普林斯顿数学分析读本

实分析 不同于 微积分，甚至与线性代数也完全不同。除了更难之外，这门课并不适合通过记忆公式和算法并将已知条件代入的学习方法。相反，你要反复地阅读定义和证明，直到理解了更宽泛的概念，这样才能把这些概念应用到自己的证明中。 我当初使用的是Walter Rudin编写的《数学分析原理（第3版）》 ［Principle of Mathematical Analysis，也被称为Baby Rudin或者That Grueling Little Bule Book（那本折磨人的小蓝书）］。通常认为，这本书是经典的、标准的实分析教材。我现在非常佩服Rudin，他的书条理清晰、简明扼要。但我可以告诉你，当我第一次学习那本书时，整个过程十分艰难。它没有给出任何解释！Rudin列出了一些定义，但没有给出例子，并在没有告知他是如何思考的情况下写出了完美的证明。 什么是实分析 数学家把实分析称为严格的微积分。“严格”意味着我们进行的每一步以及使用的每一个公式都必须得到证明。如果从一组称为公理或假说的基本假设出发，那么我们总是可以通过一个又一个合理的步骤得到最终想要的结论。 在微积分中，你可能已经证明了一些重要结论，但其中有很多结果被认为是显而易见的。究竟什么是极限，如何确定什么时候无穷和会“收敛”到一个数？每一门实分析基础课都会重新介绍连续性、可微性等这些你曾见过的概念，但这一次，我们要弄清楚这些概念的本质。当弄清楚这些之后，你基本上就证明了微积分的合理性。 实分析通常是纯数学理论的第一门课程，因为它在熟悉的材料背景下向你介绍纯数学的重要思想和方法。 一旦严格地掌握了那些熟悉的概念，你就可以把这种思维方式应用到不熟悉的领域里。实分析的核心问题是：“如何把某些概念（比如和）推广到无限的情形？”如果不进行严格论证，我们就无法理解像无穷和这样的难题。因此，你必须掌握那些核心的证明技巧，进而将它们应用到那些更有趣的新问题上（并非高中微积分）。 这本书涵盖了经典实分析课程第一学期的大部分内容，但你的学校可能会介绍更多相关知识。如果这本书没有完全涵盖学校的课程，你也不要惊慌！每一步都要建立在它之前的基础上，所以成功最重要的因素是对基础知识的理解。我们将详细介绍这些基础知识，以确保你有一个坚实的基础来继续学习（同时避免使用易造成混淆的隐晦说法，比如“这句”）。 一些推荐书的清单以及我的注解和评价，请阅读参考书目。

如果只让你选一本数学分析的教材，就是这本！国内大学的教材几乎都可以扔一边了。所以单论内容，这本书是完完全全的超五星推荐，甚至包括普林斯顿大学其他的几乎所有的数学教材。 但是很可惜，微信读书上传的这个版本，并不非EPUB3格式。目前只有EPUB 3 及以上版本会原生支持 MathML（W3C 标准的数学符号描述语言，能精准表示复杂公式（如微积分、矩阵、方程组等））。 旧版本（如 EPUB 2）对数学符号支持较弱，需依赖图片或第三方插件。

一本非常好的实分析教材，但考虑现行，高中数学教材忽略了全部最基本的分析基础（至少应该先告诉一下，大家极限的定义，函数的定义，怎么样进行函数的作图，还有一些常用的不等式（这个在数学分析中的很多证明是很有用的），还有一些基本的逻辑表示符号（许多教材没有强调这些东西））如果好想好好的学好这本教材，建议先找一本比较经典的数学分析教材（先尝试阅读前面初等微积分部分，和预备），（这本书这些基础内容并不是完全没有，但是更像review，）

牛校的数学分析我不懂，居然没有微分学，也没有积分理论，反倒有一大章拓扑学。 也许本书的精华就是最后的参考文献，作者对各种经典的数学分析著作都给出了自己的非常值得参考的点评，让我们想进一步读其它数学分析著作时可以借鉴作者的参考意见。

好书，就是这个排版实在是......

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自从有了AI，我积累数学证明技术的速度就快多了。以前做同一道类型的题，我做5道做10道我都还是不会，甚至下次遇到同道类型的题的时候，其一，我忘了之前做的类型题，甚至没有任何熟悉感；其二，我也不知道技术，技术是记不下来的。但自从有了ai之后，每次辅助函数的构造我都会问动机是啥，比如构造极限差值函数的动机，用部分和去逼近来处理bessel不等式的动机，积累反例可以避免大量无聊的证明……我看了两道同类型的题之后，技术就掌握了。 我还以为我这辈子都考不上研究生呢，因为一道题做那么多遍都不会，那那有什么用呢是不是。 当然我问问题的技巧还有待提升，就比如说问不变量这种东西，还是必须要积累大量的知识才去问比较好，否则太抽象了，也记不住。 这辈子都讨厌不变量 ———— 而其实我本人真的很想知道动机是什么，但是就是我不知道极限差值函数这个东西要帮它起一个名字，我才能把这个概念给固定下来，部分和也需要起名字，否则根本就记不住这个函数的符号。 包括dini核的引入，如果没有AI，课本上半句dini核和RL引理都没提，它就甩个定理过来，你说这谁知道要构造出一个dini核要挖去奇点呐？！？才是真正的麻烦。 ————— 我跟你说，想要知道这些概念的名字也很简单，一个方法多看书。但是找书翻书都需要时间。第2个方法就是直接做难的习题集，速度又很慢。 感觉问AI就是，第1道题非常慢，花了两三天；做第2道同类型的题，还是很慢，花了十几分钟；做第3道同类型的题，几分钟搞定（准确来说是题目一读完，就知道怎么做了）。

书是好书，但这公式排版。。。实在毁原作。什么时候能兼容下latex？

排版太差了，一些公式符号太模糊看不清甚至看不全

看完后头痛，子集，紧集。天书一般