证明的故事：从勾股定理到现代数学

从小学时被数学老师认定我是个笨蛋，于是带着笨蛋的设定一直伴随着我数学的学习历程，直到最后数学老师用一句“从来没见过这么偏科的数学课代表”结束了对我的数学期待，也结束了我自己对于学习数学的幻想。p其实你要我现在想，我也不知道一个数学考个位数的学生是怎么当上数学课代表的。倒是能想起来那会儿为了抄别人的数学作业，磨炼了多少嘴皮子，费了多少脑力去编造自己不写的原因。 直到我后来为了考试，自学了基础数学而解开方程式带来的那种快乐的时候，我才意识到我不是笨蛋，只是没有找到一个适合我自己的，学习数学的方法。 自然，如今的经历和生活看起来跟数学早已没有了联系，但想到未来七年的某一天，小朋友问我数学问题我解不上上来时的困窘与局促相比之下，我更愿意让自己懂点儿皮毛，不然，跟小朋友之间又会失去一份微弱的联结，于是，我不能说恶补数学吧，只能是从我擅长的阅读寻找到突破口，让我对数学重新产生孩子一般的好奇心。哪怕只是数数花瓣这样小小的计数，一点点累积，应该也是会有成果的。 所以，当看到《证明的故事》，不是在讲单纯的公式枯燥的解题时，自然引起了我擅长领域的兴趣，既然要先培养自己的数学兴趣，数学的历史演变自然就成了擅长领域的选择，而证明，作为数学思想中十分重要，又极具开拓性的一点，那必须是要进入深耕的。 我也是不曾想到，跟数学的渊源就这么地又流长了起来。 阅读这本书的过程熟悉又艰涩，熟悉是因为这些公理是每一个上过学的人都背诵过的，而且熟悉A和B唤醒的不仅是从小学起就奔走在抄别人作业的路上的艰难，也在唤醒那时候数学老师给我留下的恐惧感受。而艰涩是即使再次见面，对于他们我依然是看起来认识的青涩模样。但这本书却纠正了我对于“数学”从前的误读和误解。 就像作者在第二章中引述欧几里得的《原本》，并将欧几里得的公理进行解析，或者用作者题目的说法：进行了证明，让我又重新认知了数学这个广泛的存在，这个近乎于哲学辩证的存在。所以作者说的《原本》影响斯宾诺莎就变得不意外甚至更具合理性了。 我在此之前，对于数学，即使包括代数和几何的理解都是在求证一个结果，我认为那个结果才是数学的本质。但，通过阅读这本书，我看到的是证明的过程，或者说是证明的本质，而如同作者说的：数学史可以被视为证明的历史，因为数学对证明提出了最极端的挑战。当我这样再去理解数学的时候，突然不再觉得《生活大爆炸》仅仅只是搞笑了。 或者说，我通过阅读这本书，回看那时候即使抄作业都在不断产生的困惑，为什么在不断地解答AB=AC的问题。这就好像小时候解应用题，要在解题之前写个答，后来上初中之后，答变成了解，这个转变的过程，我不记得是老师没讲，还是老师讲了我没听，反正我似乎一直在纠结这些没有用、没有意义的地方，但正是这个地方，让我觉得我这个“学渣”终于开始理解数学了。 因此，在读到约翰.奥布里在《名人小传》中写哲学家托马斯.霍布斯喜欢上几何那一段，不禁会想，如果我们上学的时候，学习几何或者数学，并不只是一味的在背诵那些公理、被动的去求证那些公式的实践性，而是从一个命题的证明开始，到另一个命题的参考，再去研究另一个参考的命题如此有趣的循环下去，我想大概会有更多的人对数学产生不一样的兴趣吧？ 如果说从前对数学的认知是被动的去记忆那些看起来毫无关联的公式为了解开某一道应用题获得一个标准答案的话，那么阅读这本书，就是从一个我可以接受的角度去理解了数学的逻辑和整体以及上学时候数学的分裂。所以，读这本书更像是托马斯.霍布斯爱上几何的过程。我不能说我会爱上数学，但是作者所提供了公理证明的逻辑，包括公理之间的关联，说白了，就是数学分裂成我们所熟悉的代数、几何、运算、都是如何产生的，而这个过程，很有趣。这种有趣包含对于数学家们的敬畏。 从某种程度上看，这本书所展现的证明的历史是一部严谨的数学发展史。因为当所有的人将欧几里得几何视为“真正的几何”的时候，哪怕是代数方法已经成为一种更适合的证明几何结果的途径，可是数学家们依旧认为这只是一种通往欧几里得几何对象结论的途径而已。这是一种数学严谨的呈现，也是一种对于数学权威性的敬畏，这在本书中的呈现中是时常都可以看到的。 最近给小朋友买了一个现在很火的玩具——磁力片，但我率先享受了这个玩具带给我的快乐。我感觉我阅读这本书的感受同我用磁力片搭建我仅有限对物体的认知并成功的时候很像。因为如果数学之间的关联是由一个公理证明另一个公理的过程，而我去玩儿磁力片的过程就是从别人那里学到，再自己动手的一个过程。我自己觉得这个过程同数学的证明过程很像。 这也是为什么我在读这本书的时候，即使还是看不明白那些要证明公理的公式，有时甚至不知道也并不理解那个符号代表了什么，但是整个阅读的过程带给我的对数学的认知变化是可见的，也是逆转性的。而这种逆转甚至让我大胆的觉得如果上学的时候不是一味地学习公式去证明某个结果，而是通过一个公理去证明另一个公理这样层层递进地学习，我想对于数学的学习感受会大不同吧？ 除了对于数学的另一种新的认知，和自己对于数学的信心，读这本书也详细地通过作者的叙述看到了数学的证明历史的演变过程，而在这个过程中，无论是数学家们大胆的预测还是严谨地固守，都让我大为震撼，这是人类的大脑共同创造的一门学科，一门神奇而伟大的学科。也许有得人觉得无意义，也许有得人觉得太深奥，但这门学科却真真实实地存在于我们人类的大脑之中，并随着那些不断地去思考和证明的人而发展。

证明算是数学最为核心的过程，当下似乎各种问题的证明篇幅变得越来越长，记得有点证明关系的就是一位对于伊辛模型证明的，从最初来看似乎是一个物理问题，当然听了报告之后，发现是一个数学过程，每次完成相关内容的论文似乎都超过了数百页，能够懂这样数学问题的学者就不是很多，能够完成证明的似乎就更少了，使得我们尽管人口基数庞大，但是能够理解这样问题的学者比例反而是下降了很多，只是不知道数量是不是增加了，最近非常流行的趋势就是使用 ai 与学者一块来完成数学问题的证明，似乎把各种问题进行简化，并且 ai 给出了等价过程，但是建立起来各种直接的等价性，从另外一个方面来说，证明的可靠性如何来进行保障，似乎我们能否理解和验证 ai 参与步骤的准确性，或者说其中逻辑联系到底怎样，或者 ai 证明怎样带来数学逻辑产生的变化，是不是以后出现了 ai 证明的问题，但是人类没有办法理解，其实在出现变成证明数学问题性时候，就出现了这样的困惑，比较典型的就是四色问题。其实本来证明就是非常复杂，每一个过程都是可能存在证明的不等价性，也就是不能完成证明，似乎在历史上很多数学家都会说证明显而易见，这个是对的，但是对于后来者来说完全完成证明过程还是非常具有挑战的，最为典型的费马大定理，费马说空间太小了没有办法写下来证明过程，差不多经过了三百多年，才被复杂的过程得到了证明，而且从另外一个方面现代数学的前沿似乎复杂性还是超出了我们的理解。

看到第三章基本就到我的数学知识边界了，后面零零星星的一些内容还能看得七七八八。整体来说，这是一本很前沿的数学读本，编辑辛苦了，很难翻译也很有价值。

如果说数分教材是苦咖啡，这本书就是植脂末 有历史发展佐餐，皮鞋也能入口了

用数学符号写一个过程，还是简洁明了很多。

本想通过本书了解数学不同领域中的基本概念，但看完后觉得当初还是太高估自己了。通过本书，我了解了由于无穷所导致的证明难点，构造性证明的概念，以及意外发现原来实数竟然如此复杂。 作者的行文比较干，且翻译得比较硬。

假故事，浪费时间。要学就学真东西，摒弃假玩意。

博而不精，对各个分支浅尝而止，适合初中高中同学们了解数学的基本概念。

我有这本书的纸质版，非常不错，建议借一本或买一本来看，花大量时间来看