一些理科状元本科阶段选择读数学系表示很不理解（在我的认知里我觉得大学最好的专业是商科）。人与人最大的鸿沟不是情商的差距，不是智商的差距，而是认知的差距。那些真正优秀的人在十七八岁就明白的道理，普通人可能大学毕业，步入社会，进入而立之年才慢慢回过神来。如果再做一次选择，我会选择读理科，在本科阶段读数学系。

了解数学思想的前世今生 古今数学思想读后感（一） 本书是美国著名的数学史学家莫里斯•克莱因的代表作之一，向人们展示了数学从巴比伦和埃及起源至20世纪最初几个年代的主要创作，揭示了几千年来数学发展历史及不同分支背后的统一性。 在第一册里，作者开篇讲述了美索不达米亚的古巴比伦数学和古埃及数学，这一时期算数、几何被大量使用于工程、计算、测量等，古巴比伦还对一元二次方程有过探讨，但基本上还处于很原始的阶段，没有产生有意义的数学思想。 然后是古希腊数学的产生，着重介绍了古典时期的七大学派，重点给大家梳理了欧几里得的《几何原本》一书主要内容和阿波罗尼斯的著作。亚历山大时期的数学着重讲了阿基米德关于面积和体积的研究。正如阿基米德墓碑上刻着“球内切于圆柱”的图形，以纪念他发现“球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二”的著名定理，这一时期几何迎来了大发展，也是因为古希腊更注重几何的原因。 希腊人对数学的贡献，作者总结为对理性的追求，它的数学思维与今天并无二异。希腊人让数学迎来了第一次重大变革，脱离了具体的事物走向了抽象概念，过去人们将数学对应具体事物，希腊人将它作为理解世界、预测世界的理性工具，他们提出了不用证明即正确的公理，提出了可以推导出正确结果的公设，打牢了现代数学的基础。 古希腊数学的局限，没有认识无理数的重要性，将代数和几何看作两个不相关的学科，认为几何才是最重要的学科，且必须是用直线和圆能作出的几何图形，正因为古希腊对完美、理性的过于追求，也导致了他们的数学没有继续拓展。 罗马和阿拉伯时期数学没有进一步发展，欧洲漫长的中世纪追求宗教，对自然物理世界失去了兴趣直到文艺复兴。文艺复兴时期数学成就，主要是重新认识了希腊数学的思想，并在此基础上进行拓展，这方面培根和达芬奇做了很大贡献。随着大航海时代来临，人们对于天文学也更加关注，开普勒三大定律不仅仅是天文学，也是数学的巨大进步。此后韦达在丢番图等先辈基础上继续推动完善了数学符号，让数学迎来了第二次巨变，脱离了文字桎梏正式拥有了自己的语言，让数学表达更加简洁清晰。 笛卡尔开创了坐标几何，完美的将代数与几何结合，形成了今天的解析几何，将纷扰了几千年代数几何之争划上了句号，日后也成为中国广大高考生的梦魇。伽利略作为物理学的先驱，他的对照实验思想也推进了数学思想的发展，通过实验推广到一般，将特殊情况推广到普遍原理，希腊的演绎法得到了更科学的发展。 此后牛顿和莱布尼茨分别独立发明了微积分，将数学推到了更高的地步。 读完本书，感慨颇多，虽然从小数学成绩还可以，但对于数学思想的发展却了解不多，今天我们所学习的各种定理公理公式，原来是几千年来不断摸索与完善才形成的。 突然想起前几年中国人民银行发了一篇论文，说东亚的文科生太多，影响了产业发展，当时被全网批判。其实我们倒是可以从另外方面讨论一个问题，东亚的教育的确过于关注辞章之学，关注人与人之间的关系。我们中小学的推荐书单，也多是文学方面的书籍，过于关注人的感受，对于现代科学普及的书籍太少，对我们周遭物理世界的探究的书也比较少，大部分人学习也仅仅是为了考试。当我读完费马大定理，读完这本数学思想史，读完量子力学史话，深深被一代代科学家的使命感所感动。我想。这样的一种精神应该且能够成为驱动我们学习的动力吧，特别是在学历不断贬值、学历边际效用不断降低的今天，更需要找到一个追求知识、学习知识的动力。

第一次系统性阅读数学史；希腊先贤与文艺复兴，第一次数学危机与几何代数割裂，若说课本上的数学是知其然而不知其所以然，数学史则展现了数学发展的逻辑脉络，提供极具启发性的思维契机。诚如克莱因先生在序章所言： “在一个基本方面，通常的一些数学课程也使人产生一种幻觉。它们给出一个系统的逻辑叙述，使人们有这种印象：数学家们几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，已成定局。学生被湮没在成串的定理中，特别是当他正开始学习这些课程的时候。” “历史却形成对比。它教导我们，一个科目的发展是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的。我们也知道，常常需要几十年甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步。不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣，就是那已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造。” “课本中的斟字酌句的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。实在说，叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应能使搞研究工作的任一新手鼓起勇气。” 而对于无缘数学研究的我而言，这样的前仆后继，亦能提供些许感动与恍然大悟。 仿佛孩童时对数学的懵懂热忱……很棒的阅读体验。

从美索不达米亚的古巴比伦和古埃及开始，数学以算数、几何的形式被大量使用于工程、计算、测量等，但都还处于很原始的阶段，没有产生有意义的数学思想。 到了古希腊时期，对理性的追求让数学脱离了具体的事物而走向了抽象的概念，希腊人将其看作理解世界、预测世界的理性工具，尤其是对几何的研究，在欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中到顶峰。他们提出了可以推导出正确结果的公设，打牢了现代数学的基础，也成为后世数学家和哲学家推崇的典范。也正因为对理性和完美的追求，他们始终将代数和几何看作两个不相关的学科，认为几何才是最重要的学科，且必须是用直线和圆能作出的几何图形，也导致了他们的数学没有继续拓展。 随之而来的中世纪追求宗教，对自然物理世界失去了兴趣，直到文艺复兴，重新认识了希腊数学的思想，并在此基础上进行拓展，这方面培根和达芬奇做了很大贡献。随着大航海时代来临，人们对于天文学也更加关注，开普勒三大定律不仅仅是天文学，也是数学的巨大进步。此后韦达在丢番图等先辈的基础上推动数学表达的符号化，使数学脱离了文字桎梏而迎来了第二次巨变。 近代数学从笛卡尔开创了坐标几何开始，完美的将代数与几何结合，形成了今天的解析几何，将纷扰了几千年代数几何之争划上了句号。伽利略作为物理学的先驱，他的对照实验思想也推进了数学思想的发展，通过实验推广到一般，将特殊情况推广到普遍原理，希腊的演绎法得到了更科学的发展。在费马、巴罗、沃利斯等人的基础上，牛顿和莱布尼茨的微积分理论横空出世，这一前所未有的新思想将数学推到了更高的地步。数学史上辉煌的17世纪，也在微积分的混乱中结束。

2015-09-26 克莱因先生巨著三本，校图书馆觅其二，卷一今草草阅毕，有怀焉。观今数学教育，从儿童时始即注重计算，套用公式比国外同龄孩童强了不知多少倍，有各国孩童计算能力作证。然，对数学意义的理解，以及数学和生活的联系，老师都知之甚少，无论学生。进入到大学受高等教育，对数学概念理解之要求加深，学生竟失去探索之兴致，荒废前十几年计算之投人，实乃本末倒置之举。近来做电路实验，D君寻思良久未察觉电路错误，然示波器未能正常显示应有波形，遂拔掉导线，回到源头，重新搭建电路，后乃成。联系数学教育亦是如此，及大学阶段，学生不能在数理上突破，何也？亦复溯源，观数学史发展，知前人如何循序渐进，思今人如何得其道而不止于术。想知道未来，不妨了解清楚好过去，庞加莱说得也是极好的。继续阅卷二，完后写总评。

终于鼓起勇气读这本书。读完了，也不过全套的三分之一，已经超过了我所有受教育的数学知识了。赞叹一下继续努力读后面两册，只为开开眼界，读书不就是为了这个吗？哈哈。 我不介意甚至很认同作者完全忽略中国的数学，本书中扎实说明了希腊数学的高度及其几何传统的影响，然后对后世数学逐渐从几何过渡到代数的艰难历程，也介绍了笛卡尔开创的解析几何衍生出微积分的激动人心的过程，确实开眼界了，赞！ 吐槽一点，本书翻译，完全无视常规习惯，给阅读造成不必要的障碍，太过分。

一个国家数学的发展程度，决定了这个国家科学能达到的做高成就。从古代文明到现代文明，从最基础的数字、符号的选取，到抽象化和逻辑推理，数学逐渐从哲学中脱胎，孕育出天文学、光学等对人类社会做出了突出贡献的领域。《古今数学思想》这本书可以作为一本数学史来看待，从古代数学的诞生到20世纪初中的数学的创造和发展作者可谓达到了一个全面的地步。 数学的产生最早可以追溯到两河流域，那里已经有了数字的产生和运算的符号。但不是我们现在使用的阿拉伯数字和数学符号，这些符号使用还要等到文艺复兴时期。两河流域的那些符号是楔形文字，对于我们现代人来说就是“天书”。 希腊文明在文明史上处于首屈一指的地位，在数学史上更是至高无上。对数学进行系统研究的是古希腊学者，最著名的人物包括毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得……他们的成就对整个欧洲在文艺复兴时期起到了中流砥柱的作用。古希腊数学的主要成就出现在平面几何方面，也可以称为欧氏几何。他们把数学用哲学的思维进行思考， 对数学进行严格的定义，对定理进行演绎推理，把数学从一个感性认识的层次提高到了理性认识的层次。同时，数学也从具象的、可以和现实世界实现映射的内容成为了抽象的、内部逻辑闭环的内容。例如，数字1、2、3……我们可以说代表1个苹果，2个苹果……；1.1、1.2、1.3……似乎还解释的过去；那我们再举例子，-1、-2、-3，、这些数又该如何和现实世界对应？对于负数，我们现代人已经对其免疫，但是往回倒个几百年，韦达、莱布尼茨这些伟大的数学家仍对负数存在的合理性进行争论。对于无理数（irrational number）更是不必多说，第一次数学危机的产生就是由它造成的，而这场危机则一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（被称作“戴德金分割” 戴德金分割（Dedekind cut）简介 - 知乎 (zhihu.com)），才最终解决了这场持续了2000多年的数学危机。 平面几何之所以用欧几里得的名字命名，是因为他开创了公理化的思想，从而让数学真正进入了一个抽象的世界。从几个特定选择的公理出发，通过逻辑的演绎推理，从而证明出定理。逻辑的闭环已经让数学从现实世界中脱离，数学中的圆和生活中圆并不是同一个东西，数学中的数和生活中的数也不是同一个东西。 随后的很长一段时间整个欧洲的数学都在几何的领域发展，因为古希腊数学家认为只有几何才是最严谨的数学，甚至这种思想在文艺复兴后延续了很长一段时间。 后来就到了我们常听的“黑暗的中世纪”，对于不了解欧洲历史的我来说，一直不是很理解为什么要把欧洲的中世纪成为“黑暗的”？本书从数学的角度入手可以说让我第一次理解了“黑暗”这个词。欧洲中世纪初期约从400年起到1100年左右为止，这700年间数学的毫无进展，也没有人认真做数学工作。作者在书中对这段时期出现的现象做出了这样的解释： 「数学水平之所以低，主要原因是对物理世界缺乏兴趣。当时在欧洲占统治地位的基督教规定了它自身的目标、价值和生活方式。主要关心的是精神生活，因而认为出于好奇心或实用目的而探索自然的工作是浮薄不足道的。」 「罗马文明是产生不出数学来的，因它太注重实际和马上可以应用的结果，欧洲中世纪文明不能产生数学成果则出于正相反的原因。它根本不关心物理世界。俗世的事务和问题是不重要的。基督教重视死后的生活并重视为此而进行的准备。」或许我们也可以从作者对欧洲中世纪的反思中看出一些古代中国的影子。 后来就是文艺复兴时期了，思想变革，矛盾激发，人文主义思想在欧洲游荡，曾经那些古希腊的数学著作也开始重新被认识，被学习。在文艺复兴时期最著名的一些作品就是《蒙娜丽莎》、《雅典学院》，而它们的产生就是依靠当时产生的透视法，随后的三角学，方程学的发展也在当时一定程度上启发民智，引发讨论。(推荐视频【虚数的来源】 https://youtu.be/cUzklzVXJwo?si=5V8l824b5Berju5A) 经过了数学的复兴，笛卡尔和费马闪亮登场，笛卡尔在哲学上最著名的一句话就是“我思故我在”，同时在数学上的成就依旧耀眼，那就是坐标几何——几何和代数之间的金色桥梁。「“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”的确，17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于坐标几何。」 再往后面就是微积分的诞生了，这是最令人兴奋的时刻了，不过我打算把对这部分的介绍放在下一篇书评中，因为这本书只讲了微积分的创立，其更精彩的内容再第二本书中了。 我们下一本书见~

y yy u “我明白了一个很好的道理，”她说，“总会体会到这个道理，每天都体会到这个道理。你要是有麻烦，或者受了伤，或者有什么需要——那就去找穷人。只有穷人才会帮你——只有他们 yy

哲学是写在那本永远在我们眼前的伟大书本里的——我指的是宇宙——但是，我们如果不先学会书里所用的语言，掌握书里的符号，就不能了解它。这书是用数学语言写出的，符号是三角形、圆形和别的几何图像。没有它们的帮助，是连一个字也不会认识的；没有它们，人就在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着。 —— 伽利略