启发每个人思维的数学小书

一、感受与收获 每次读到令我觉得惊喜的书，都特别特别感恩。 数学果然是离哲学最近的一门科学，数学不但在为提升人类生产力服务，还在启发着人类对世界的探求。 最近我悟到了两句话： 别人不但和我不一样，还和我想的不一样。 这世界上的很多圣贤的道理，不但和我相信的那一套不一样，还和我想的不一样。 这种领悟，让我更具开放性和接纳性。 这本书从数学的角度，印证了我以上的领悟。这本书指引着开放、指引着发展。由于看到了这种开放、看到了人类好奇心的本性，我心中便升起一种美好的愿景、并伴随着喜悦。 能概括出来的这本书给我的惊喜有以下几个方面： 1 、 怀疑论者去找拉比·希勒尔，让这位圣人仅在他单脚站立时间里传授他《律法书》中所有的内容，而热心的拉比仅回复了一句话。这一句话的答案实在是太妙了，我就不剧透了。 2、 本书主角迷思先生：接受的教育或许来自大学，或许来自“生活的磨练”。但无论如何，他都试图弄明白如何才能好好地“生活”。 我就是那个迷思先生！我想大家都是吧。 3、 第13节“常识”中证明“如果一个三角形不是等腰三角形，那么它必然是等腰三角形”打开了我的思路：不要用一个范围之内的真理，去推断另一个范围的事物。或许这是我早已有过的体验或结论，但是当它以几何学的形式出现在我的面前时，因为直观而非常震撼，让我理解地更加深刻。 4、 没有永恒不变的真理。要对数学的发展、人类对于世界认知的发展保持开放性。好奇心也是人类美好的天性之一，会让人类与世界真相越来越近。当我们与“上帝”的距离越来越近时，我想这世界会更加美好。 5、坐标系可以变换、真理假设可以变换、陈述对象也可以变换（书中由几何空间中的点，变为圆，由此出现三维空间中的四维问题），这些变换产生了“移步换景”的效果。在数学中呈现出这样的别样风景来，太奇妙了。 书中对狭义相对论的阐述尝试，也是一样的道理，移步换景。 探求世界真相时，也是一样，只是有时无法迈出那个步子，便是被局限住了。那些迈出步子的人，他们是不是还有新的维度的步子可以去迈呢？ 二、回忆 在读这本书时，回忆起自己曾经的一些数学学习体会。 小学高年级时有幸到了一个以做奥数题为乐趣的班级里——我真是幸运到了极点了，平庸如我，智力是在那时开发的，那个四十人左右的班级出了三个清华北大的，还有三位复旦交大的。数学老师教完我们之后就买断了，我们那个班级算是她教学生涯中最伟大的作品了吧？ 我从来不觉得自己聪明，但是我比别人能坚持的苦思冥想的时间久一点，做小学奥数题时是这样，做初中几何题是是这样，做高中物理题时是这样，工作时为了解决某些不得不解决的问题时也这样。 高中时我的有机化学学的很差，有个同学在分享学习经验时用“拼积木”三个字点醒了我。工作后，我发现很多系统设计问题都是“拼积木”。 大学时我是学渣，相对论根本就不明白，读这本小书时感觉对狭义相对论更有些似懂非懂的感觉了，以后有闲心时真的可以再研究研究。 哲学或者佛学上讲万物平等，这本书的第17节，让我回忆起研一时学的泛函，到最后一章的时候，当所有的事物都能成为数学空间中的一个元素的时候，我真的感受到了数学角度的包容万物的宏大。 现在编程时有些结构体的概念与此类似，但是相比泛函的广阔呈现，那些真的太小儿科了。 三、感恩缘分 推荐这本书的书友清风挽夜歌，居然连推荐语都没有，而我就对这本书感兴趣了。真的是缘分哪，给我送来了这么有趣的阅读体验，或许，思想上也升级了吧。

不要因为书名中有“数学”二字，就绕过这本书。确实，只有少数天才才能创造数学知识，但是知识并不比故事更难理解。况且，本书重点不是教数学，而是启发思维。 几百页的小书，先是举重若轻、提纲挈领地，讲了从算数到代数，从欧氏几何、解析几何到微积分的古典数学发展历史，让人们见证算数通过抽象一般化为代数，几何从研究图形到通过逻辑推导答案，再到代数与几何相结合产生解析几何，到牛顿发明微积分节约动态世界的计算问题。 随着数学思维的深化，世界也随之变得复杂起来。而以上数学知识，成熟于300年前，已经够现代人从小学学到大学毕业了。 接着在第二部分，数学家开始对数学的某些“默认”公理开始了检验和质疑。欧几里得平行公理最先得到松绑，数学家们发展出了不符合平行公理的非欧几何，最终发现它们更符合地球是个曲面的“现实”。带着这个成功，一切“默认”都被抽去。数学大厦变得没有了根基，然而这个大厦并没有坍塌，而是有产生出了各种“奇异”的现代数学。 布尔代数，有限几何，有限代数，信息论……科学家们从认为数学是上帝的语言，到承认“所有的代数学和几何学都是人类发明的，因而其中任何一种都不是绝对的，也并非真理”！是的，你没听错，数学并不具有真理性（但它们可能有用），数学的根基也早已崩塌到，只剩下逻辑学。百年前的数学家就已经知道了，但知道今天，对大多数人来说，这还是个明摆着的秘密。 数学家们还知道这些： 1. 现代数学家可以自由地创造与发展各式各样的理论体系。...不过，数学家要做的是保留其抽象形式...方法是做出一些假设，再用逻辑进行推导，只要不会自相矛盾，就是成功。2. 好奇心和愉悦感驱使着数学家创造非凡的数学世界。3. 跟着直觉走，并加以检验。过去对错参半，我们必须根据现有的知识进行甄别 总结一下：数学的世界是自由的。唯一的边界就是逻辑。人们不过是自创世界，然后再勇敢跳进去，亲身体验。作者给读者的箴言是：“做你自己！”“但不要妄想扮演上帝！”换句话说，创造你所相信的，但不要强迫别人。

《启发每个人思维的数学小书》是莉莉安·李伯夫妇在二战期间写给士兵的数学启蒙读物，旨在用数学传递希望。本书以诗意的文字和充满想象力的插画阐释数学本质。全书从“五千万人也可能出错”开始，用一个个小故事打破“常识”的迷思，展现数学作为一种思维方式的魅力。书中那个经典问题——给地球赤道钢圈接上3米后空隙竟达半米——完美诠释了直觉与理性的较量。作者夫妇一位是数学家、一位是艺术家，使这本书数学与艺术完美碰撞，更将数学推至哲学高度，道出“物理的尽头是数学，数学的尽头是哲学”。七十年后再读，它虽非严密教材，但那种跨越时空的智慧与启迪，依然能让每个读者重新发现数学的可爱与深刻。这本书值得反复阅读，数学不仅是概念、公式，而是一种逻辑思维和哲学思维。

这是本二战时期，美国大兵口袋中深受喜爱小册子，因为它每一个句子都十分简洁，像诗文，还赋有哲理底层逻辑，它还善用漫画，一目了然。 它强调了归纳和抽象是两种强大的思考工具，在所有的思考过程中都很重要❗️，数学不仅是一种思维方式，更是一种生活方式。因为它清晰、精准、简洁、多元，要脑瓜子转得快，并且特别要注意，思想狭隘之人会把任何习惯上的改变都当成灾难性的巨变。 其提倡识大体，观大局，辩体系，赞👍不观全局不足以为谋。例如，在欧氏几何中，在平面体系上定律，在球体上就不一定正确了。在布尔代数中，2x2是否等于4，它取决于所用的代数方法。简言之，要掌握现代观点，需要更灵活思维以及随机应变的能力。能解放你的思维，摆脱旧观点的束缚。 显然可见，为什么上世纪的它依然被翻译成中文。 读完它似乎更深入理解了毛主席曾经一句名言： “没有文化的军队是愚蠢的军队愚蠢的军队”。 上世纪作者✍️： “现代趋势大致是： （1）人类逐渐意识到自己极具创造力，更有胆识与勇气，渐渐敢于迈出原来的小天地，向更远处进发。 （2）因此，与过去相比 现在更趋于多样化。 （3）前进过程曲曲折折， 人类可能会遇到林林总总的奇闻异事，不过人类正努力克服内心的恐惧。 （4）人类对抽象的事物越来越感兴趣。 你知道以上趋势都与数学密切相关。不过，如果停下来想想，你会发现在现代音乐、现代航空、现代艺术或者其他任何现代领域中，都存在这些特征。” ……… 值得推荐好书。

非常有启发的一本小书，言简而意深。真的写的很好！ 引用一段话： “人类拥有聪明才智和奇思妙想， 绝不会被社会问题轻易难倒！ 但是这些问题并不会自行解决！ 我们要像数学家、科学家、艺术家一般， 充分发挥想象力； 同时也要牢记自由亦有限度。”

本书适合小学高年级及以上的人阅读，同时也适合日常忙于工作，忙于生活而无暇关注自身成长的人们，书中内容展现了很多课本中无法展现的观点，说明了数学的本质，让我们从不同角度来思考生活中很多常见的事情。 比如，书中非常简洁的说明了微积分是什么？ 假如我们从上海到杭州一共150公里，车辆行驶需要2个小时，那么我们可以很简单的理解我们的行驶速度是70公里/小时，但实际生活中，我们不可能遇到这么简单的路程，因为会有市区的堵车，有红绿灯，有高速，有服务区休息的时间。这里的每个时间节点的速度都是不一样的，那么如何便捷的计算速度呢？ 通过X轴，Y轴等来展示，X代表时间，Y轴代表里程，如果是匀速行驶，直线的斜率就代表速度，如果是非匀速运动，那么在图标上就是一条曲线，每一个时间节点的曲线斜率就是对应的速度，即dy/dx，即“微分方程”​，通过微积分中的“积分”​，也能得到原始曲线的方程。 比如，书中通过一个简单的例子，就能引导我们用数学的思维来思考问题： 假设有一根钢圈紧紧绕着地球赤道。现在假设把它拿下来，然后在某个地方切开，再接上一根3米长的钢线，这样，新的钢圈就比原来的长3米。如果你现在把它放回赤道上，它会更宽松，那么钢圈和地球之间的空隙有多大？（A）够一个1.8米高的男子走过去（B）够一个人手脚并用地爬过去（C）只够一张薄纸滑过 用数学思维就能看到 C = 2πr，现在C增加了3米，那么运用公式新圆的周长为C' = 2π （r + x），所以6.28x = 3，这个空隙就是大概半米。这对于我们的常识是一个很大的拓展。另一层含义：大脑永远比脚步走的更远 当然，这本小书也仅仅是一个拓展，可以开拓我们一部分思路，但我们不能把所有的问题都看成钉子，因为手里仅仅有锤子是不够用的，掌握一种数学思维并不能解决所有的问题，但多一种思路就多一种解决问题的方案，本书作为一种浅显的工具书确实可以带来很好的启发。

你知道2x2不一定等于4吗？我们知道的“常识”并非永远可信；所谓的“真理”，也并不永久为真。 这本数学入门以诗一般的文字和充满想象力的插画，让数学与艺术进行了一次完美的碰撞，为数学思考的本质与哲学作了迷人的阐释。莉莉安打开了通往思考数学的神奇大门，她的语言通俗易懂，故事简短深刻；她的丈夫休·李伯绘制的插图引人入胜，无一不娴熟地展现了数学的基本概念。 从1942年出版至今，这本数学入门小书影响了几代伟大的数学家，与《爱因斯坦相对论》并列为历史上有影响的三大数学入门的著作之一。 1944年，它被美国国防部送往二战战场，陪伴士兵们度过了艰苦的战争岁月，让人们重新认识了数学和科学的美好。 本书展现的数学精彩纷呈，提出的问题令人大开眼界。从代数到几何，从数字到图形，作者阐述的都各有寓意，发人深省。经过长达七十多年的岁月淬炼，书中所叙述的生活哲思与做事态度，至今仍被人们啧啧称奇。

这本书旨在教我们运用数学和科学思维去看待、解决事物。关于数学知识和技巧的介绍不深，估计中学水平都能够知道这些数学知识（代数，几何，解析几何，一点点微积分）。重要的是作者提到的数学思维方式，它是严谨的，客观的，其中有“归纳”、“推理”、“抽象”，“验证”等，当然最基础的是“逻辑”。逻辑是数学的基石，没有逻辑有没有数学一层层的架构，数学的一切都需要逻辑来运行。 这本书给出了西方的思维和文化，这与东方是极大不同的。西方的思维方式注重逻辑推理，能够在一些自己创造出的理论框架中，运用自己定义的一些基本符号，推理出一些定式和结果（文中所说的暂时的“不变量”）。这是一个无中生有的过程，可以不知道结果，不知道现实，直接用一些最基本的事实变量，通过他们总结出来的正确的推理过程，直接得出符合现实的结果，这让我想到了《第一性原理》。他们喜欢把世间的东西量化，然后去控制，去研究，然后掌握它们。而东方的思维和文化就很不一样，我们注重实在的经验，注重归纳，注重实用性。我们注重内心的道德感，注重社会的组织架构，注重人与人之间、人与自然的关系。我们更喜欢感性地思考，运用体悟和实际经验来创造当前实用的东西。我们喜欢整体、联系地思考，而西方喜欢分割、原子地思考。 本书最后给我们扩展的现代思维，对个人的思维有很大的启发性。我们可以在原本理论的基础上，保留或者稍微改变基本的定义，可以用自己创造出的推理方法来运用逻辑创造出新的体系。这里很有意思，我们可以定义自己的数学，自己的规则，只要逻辑没有问题，可以创造出自己认识和解释事物的体系，哪怕不符合现实，只要符合逻辑！ 本书另一个击中我的是，我们要多运用自己的直觉，凭借自己的感觉来判断和试验，书中举例很多科学家刚开始都是通过直觉来进行尝试的，发明出了伟大的理论，但这个结果最终一定要验证。还有一个让我有启发的是“暂时的不变量”的定义和讨论。作者用不同的维度和高维在低纬的投影以及同一维度的转换、平移，以及一点点相对论的知识，来说明我们现在得到的“暂时的不变量”，也就是在特定时间，特定条件下得到的正确的理论，在未来或者其他条件下可能就不是正确的，我们要持有开放灵活的态度对待他们。 书中的一些插图挺有艺术，黑白线条简单勾勒，能体现出作者“多元”的思想。 以上是我的一些阅读感悟。 诸君，共勉。

小书道理十分深刻和普适，尽管写于1942年,放在当代用这些思维去理解人工智能发展都十分受用。在找能激发孩子数学兴趣的书时发现了它，孩子阅读难度有点大，可能得读了高中以后才能领悟部分。作为理科生，我觉得可以反复阅读，加强自己对那些最普适最根本的思维模式的理解。读完感觉数学太妙了，多重视都不为过。

很简单的小书，歪果仁写了相当滴简单额的书