基础数学讲义：走向真正的数学

经典 非标准分析的奇妙可能性 在建立了超实数的概念之后，可以得到很多不可思议的结果。我们考察自然数[插图]的扩张[插图]。根据定义，[插图]包含了所有自然数序列的等价类，所以[插图]，这表明[插图]包含了无穷元素。为了计算序列[插图]的极限，我们考察函数[插图]，把它扩张到[插图]，并考察[插图]为无穷元素时的[插图]。如果[插图]是有穷的，那么我们计算[插图]。如果我们对于所有无穷的[插图]都得到了相同的值，那么这个值就是序列的极限。例如，如果 [插图] 那么 [插图] 又因为[插图]是无穷小量，所以 [插图] 而连续性或者一致连续性这种定义也可以用无穷小量的概念轻松完成。 定义15.23：已知[插图]，如果 [插图]是无穷小量都能推出[插图]是无穷小量， 那么[插图]在[插图]处连续。 定义15.24：已知[插图]，如果 [插图]是无穷小量都能推出[插图]是无穷小量， 那么[插图]在[插图]中一致连续。 本质上，两者的区别在于连续性要求[插图]，而一致连续要求[插图]。 这些概念还可以推广到更一般的函数[插图]，所有关于这些函数的关系在扩张后仍然成立。例如，如果[插图]表示[插图]中单位球的内部[插图]，那么[插图]可以推广到[插图]中具有相同公式的单位球[插图]。 像是[插图]中的交换律或分配律 [插图] 这种[插图]元谓词[插图]也可以扩张到[插图]中的相同关系。 如果我们量化关系，例如 [插图] 那么这些关系可以推广到 [插图] 但是也有不能推广的性质，完备性公理就是其中之一。完备性公理的表述如下： [插图]：如果[插图]非空且有上界，那么[插图]就有一个上确界。 这个公理量化的是一个集合[插图]。完备有序域的其他公理都只量化了集合中的元素，正是这一点让非标准分析得以成立。 定义15.25：如果一个量化谓词只量化了集合的元素，那么我们称它为一个一阶逻辑陈述。 除了完备性公理之外的完备有序域的公理都是一阶陈述。所有一阶公理都可以从[插图]扩张到[插图]，而完备性公理不行。 自然数的公理也是一样。(N1)和(N2)是一阶陈述。而归纳公理(N3)，也就是 [插图]：如果[插图]且[插图]，那么[插图]， 不是一阶陈述。扩张[插图]满足(N1)和(N2)，但不满足(N3)。例如，集合[插图]是[插图]的子集，并且满足[插图]且[插图]，但是因为[插图]且[插图]，所以[插图]不等于[插图]。 我们可以证明非标准分析满足如下原理： 转移原理：[插图]中任意真一阶逻辑陈述在扩张到[插图]后仍为真。 如果我们把这个原理当作公理，那么就可以把它作为发展非标准分析理论的基础。但是我们不会继续深入讨论：本书讨论数学基础，而非非标准分析。我们之所以纳入无穷小量的内容，是为了证明随着数学的发展，新的理论会改变我们思考数学的方式。 过去的分析使用标准的[插图]技巧，这背后有着充分的理由。要用无穷小量建立微积分理论，我们可以使用超有序域来更自然地理解前人建立的不同形式的概念。 要想正确地进行非标准分析，

很经典的一本书，很值得阅读，深思，学生们在数学学习上经常面临各种“脱节”：知识不足、思维落后、心理受挫 本书将弥合各种差距，向中学生和大本生提出明确、可行的学习建议： 解释数学中抽象内容背后的思想动机； 介绍从非正式方法转向正式的、公理化的方法； 强调思维方式的转变和心理调适的方法。