数学的逻辑

这是我最喜欢的数学家写的书，强烈推荐~ 下面说下这本书的亮点： 1.我认为全书中最大的亮点是让我意识到了可视化对数学思考的重要性。比如，作者就是通过可视化的方式证明了加法交换律和乘法交换律，并且通过画表格的方式证明了乘法分配率。这让我意识到自己在小学过去根本没必要死记硬背那么多数学定理，这些都可以通过画图很快推导出来。也就是说只要我们会通过画图来思考数学，我们根本不需要死记硬背任何数学公理。 我在工作中也喜欢通过画图或者利用Excel表格解决问题，这样做的确可以帮助自己将问题想的更清楚，搞清楚不同事物之间的关系。如果我不这样做，我感觉自己的脑子就像是一团浆糊，不知道该从何下手。我之前还碰到过一本书，书名是《把数学画出来》，这说明该书的作者和我一样，都喜欢通过画图或者画表格等可视化的方式来思考。 2.让我意识到了数学虽然看不见，摸不着，但它就像人的想法一样，是真实存在的。数学就是逻辑，逻辑就是规律，我们可以用文字来表达逻辑，也可以通过一些符号来更简洁的表达自己发现的规律。总而言之，数学是一个很强大的逻辑推理工具。这个世界之所以如此符合数学公式，是因为这个世界是讲理的，是符合逻辑的，而逻辑则是客观的，它不会因为任何人的意志而发生改变。所以，和数学打交道要远比和人打交道容易的多。数学不会欺骗你，而人会😅 3.让我了解了数学家为什么会对质数感兴趣，那是因为实际上所有的数都可以通过若干个质数相乘而得到。这样的话，我们就不需要所有的自然数了，我们只需要知道少量的质数就能得到任何自然数，这可以帮助数学家轻装上阵，带上最少的东西就可以满足所有的需求。 4.我很喜欢作者说的一个比喻，我们可以将数学当做是一个游戏，游戏规则就是数学中的各个公理，然后我们看下顺着这些规则能够发现什么，如果我们想换个游戏，可以尝试下修改规则，看看接下来又会发生什么。知道一个东西什么时候生效，什么时候不生效会让我们对这个事物有更深刻的认识。作者举了很多例子，比如1+1什么时侯等于2，什么时候不等于2，这些都是修改规则后的结果。作者在书中说的在思考数学问题需要考虑具体的情景，其实就是在说我们需要搞清楚规则，规则就是游戏的背景信息。 5.作者提到的对概念打包对我很有启发，它可以让我们压缩某些概念，将其当成一个整体去处理。作者举的例子是多个相同的数相加，为了简化这种情况，我们发明了乘法。为了简化多个相同的数相乘的表示，我们发明了指数。乘法就相当于是在对加法打包，指数又是在对乘法打包。通过这种打包的方式，我们可以快速理解和适应更加复杂的情况。这个过程就好像我们出去旅行时带的旅行箱装满各种生活用具，我们在旅行途中不需要盯着所有的生活用品，我们只需要盯着旅行箱即可。数学也是这样，通过对概念打包，我们将原本要思考的n个概念压缩为一个概念，这大大简化了我们的思考，降低了我们思考问题的门槛。 书中还提到了一个打包的例子是：我们在阅读书籍时，不是一个字母一个字母的阅读书籍，而是一个单词一个单词的阅读，单词就是对字母的打包，而句子则是对单词的打包。正是通过这种打包，我们才能快速理解一本书的内容。 这里的打包让我想起了自然界的分层。比如原子组成分子，分子构成蛋白质，蛋白质构成细胞，细胞构成器官，器官构成生物，生物构成种群，种群构成群落，群落构成生态系统，这个过程就是一个不断打包的过程。 打包也很像软件工程中的模块化，将一些通用的大功能变成一个个模块到处使用，而不是每次需要同样的功能时再重新开发一遍，这样做的好处是大大提升了软件开发的效率。

郑乐隽（Eugenia Cheng），英国华裔数学家、剑桥博士，范畴论专家，以消除数学恐惧、讲透数学思维为核心目标。 这本书中的概念元素很简单，但如果我没学过一些复杂的课程的话，我可能也读不懂，经历了抽象数学的洗礼，这本书不再是启蒙而是总结了。 初学者会把它当成启蒙，是因为这本书的元素很简单，就是数字。0，1，负数…… 对于1+1=2，1+1＝0，1+1＝1，郑举的例子很形象，贴近生活，告诉我们要质疑，1+1＝0，1，2都是对的，用生活的眼光来说就是：关键看角度。用数学的眼光来说就是：公理化思维，自洽。 0，1，-1……或说正数，负数，零，实数。这是数字，对吧？ 数字之所以生成，是因为满足了一些结构，所以在数学的眼光来看待数字，数字不仅仅是一些符号，更是一些这些符号之所以成为符号其本身，数字本身就代表了一个过程，而不是符号本身，数字yi就是“1”，这是标签，不是数学。 实数是域。 什么是域呢？ 就是满足加减乘除四则运算有运算规律且0不能作分母。 有理数也是域，Q（√p）（p是素数）也是域…… 以上还是一种简单的描述，并不能直击本质，也很难看出结构，即最开始的问题：实数到底是如何生成的？ 域Field，当且对加法是交换群，对乘法满足F/｛0｝是交换群（非零元乘法交换群），乘法对加法满足分配律。 这又引出了群的概念。 群：集合对运算”·”满足封闭性，结合律，单位元，逆元。 或：封闭性，结合律，左单位元，左逆元 因为左单位元一定等于右单位元，左逆元一定等于右逆元，这是其本身属性。 所以，实数就是由0，1配上加减乘除四则运算，以及上面的运算律生成的。 运算作为结构的一维，狭义地讲，运算是函数，函数是向量，向量是映射，映射是关系，关系是子集，子集是集合。现代数学的高楼大厦是在集合论的基础构建完成的。 现代数学的核心哲学就是：集合只是材料，结构才是建筑。 只有集合：一堆无区别的点，一无所有。 配上等价关系：可以做商集，可以分类、划分 配上运算：变成群、环、域 配上序：变成有序集 配上拓扑：有了连续、极限 实数集 ℝ 本身只是一个集合 配上 +、×、序、完备性，它才成为实数域。 结构不是凭空造出来的。 结构 = 集合上额外指定的子集/关系/函数。 集合，在没有结构之前，只是“一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体。” 在有了结构之后，集合就具有了表示性的意义—— 代数结构（群、环、域、运算） 拓扑结构（连续、极限、邻域） 序结构（大小、先后、格） 相应地，便是群表示论，环表示论（膜论），域表示论（向量空间/线性代数‹最简单›）， 连续表示论（连续表示/拓扑群的表示论‹ex：R，S ¹，李群›），极限表示论（射影极限/逆极限表示，归纳极限表示），格表示论（格论），序表示论（序结构的表示）…… 郑先生的真知灼见： 数学是什么？ “数学是对合乎逻辑的事物如何运作的逻辑研究。 “天气其实有逻辑可言，只是我们永远无法对大气层中正在发生的事情进行准确测量，因而无法用逻辑的方式来精确地预测天气。因此，天气并非不合逻辑，只是过于复杂。 用数学的思维方式来看待或解决生活中的问题，解释生活中的现象，也是一种疯魔。因为真正一以贯之很难，一个冥想者在冥想的时候，他会用冥想的方式感到轻松，一个数学疯魔在无事的时候，他会想到集合，划分，代表，理想，测地线，单环，阿贝尔群，李代数，特征值，期望，控制收敛…… “数学的一个迷人之处在于，它不由研究对象来定义。我们的研究对象往往取决于我们的研究方法。 数学的意义所在：学会在没有标准答案的情况下判断答案是否正确。这也是为什么必须展示过程，因为数学从本质上说就是一个过程。数学不是为了“得到正确的答案”，而是要构建能支持某个答案的逻辑框架。 用一种简便的方式来回答零究竟是不是一个数字的问题，就是巧妙地回避它。“数字”是什么很重要吗？与其操心这件事，我们不如构建一个把零作为基本构成要素的世界，然后看看这个世界是什么样子的。我们不需要说明零究竟是什么以及它代表了什么，只需要观察它是如何与系统中的其他元素互动的。 这有点儿像投机取巧，因为我们并没有解释为什么零是一个表示什么都没有的数字，而是说它与一个数字相加的结果是什么。这就是典型的抽象数学，或许比较实用，但的确不那么具有启发性。 不管怎样，我们给自己创造了一个包括零在内的世界：我们把它放进去。于是我们可以说，“我宣布存在一个叫零的东西，它依据上述规则与其他数字互动”，然后我们继续我们的游戏。再然后，我们可以用同样的方式阐明负数的意义。 …… 数学家言语稳重，不轻言，言必有深刻。 这位数学家不喜欢用形象来表达抽象，即不喜欢用即时的比喻来替代深刻的本质。让人误以为比喻就是真的。 这也是很多数学教材的风格，很标准。像牛顿发明了微积分，靠着物理直觉，却没有直接给出或者不会给出其底层逻辑，他认为：形象，能用就够了。但数学家爱较真，这恰恰是很直男的地方，诸如后来给出极限的底层逻辑的魏尔斯特拉斯和柯西，这些直男的抽象和严谨，却是作为一个数学学生的我所欠缺的，即过去我在学某种形式或应试数学，并没有把它审视为一种专业，一种灵魂，一种骨骼，并没有把理性，认真，严谨融入与嫁接到我的思维方式，反而是感性仍然我行我素。数学家的较真是逻辑，是理性，但文学家（或自比文学家）的较真是感性，是钻牛角尖，是无逻辑却自认为是有逻辑的自嗨，其美名曰哲学（实际上是文学，我真想说是后现代，因为在那里什么都可以是文学）。不管怎么说，在讨论尽量客观，分析尽量理性的事物上，一但“有我”，那就很糟糕，一定要无我。所以欧几里得用公理化来去我执，亚里士多德用合理化来去无逻辑。二人的这种常人眼里看似很无聊普通的工作，在我这里，认为是异常伟大。这是我读这本书感受最深刻的地方。

数学再爱我一次 如何回答问题与怎么质疑结论是同一个思维过程的“一体两面”，因为它们都强调适用的条件性，比如“回答“1+1=？”和“质疑1+1=2”属于一个思维过程，在规定了自然数的数学条件下1+1确实等于2，而在隐性基因和显性基因互动模式中，1是“显性”，0是“隐性”，只要出现一个显性基因，结果就呈现为显性基因，所以“1+1=1”。所以，问题及其涉及的相关概念的界定和背景规则决定了结论及其有限正确性。在“1+1=？”的例子中，我们就需要明确“1”这个数字的含义，数字源于我们对不同事物相似性的简化抽象归纳，抽象化既是为简化问题，也是为了建构一个所有事物都合乎逻辑的世界，在这里，所有事物都严格按照逻辑来运行。我们可以把数字视为与其他数字之间的关系，比如3是5和2之间的关系，因为它是二者之差。在这个意义上，数学就是寻找灵活思考方式的思维训练，在貌似无关的事物之间建立起联系。除了抽象，另一种数学思维是“打包”（把复杂事物打包成单一元素），在减轻认知负担的同时，也让我们能更深入地理解和探索更复杂的情况。比如重复相加“打包”成乘法，重复相乘“打包”成指数幂。 在数学的世界，重要的不是为了找到正确答案，而是为了建立无懈可击的证明过程。数学家从事研究工作的标准方式，即深入挖掘自身的直觉，从逻辑上剖析这些思想，即”大胆猜想，小心求证”的过程。数学鼓励用不同的方法来思考同一个问题，这种做法能让你对这件事有更深刻的理解，让你有机会利用更多的方法来检验你是否已经把事情做对了，在这个过程中，你还会可能产生更多的疑问，这种真正想要深入理解某些事物的问题，就是“好问题”，区别于那些试图展示自己有多聪明的“蠢问题”。书中提到的“负数被定义为与加法相抵消的过程，零是加法的单位元（任何数加零等于其本身）；除法被定义为与乘法相抵消法过程，一是乘法的单位元（除零外的任何数乘一等于其本身；质数是乘法的基本构成元素；对为什么不能除以零的证明”都让我觉得很有启发性。 为什么要学习数学？“任何能帮助我们理解身边事物的东西都有潜在的为人类造福的意义。” “我不确定怎样才能在一个领域获得“伟大”的称号，但是要成为一名优秀的数学家，你无须具备以上任何一个条件。你需要思想开放，能够灵活思考，能够同时从不同的角度审视眼前的问题。你需要能够看到事物间的联系，这通常意味着你要忽略某些细节，以便认清事物间的匹配关系。但你也需要足够的灵活性，把这些细节放回去，暂时忽略其他因素，以不同的方式看待事物。你需要构建高度严谨的论点的能力，将它们储存在你的大脑中，反复思考，然后把它们与其他高度严谨的论点结合起来。你需要宽容，甚至渴望看到由此积累起来的复杂性。这也涉及创造处理这种复杂性的方法，比如研制出某种特殊的鸡蛋，然后发明一种特殊的鸡蛋盒来盛放这些鸡蛋，然后制作特殊的箱子来装鸡蛋盒，或许还需要特殊的卡车来装这些箱子，以此类推。因此，优秀的数学家通常从微小的念头出发，一步步地建立起越来越宏伟的梦想，所以这需要生动的想象力，以及将这些奇特的想法带到你脑海中的能力。”

一场脑洞大开的阅读旅行，多角度重新认识了数学在我们实际生活中的意义，人是会思考和想象的，而数学就是一个很好的平台，也是一位充实人生意义的良师益友！！！ 感谢作者的良苦用心，致敬作者，祝愿作者幸福快乐每一天！！！

《数学的逻辑》不教你算题，也不走数学史路线，定位是"消除对数学的恐惧"。全书八章，用烘焙、切蛋糕、扎麻花辫这类日常场景当入口，把微积分、范畴论这些听着吓人的东西往回拽，追问的是"1+1为什么等于2""奇偶为什么交替""代数到底在干嘛"这种小学生会问、大人懒得答的问题。 一、八章的脉络 第1章 数学从哪里来 讲数学的起源和抽象化过程。核心概念叫"数学打包"——把3个苹果、3匹马、3天打包成"3"这个抽象物，是数学真正的起点。打包之后才能运算、才能建立关系。顺便提了"1+1不等于2"——看你用什么打包方式，模2运算里1+1就是0，撬开"数学=标准答案"的刻板印象。 第2章 数学的逻辑 碰"我们怎么知道数学是正确的"。负数怎么来的、为什么不能除以零、二元逻辑和细微差别的关系。作者的态度：数学更像是"合理的解释"，不是标准答案；高深研究里充满感情，严格规则是为了经得起现实质疑。 第3章 为什么要学习数学 从竖式加法、质数、归纳法、无穷讲起，顺手抛"数学教育的目的"——不是培养计算器，是培养第一性原理思维。 第4章 什么是好的数学 拿柏拉图正多面体、微积分起源、拉马努金和哈代当样本，讲数学的价值观——启发重于正确，归纳与统一重于技巧。有一节"进步与殖民"，批判数学叙事里的西方中心。 第5-8章：字母、公式、图形、故事 不按代数/几何/分析的学科分，改按数学表达的四种媒介分： - 字母：关系、二维空间、方程描述图形 - 公式：正弦余弦、π、圆、面积，区分"记忆术"和"消化" - 图形：说"一切等式都是谎言"——等式是静态快照，图形是动态关系；聊南丁格尔（护士兼数据可视化先驱）和范畴论里的"辫子" - 故事：星星有几个角、圆有几条边、吸管上有几个洞——拓扑学入口 二、这书的讲法特点 - 反"算对"叙事：反复强调数学不是正确答案的科学，是"建立关系"和"创造"的科学，理性里也有感性 - 童年级问题当引子：1+1为什么等于2、奇偶为什么交替——作者态度是这些不是傻问题，是第一性原理的起点 - "打包"当主线：抽象不是脱离现实，是丢掉信息换复用，每一层打包换来跨场景适用 - 四套语言来回切：字母/公式/图形/故事各有盲区，真懂的人能在四套之间翻译 一句话：这本不是教材也不是史，是有人把"数学"从"算对题"还原成"找关系、做抽象、问蠢问题"——这层还原比任何一道例题都值钱。

这本书，值得推荐。 从适用人群来看， 一开始觉得适合数学老师。 在我接受的16年的数学教育里，我的数学老师们没有（也可能是我不记得）明确阐述过应试数学的基调——会用公式会做题（因为我属于刨根问底型，总是会问公式为什么是这样）。 后来我觉得可能也适合学生和家长 通过阅读课外书籍了解应试数学的底层原则，并由此展开接下来学习方法的探索。毕竟，数学是一个老生常谈的难题。 最后，我发现其实每个人都可以读一读 就像作者说的人们总是关注数学的直接作用，比如买菜用到高等数学，却因为难对它产生了负面情绪，进而忽略了它的间接作用——锤炼人的抽象思维、拆解复杂问题的能力。人生不是只有学习和考试，当走出校园，更多复杂问题对人的应对能力提出要求。从这一点来说，数学方面的书籍值得读一读。 P.S：数学书籍和数学书，它们的内容是不一样的，不用做题。 从结构上来看， 本书从字母章节开始进入具体的数学理论演示，告诉读者字母、图形、公式，它们究竟是在体现数学的本质——用尽可能简单的东西去解释更多的事物及其关系。 个人觉得，字母章节前面的内容值得阅读，对数学有一个俯视视角的全新认识。 最后，贴上作者开头写的一句话，送给一直想学好数学又没学好的自己。 “致所有数学成绩不佳的人。 你没有让数学不及格：是数学让你不及格。”

2周前生病回家逛书店偶遇的一本书，当时就买了实体书，碍于在学校无法随时阅读，选择了更便捷的电子书。我想说：我会把纸质书再读一遍。不论是有些章节与我既有观点/直觉的碰撞，还是有几章没理解透彻，都值得我再读一次。

“如何用‘拼图’思维解决复杂性问题？ 拼图”思维的核心是：​​把一片复杂世界先拆成若干可识别的拼图块，再通过不断试放、旋转、组合，找到它们恰好契合的那一刻​​。具体落地到复杂性问题，可分四步： 1. ​​明确“拼图目标”​​ • 先像建议的那样，确定你想要的解是什么、需要满足哪些边界条件，这一步相当于划定拼图的外形和角落标记。 2. ​​分解与标注​​ • 将问题拆成尽量彼此独立、规模递增的小块。拆的时候保留它们的“特征标签”，例如参数范围、约束条件、已知算法或定理等，这一步对应把图案拆成拼图块并记录纹路。 3. ​​逐块求解并动态重组​​ • 对最小、最清晰的块先求出可靠解，把它们“固定”在拼图板上；随后把相邻或相关的块组合成更大块，再次求解。本书相关内容提到“把某些东西打包成单一元素”正是这种做法。 • 组合时允许暂时忽略某些细节，只关注块间匹配关系，这与“思考的幻觉”文章中“系统地变化复杂度”的思想一致。 4. ​​迭代验证与调整​​ • 每增加一块，都要回溯已拼好的部分，检查是否仍满足全局目标。若出现冲突，则调整或替换拼图块。提醒我们，解的存在性可能随复杂度而变化，因此每一步都要验证可行性。 ​​运用要点​​ • ​​保持“可逆”​​：拆分时不要一次性丢弃信息，以便后期回退或替换。 • ​​先稳后扩​​：优先解决结构关键块，再向外扩展，避免一开始就陷入细节泥潭。 • ​​分层抽象​​：像本书相关内容用乘法、指数来“打包”重复运算那样，为每一步选择合适层次的抽象，使拼图块既不过于琐碎也不过于笼统。 ​​示例​​ 假设要设计一个跨部门协作的流程优化方案： 1. ​​目标​​：缩短客户投诉处理时长。 2. ​​分解​​：拆成“接单—分派—处理—回访”四个环节，再细分为各环节的耗时、人员配置、系统瓶颈。 3. ​​重组​​：先固定最慢的分派环节，引入智能路由算法；随后把处理与回访合并为一个“闭环反馈”块，迭代调整人员与系统。 4. ​​验证​​：每改动一次，抽取历史数据回跑，确保整体时长指标达标。 通过这样一套“拼图”流程，原本无从下手的全流程优化被拆成可操作的小块，又在不断重组与验证中找回整体图景，从而在复杂性与可解性之间找到平衡。

我因纯粹好奇“数学的逻辑”到底是怎么回事，读了这本书，读懂多少暂且不讲，对我的启发是：“凡事”要问为什么？生活中的所有“凡事”。我们大部人对于社会上定义好的或者未定义好的…（任何种种），几乎不会主动去思考为什么？不懂得透过现象看背后逻辑，一辈子活的“呆若木鸡”，也许一辈子会平平安安健健康康，但是若没有自己独立的思想的一生，是没有色彩的一生，没有灵魂的一生。那么，为什么1+1=2，如果你也好奇，就来看剑桥博士，谢菲尔德大学终身教授郑乐隽写的这本《数学的逻辑》这本书吧！ 好好读书 读好书 2026.7.24

致所有数学成绩不佳的人。 你没有让数学不及格：是数学让你不及格。 大学数学的课程既琐碎又艰难。我们首先要证明一些非常基本的第一性原理，也就是被数学高手长久以来视为“理所当然”的东西。例如，我们要证明为什么任何数字与零相乘结果都是零。