微积分的力量

前两个月，我监督着小学生弟弟做作业。难得的是，我累趴了；更难得的是，小弟半天就把语数英作业提前完成。 其中有一个小插曲，一道压轴的数学题，可把他绞尽脑汁得不确定思路。于是，作为资深的“三好学生”的我，当然要给点“指导”啦！没错，这道题我会！他还嘀咕着：“小学数学题怎么可能难倒姐姐。”经我提示，小弟眉眼都开了窍……而后的期末考试数学单科考了全班第一，还说得了一个“1000”万（折叠方式，红包皮上带个“万”字）的红包，想邀我去玩。 彩蛋：原先那道题我把小弟教会了，自己不会了。 回归这本书—— 笔记干货：有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。 但还好，作者的叙述方式很易懂，像极了一位循循善诱的老师，不敲黑板，只是给你指引。 作为桥梁的无穷｜微积分最初是几何学的产物，怕是大家要么爱得彻底、要么恨到不行。可以不学微积分的我还偏要看看这一本书，估计是想重新回味下“数学之美”吧——一如音乐旋律的和谐！ 小弟那会儿还问我：“姐姐还能不能给我再讲讲你说的方程不等式呀？”于是我一边说着一元二次方程一边忘记怎么设不等式，果真是直接在稿纸上被自己笑倒。 这本书我翻阅得很快，并不算精读。 不一定是数学学习爱好者可读；此书反而更能引发基础薄弱者学习数学的兴趣。 此书会告诉你阿基米德论证到了三角形的重心！这一点在课堂上不一定都学过；「亚里士多德的世界观」一章中，提及最早的日心说，比哥白尼早了大约2000年，就如故事缓缓道来；伽利略出场主讲的不是其人，而是周边的故事；“伽利略的奇数定律似乎暗示了物体下落的总距离与所经过时间的平方成正比。”——一个听起来很复杂的定律既是一条被证明的结论，也是一条我们可以反复推论、怀疑、再推论的课题；开普勒第一定律：椭圆轨道——开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积（行星并不以恒定的速度运行），至于其第三定律，我们一起在书里遇见呀。 当代数遇上几何学，你是怕了还是爱了? 费马vs笛卡儿，你pick谁? 幂函数、指数函数、10的次方、对数⋯⋯要不要再进阶一下? 很有趣的一本书，回味无穷。离开学校后继续学习数学，就靠这类趣味读物了。另外还有结成浩（日）的《数学女孩》全六册，也是数学学习读物。

读罢这本书真有像网上评论的那样：是能让"数学恐惧症"患者手不释卷的数学读物。我用了40天1030条笔记，慢慢地啃完了这本书，它真的让我这个微积分小白看的津津有味、不愿释卷。 作者最了不起的地方，在于他彻底颠覆了微积分"枯燥公式集合"的刻板印象。全书没有从极限定义开篇，而是带领读者回到微积分诞生的历史现场～从阿基米德用穷竭法计算圆面积时的巧思，到伽利略通过斜面实验窥探运动规律，再到牛顿与莱布尼茨的世纪之争。作者像一位经验丰富的导游，让读者在人类文明的长廊中漫步，阅读过程中你会发现：原来微积分的每一个概念都源于人类对自然界最朴素的好奇。 书中反复出现的核心隐喻令人印象深刻：微积分的本质就是将复杂问题无限拆分，再以全新方式重组。无论是计算行星的椭圆轨道，还是解析DNA的双螺旋结构；无论是设计智能手机的GPS定位，还是理解艾滋病的病毒传播曲线～作者用一个个精彩案例证明，微积分不仅是数学工具，更是一种理解世界的思维方式。当作者讲到CT扫描如何利用拉东变换"看见"人体内部时，你会真切感受到：那些曾让人头疼的积分符号，背后竟蕴含着拯救生命的力量。 作为《纽约时报》数学专栏的前撰稿人，作者的文字兼具科学家的精准与散文家的优美。他形容微积分"是人类在无穷大与无穷小之间走钢丝的艺术"，将导数比作"时间的显微镜"，把积分喻为"无限的拼图"。这些比喻不仅生动，更准确地捕捉了数学概念的精髓。即便是讲解ε-δ语言这类抽象内容时，作者也能通过"追逐游戏"的类比，让我们在直觉层面先建立理解，再逐步过渡到形式化表达。 作为一本科普书，这本书深入浅出、形象鲜明的讲解更像是一场关于数学之美的启蒙之旅，但部分章节（如关于傅里叶分析在通信技术中的应用）对于完全缺乏物理背景的我，理解门槛略高。 这本书的生动有趣在于它重建了普通人与数学之间的情感联结。读完此书，你未必能熟练计算微分方程，但一定会对身边的世界多一份数学的敏感：看到抛物线的水流会想到切线斜率，听到音乐的泛音会联想到正弦波的叠加，望着夜空中的行星轨道会惊叹于微分方程的预言力量。正如作者所言："微积分是人类最伟大的集体智慧结晶之一，而它本应属于每一个好奇的心灵。"对于任何想要理解现代世界运作逻辑的你，这本书都是一扇绝佳的窗口。

书名估计会让一批读者望而却步，其实这是面向大众的通俗科普读物，阅读门槛并不高。作者用生动的语言和生活化的比喻解释了微积分的基本思想，例如无穷小、变化率和累积量。书中避开了繁琐的数学公式，更多是通过故事和类比来让人理解微积分的核心概念，以及教科书理论背后的历史和思想，使没有数学背景的读者也能领会其精髓，让普通人能够体会到微积分的优雅和力量，而不是被技术细节吓退。 那么，微积分究竟是什么？ 1. 它是人类描述宇宙的一种数学符号。虽然语言和数学都是符号，都可以表示逻辑，但数学和语言最大的不同可能就是“精确而简洁”：精确+简洁 ➡️ “知识的预测和复制能力” ➡️ 现代工业需要的重构和复制成为可能。（关于数学的乐趣和意义，推荐《数学的雨伞下》 ） 2. 微积分不同于普通数学公式，是因为它基于无穷大，无穷小这样的“虚构和想象”的概念。微积分就是基于这样一种信念：复杂问题 = “无穷大”个连续的简单的“无穷小”的组合。比如，曲线的长度是无数个微小片段的直线之和；再比如，人生的意义是每个当下体验之和😂。（关于“无穷”的深刻意义，推荐多伊奇的《无穷的开始》） 3. 如果说这个世界既是“连续”也是“离散”的，微积分则是架起了连续与离散之间的桥梁。如果说人们对世界的认知是根据“已知”来预测“未知”，微积分则是架起了已知和未知之间的桥梁。人们之所以认为世界无常，部分原因是因为无法掌握连续与离散，宏观与微观之间的规律，对用已知来推演未知缺乏信心，而微积分的出现则是极大的增强了人类探索世界的自信心，促进了随之而来的爆炸式的科学进步和工业革命。 4. 微积分是代数和几何这两种很强大的符号系统结合下的神奇产物：不论是几何还是代数，都是神奇的符号系统，可以用简洁而精确的方式模拟规律，这一点语言就做不到，否则试一试用语言描述一下二元一次方程，肯定很酸爽，更别说复杂的微分方程了。几何和代数不同之处是具象与抽象，两者的神奇结合就是具象和抽象的神奇组合，是左脑和右脑的结合。只不过，微积分不满足于静态的几何世界，而是痴迷于动态变化。它想解决的问题是：运动和变化的规则是什么？我们能对未来做出哪些确定性预测呢？ 5. 微积分是压缩数据的模式之一。所谓“模式”的意义就是“压缩数据”，对于人脑而言，不需要记住大量数据而只是记住总结下来的“模式”，以牺牲一点点精确性作为代价大幅节省了宝贵的大脑资源。对于电脑来讲也如此，计算和数据存储资源都非常昂贵，“模式”的意义就是大量节省资源，低碳，高效。“模式”可以用符号表示（比如公式），但复杂的模式往往无法精确的用符号表示，比如训练之后的人工智能，或者人脑的潜意识模式。人与人之间“观念”的不同，本质上也是人的“思维模式”不同，源自每个人不同的经历和记忆。微积分是压缩数据的重要手段和工具。数据压缩的许多算法（例如图像压缩中的JPEG、音频压缩中的MP3）依赖于将信号从时域（或空间域）转换到频域。傅里叶变换和小波变换是关键工具，而傅里叶变换的理论基础源自微积分中的积分和导数。 6. 微积分的三大核心问题 ✅正向问题：已知一条曲线，求它各处的斜率。 ✅反向问题：已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线。 ✅面积问题：已知一条曲线，求曲线下方的面积。 这里，曲线象征着不断变化的事物，而曲线下方面积象征着变化的积累结果。所以研究二者关系就是研究事物的“变化”和“积累”之间的关系。已知“积累”求“变化率”就是微分问题（或求导数问题），已知“变化”求“积累”就是积分问题。 7. 微积分是抽象与具象之间的取舍：在分析数据时，“测量分辨率”的选择取决于分析的目标，分辨率选择的过高，会带来很多“噪声”，导致“光滑度的崩解”，反而提高了不必要的分析难度。当然分辨率太低也会忽略很多有用的数据，导致分析结果失真。抽象的意义在于忽略噪声，抓住重点。抽象的弱点在于损失细节，分析失真。微积分的哲学不追求完美主义，而追求抽象和具象之间恰当的平衡。如果，输入的变化X ➡️ 输出的变化Y1 + Y2 + Y3…。输出的变化是体现为一系列从重要到不重要变化量的加总。所以，研究输入和输出变化的关系，要根据研究目标来判断需要保留多少最重要的前面的Y，而忽略其他的Y。 8. 微积分证明了“虚构的产物”能够以非虚构的方式深刻的影响着我们的世界，社会和生活：上到揭示天体运动汇率，中到无线电技术，雷达技术，导航系统，下到微波炉，体检X光，病毒研究和预测等等。牛顿的经验演绎法 → 事实为基础 + 微积分为推演手段 → 对未来的理性预测，替代形而上学的预测。它的出现让人们掌握了一门理解宇宙的全新语言，也证明了宇宙是可以被人们理解的。 9. 微分方程：“在宇宙大戏中，数和形状好像演员，它们被一种看不见的存在——微分方程的逻辑——默默操控着”。 “积分在现代科学中的应用主要体现在偏微分方程的建立、求解和解释上。麦克斯韦方程组是偏微分方程，关于弹性、声学、热流、流体流动和气体动力学的定律也是偏微分方程。这样的例子还有很多，用于为金融期权定价的布莱克–斯科尔斯模型[插图]，以及用于描述电脉冲沿神经纤维的传导过程的霍奇金–赫胥黎模型[插图]，它们都是偏微分方程。” 10. 微积分+：微积分理论的演化和未来 “微积分可以由它的信条来定义：在解决关于任意连续体的难题时，先把它切分成无穷多个部分，然后一一求解，最后通过把各个部分的答案组合起来去解决原始的难题。我把这个信条称作无穷原则。从这个角度看，微积分是用于研究任何事物——任何模式，任何曲线，任何运动，任何自然过程、系统或现象——的想法与方法的庞杂集合，这些事物的变化平稳而连续，符合无穷原则。” “微积分+”囊括了它的子孙后代：多变量微积分，常微分方程，偏微分方程，傅里叶分析，复分析，以及高等数学中涉及极限、导数和积分的所有其他分支。 微积分是一种数学工具，“微积分+”更是一种哲学思想和体系：1. 认为这个世界是无穷小离散体组合而成的连续体。2.认为通过理性演绎，离散体和连续体的变化是可预测的。 作者预测未来几年围绕微积分可能有几个重要趋势，包括： · 微积分在社会科学、音乐、艺术和人文领域的新应用； · 微积分在医学和生物学领域的持续应用； · 应对金融、经济和天气固有的随机性； · 微积分为大数据服务，反之亦然； · 非线性、混沌和复杂系统的持续挑战； · 微积分与计算机（包括人工智能）之间不断演化的合作关系； · 将微积分推广至量子领域。

一本揭示数学与宇宙深刻联系的杰作。 史蒂夫·斯托加茨以深厚学识、清晰叙述以及诗一般的语言，带领读者穿越微积分的发展历程，展现它如何成为人类理解世界的重要工具。 自然这部伟大的著作是用微积分语言写就的。书中深入探讨了微积分破解的三大宇宙谜题：曲线之谜、运动之谜和变化之谜。 从阿基米德用穷竭法计算圆周率，到牛顿、莱布尼茨创立微积分描述行星运动，再到爱因斯坦用场方程揭示时空弯曲，作者生动描绘了这些科学突破如何从根本上改变了我们对自然的认识。 创造力是直觉的产物，而理性姗姗来迟。 微积分就是在用无穷来研究有穷，用无限来研究有限，用直线来研究曲线。这种思想的力量不仅在于其数学美感，更在于它能够解释从苹果落地到星系运行的各类现象。 当我们凝视圆的时候，圆实际上也在注视着我们，因为它们就在我们所爱之人的眼睛里。 斯托加茨特别强调了直觉在数学发现中的重要性。微积分的发展史不是严谨逻辑的线性推进，而是由科学家的想象力引领的冒险。伽利略通过观察提出运动规律，牛顿凭借直觉发现万有引力，都是先有洞见后有证明。这种对科学创造过程的真实刻画，让读者感受到人类智慧的光辉。 同时，本书还展示了微积分与现代科技的深度联系。从麦克斯韦预言电磁波到现代医学影像技术，从计算机动画到航天工程，微积分无处不在。“如果没有微积分，人类就不可能发明电视、微波炉、移动电话、GPS。”这些成就不仅彰显了科学家的伟大，也体现了数学作为基础学科的巨大价值。 这本书提醒我们，最抽象的数学思维往往能产生最实际的应用，而对知识的不懈追求正是人类文明持续进步的根本动力。

不要被书名吓退！！！这不是一本晦涩、枯燥的工具书，而是一本通过降维解读、让普通读者也可以感受微积分魅力、感受数学之美、感受思考之美的科普类好书！微积分不只是一种数学解题方法，更重要的，它是一种化难为简、分而治之的思维方式，用无穷研究有穷，用无限研究有限，用直线研究曲线。 一、【初识微积分：1+2+3】 1、微积分思维的1个原则：无穷原则。微积分的思路关键在于“把复杂问题重新拆分为无穷多个简单部分”，分析这些简单部分逐一求解，然后把结果组合起来，就能理解最初的整体问题。利用无穷思维来解决复杂问题，是自古以来最棒的想法之一。在极限和无穷的帮助下，离散和连续实现了转换。线可以看作由无穷多个距离很近的离散的点组成；圆可以看作正无穷多边形；离散的像素可以构成连续的画面，快速播放的离散的静态帧可以形成流畅的动态视频。 2、微积分包含2门学科：微分学+积分学。微积分解决问题分两步，先切分后重组。切分过程涉及无限精细的减法运算，以量化各部分的局部变化，这是微分学；重组过程涉及无限的加法运算，把各部分整合成原来的整体，即积分学。 3、微积分研究3大难题： 曲线之谜：曲线被显微镜无限放大后，局部会近似于直线，所以曲线可以看作由无穷多个无穷小的直线组成。 运动之谜：如果时间足够短，速度变化会很小，所以变速运动可以看作由无穷多个无限短暂的匀速运动组成。 变化之谜：每一次质变的背后，都是由无穷多个看起来没有变化的局部量变组成。 二、【微积分的发展史】 了解一门知识的发展史，有助于找到学习这门知识的高效路径。本书用几个沉迷于思索自然宇宙之谜、并找到部分答案的闪光人物，串起了微积分2500年的发展历程。 1、微积分思维的鼻祖-阿基米德，为求圆形面积，他把圆近似为正无穷多边形；为求弓形面积，他把弓形看成由无穷多个无限切分的三角形组成；他把几何图形想象成由挨在一起的无穷多条长短不一的平行线组成，并天才般的利用重心和杠杆原理来比较和计算不同几何图形的面积，在脑海中给几何图形“称重”，令人印象深刻。 2、由于阿基米德的思维太过超前、叠加手稿遗失等问题，其开创的用极限和无穷小方法来精确计算曲线面积、变速运动等涉及“连续变化”问题的方法，陷入了停滞。直到他去世1800年后，伽利略和开普勒重新捡拾起这套方法，而且他俩都跳出了阿基米德的静态世界，进入到对动态速度的研究，不过一个是研究地球上的运动，一个研究天体运动： ①伽利略通过巧妙精确的科学实验，发现自由落体运动的加速度非瞬时达到最大值，而是在有限的时间内进行无穷多次的平稳加速。 ②开普勒通过计算发现，所有行星都在椭圆轨道上运行，而太阳位于椭圆轨道的一个焦点，他采用阿基米德的方法，把单位时间内行星围绕太阳运动扫过的扇形面积看作三角形，发现“行星以不恒定的速度运行，但在单位时间内扫过的面积相等”。 3、费马和笛卡尔的解析几何，将代数与几何结合，发现了利用代数找到曲线最大值最小值和切线的方法。 4、牛顿和莱布尼茨，把关于运动和曲线的思想拼凑在一起，分别通过自己的途径创立了微积分。 ①牛顿把时间t引入几何，把曲线下方的面积看作随时间流动的量，通过将曲线转换成幂级数，系统性的求解出它们的面积，对曲线下方的面积求导就是曲线，对曲线求导就是曲线的斜率。 ②莱布尼茨独立地发展了一套强大且直观的符号系统（dx，df，∫），成为现在微积分的主流语言。 在微积分的指引下，宇宙的逻辑得以被更清晰的书写。常微分方程、偏微分方程...数学在解决复杂问题方面的能力越来越强大。 越读至最后，舍不得读完的情绪越重。这本书重新唤起了我对数学纯粹之美的兴趣，唤起我对那一位位用“无穷小”思维探索“无穷大”自然宇宙奥秘的巨人的景仰。

因为父母的关系，我在小学时，便意外知道了关于这个世界的，一个天大的秘密。 我的很多同学都不相信它，但因为我的父母是领域内的权威，让这个才不过十一二岁的少年坚信，他们要比我的同学们更加接近于真相—— “世界上的物理和数学定理，从最根本来说，都是无法解释的。甚至包括宇宙本身，也同样如此。人类对于自然的一切发现，都如同英文词典一样，当你查阅过所有的词汇后就会发现，这些词汇全部在互相解释对方，而没有一个真正的根源存在。宇宙，或许，无法离开其中的任何一个最微小的部分，否则，它便会瞬间崩塌。” 没有人知道为什么，万有引力会存在；没有人知道为什么，这个宇宙会从一开始就拥有了支持生命诞生的物理定律；更没有人知道为什么，微积分似乎可以解释世界上的绝大部分已知事实。 但是，事实就是事实，这意味着，它们就是存在，而完全不以个人意志为转移。 抱持着这样的信念，我开始了我在理工科领域的人生。 我拿到了很多的奖项，数学的、生物的、艺术的，以及，我最引以为傲的——物理的。 我是在20XX年参加的物理奥赛，这场考试对于我来讲，是非常意外地，我拿到了国二的奖项。 为什么我会感到意外呢？ 因为，我其实很多道题都没有写出来最终的答案。我的计算能力一直不足，但是空间想象力一直都异乎寻常地强大。 我可以在打游戏时，轻松地记住整张地图，以便于推演所有敌人可能的行动；我在旅行时，导航地图看一遍就可以正确地走下来，在重庆从来没有迷过路；我在很小的时候，就可以准确地以背诵的方式绘制世界地图。 在这一方面，我有天赋。 但是，在数理逻辑领域，我是有严重缺陷的。我在相当长时间内，都无法理解数学和物理之间那种极为清晰而明确的逻辑。或许是因为，我的父亲，是应用物理学方面的专业人士，才挽救了我的物理考试能力，但无论如何，在我上大学以前，我所能理解的数学与物理，常常都只是——物理如天籁之音一般；数学则一直都是，纠缠在一起的耳机线，并且，随时都可以自己莫名其妙地再次缠上。 因此，当我在参加考试时，我没有抱有任何希望，但还是要尽力——我几乎只能把所有的精力，都用于文字之上。我用最笨的方式，人类语言，描绘了太阳、地球、木星和木星的卫星间，复杂的天体运动。我又用人类的语言，描绘了电路图里羼杂的关系网。 哈，一声拜拜，远去这自然语言！ 我以为我不会获得奖项的，可谁也没想到，那年的题实在太难，以至于，那些专注于计算的学生，绝大部分都没能算出结果。在形式上，我和他们是一致的，甚至，在这种情况下，写公式还不如写文字更有可能保持过程的正确性。 就这样，我的履历上多了一条，在很久很久的时光里，我都认为，不应属于我的成就。我引以为傲，却无力对其做出有说服力的解释。数学和物理对于我来讲，是一种具象的感受，对于我来说，把它们用数理抽象工具讲清楚，实在是太难太难。 直到，在读大学之后，我从修辞逻辑开始，逐步拓展到形式逻辑与辩证逻辑的领域，在历史（祖母的领域）、社会学（祖父的领域）、物理（父亲和外公的领域）、生物学（母亲的领域）、哲学（家族的合集）、以及我的领域——电气工程及其自动化、信息技术与传播、环境史和教育学，还有自己假期所修的其它学科的混杂——在花了十多年时间，终于读完了博士之后，我方才完全理解了，数理逻辑，究竟意味着什么。 一出大戏，徐徐拉开：这一切的起点，同时分布在四个地方——古苏美尔与古埃及，古希腊与古印度。 苏美尔人和埃及人，作为大河文明，他们要清晰而公平地划分土地，以解决税收问题。这是几何与算筹的起源，而雅利安人驯化的战马与发明的轮子，则将战马战车引入了苏美尔、埃及与商王朝，从而引发了人类第一轮，对圆的深刻研究。 古希腊人，是最早的海洋文明。出海只能依赖于年轻人，雅典由“世界各地”的年轻人们聚集而建立，这是人类历史上，第一座真正意义上的世界性移民都市。 这些年轻人背景迥然相异。他们各自的海岛文化中，对世界的解释天差地别，而由于大海阻隔，又难以像大陆文明一样，消灭那些不同的，对世界的解释。 这造成了雅典最早的年轻居民们，都是天生反建制反权威者，他们组建了公民大会，发扬了辩论精神，将对真理的解释，包装为和体育竞技一样的军备竞赛。 科学诗人们，在整个希腊文明世界所蔓延，从毕达哥拉斯到欧几里得，从芝诺到阿基米德，无数人类最早期的、真正意义上的学者们，在科学领域前仆后继。而苏格拉底、柏拉图之类的人物，则用强大的思想武器，支撑起了希腊人的公民社会的基础。 人类与自然，同一群精英们走上的两条看似相反的道路，却形成了一种相辅相成的关系，它构成了古希腊哲学的整体——即，探索与实践的有机结合。 而在古印度，雅利安人残酷的军事种姓制的化身——婆罗门教，带来了一套所有人都终生无法逾越的神界武器——梵。它规定，人不仅在人间有种姓，连每一种种姓的神也都是有种姓的，并且，当人类死亡后，灵魂也将永远困于种姓之中。种姓，永世不可更变。印度社会的脏乱差的根源，恰来自于此——彻底地对现实的绝望与放弃。 最终，在孔雀王朝横空出世前不久，达罗毗荼人和刹帝利种姓都受够了婆罗门的残酷统治。他们发动一场大规模的哲学政变——六师外道与印传佛教。这些宗教，和其它一些当时的吠陀时代的哲学流派，在多数情况下都对婆罗门的核武器——梵——进行了精确打击。 其中，尤以佛教理论为中国人所熟悉——缘起性空。佛教强调，不但人间的种姓制不存在，灵界的种姓制也不存在。而且，灵界不但种姓制不存在，灵界本身就是空的。 世间一切，都是由这空而来；诸法空相，凡所有相，皆是虛妄，若见相非相，即见如來。而这个空，要怎么表示呢？ 当伊斯兰人在波斯文士与突厥铁骑的战争机器下，攻入北印度后，他们发现，这个“空”，居然有一个专门的符号——0。 很快，印度人表达1-9的数字，还有这个专门表示空的符号0，都一起传入了伊斯兰建立于巴格达的，人类中古时代最伟大的学术机构——智慧宫（以及后来的尼扎米耶大学），这里收集和翻译了当时世界上能找到的全部学术资料，从希腊罗马，到埃及印度，再到中国、乃至日本与高丽。 这里有来自整个欧亚非的留学生们，曾有的大量中国学生，在这里读书。现代人类社会中有规模恢弘的知识与技术，都来自此地在五百年间的观测、研究、发明与创造。 终于，智慧宫中的一位来自于大名鼎鼎的花剌子模帝国本土的年轻人，花拉子米（名字含义为：来自花剌子模的人；为波斯语名），在浩如烟海的帝国文库中，发现了那些印度数字。 他亲自将0也列入了数字之中，从而有了0-9，也才有了“阿拉伯数字”。后世很多人诟病伊斯兰人盗取了印度人的数字，实则不然，如果不是有波斯人花拉子米的革命性创造，印度数字很可能也会永远被淹没于历史的长河。 随后，花拉子米将阿拔斯帝国境内外，所有他能找到的数学资料，全部集大成为了知名世界的，《代数学》。0和《代数学》，成为了微积分革命，所绝对绕不开的基础，它是笛卡尔与费马、牛顿与莱布尼茨，都必须熟知的常识。 而当蒙古帝国的西征大军，横扫向整个西亚的伊斯兰文明后，伊斯兰人规模恢弘的科学技术知识，只能向西方大流散，最终，多数抵达了西班牙。而此时，相对于当时的伊斯兰文明来说，更为野蛮的法军，即将成功攻陷安达卢斯——伊比利亚半岛的伊斯兰名。 最终，位于西班牙科尔多瓦的庞大图书城中，足以媲美当时整个欧洲藏书规模的古老文本，流入了欧洲。在经历了黑死病的重创后的欧洲，罗马教廷的权威在此时一落千丈，而在同一时期流入欧洲的，这些伊斯兰文本，便令文艺复兴瞬间爆发、启蒙运动即刻酝酿。 整个现代医学制度，最初都照抄自伊斯兰。钟表等精密机械，同样如此。而数学研究和天文研究，也同样如此。 此后，真性情的伊尔可汗旭烈兀，大手一挥，花费帝国半年税负，只为在马拉盖山上，拔地而起一座天文城，由穆斯林天文学家图西，带领着来自中国、印度、波斯、阿拉伯、埃及、亚美尼亚等地的数百名天文学家，观测星空长达十三年之久。最终，《伊尔汗历》横空出世。马拉盖数据文本的抄本流传至欧洲，并在三百年后，出现在了波兰的一座小城中的，一位小人物的面前——他便是，哥白尼。 多年后，另一位人物，同样拿到了这份已经历经四百余年，却依旧比第谷的数据还要精确的文本，他便是，开普勒。 从这里开始，接下来的故事，各位在书中都曾看到过。 我讲这些，是想说明，科学的诞生是一条无比漫长的艰辛之路。它并非简单地诞生于欧洲，它所验证出的数理逻辑，也同样并非是历史故事所能完全讲明的。有人可能会诟病说，我怎么没有提到中国，因为，篇幅有限。 中国在欧亚史上的重大作用，是以对游牧帝国的强烈冲击所展现的，在此不再展开。 接下来，让我们跳过牛顿，直奔数学之路上的另一处战场——近现代的数学家内战。 数理逻辑哲学，是把物理和数学之间的那扇门、连同墙一起炸掉，然后站在废墟里问起一个在人类历史中，已回响近四千年的终极问题：为什么纯粹的逻辑推演，竟然能统治物质世界？ 这不是修辞，这是过去150年来最硬核的哲学战场。参与者包括：希尔伯特、哥德尔、图灵、爱因斯坦、维特根斯坦、彭加莱、惠勒……几乎所有20世纪最强大的头脑，都在这片战场上打过仗、流过血。 现代以来，发动这场大战的，正是希尔伯特，也是我的《中国逻辑学之死》的高校课程中，至为重要的开端： 1900年，希尔伯特提出了著名的“23个问题”，其中第2个问题是：“证明算术是无矛盾的。” 他的真实野心是“希尔伯特计划”：把所有数学完全公理化（用最少的公理把一切数学严格定义）；证明这套公理系统是完备的（能证明一切真命题）和无矛盾的；所有这些证明，必须是纯粹形式化的、可被机械检查的。 换句话说，他想把数学变成一台巨大的逻辑计算机，只要输入问题，就能自动吐出“真”或“假”。 这被称为数学的“逻辑主义终极梦想”：数学 = 纯粹逻辑。 如果这一点能够实现，它将超越微积分的解释极限，而成为整个物理学的终极抽象解。它的背后，并非简单的数学理论研究，而是当时的世界主流哲学思潮——第一次世界大战之前，即将达到登峰造极的新古典主义哲学。 这是一场围绕于康德式的“绝对理性”的哲学思潮，其中的任何一个流派，从黑格尔到马克思，从叔本华到尼采，他们都在试图找到世界的唯一真理解。这样的思潮，在当时的物理学上有着越来越清晰的例证——微积分几乎可以描述物理学的一切表现形式，如果不能，那么几乎注定是人类在物理层面的观测出现了问题，而不是公式错了。 可是，在1931年，这个第一次世界大战结束后，世界已深深陷入痛苦的现代主义哲学思潮的时代，一位25岁的年轻人，哥德尔——同时向数学、物理和哲学，扔出了两颗超级核弹： 不完备性定理Ⅰ： 在任何足够强的、相容的形式系统中，存在真但不可证的命题。 （也就是：有数学真理，但永远无法在系统内部被证明）。 不完备性定理Ⅱ： 这样的系统无法证明自身的无矛盾性。 （也就是：你永远无法用系统内部的工具证明“我不会自爆”）。 哥德尔的证明方法本身就是一种极端暴力美学：他发明了“哥德尔编码”，把“语句谈自己”这个逻辑悖论，转化成了纯粹的算术命题。 结果就是： “这句话无法被证明” → 变成了一个具体的整数 → 在系统内部既真又不可证。 这一刻，希尔伯特的梦想彻底碎了。 数学不可能被完全逻辑化。 永远会有“漏网的真理”。 而在1936年，第一次世界大战前夕，出于对学生时代的同性恋人，克里斯托弗的强烈的爱，天才计算机科学家图灵，把哥德尔的理论抽象为了“图灵机”，然后证明了停机问题不可判定：不存在一个通用算法，能判断任意程序在任意输入上是否会停机。 这不仅终结了希尔伯特计划，还直接导致了现代计算机的诞生（图灵机就是计算机的数学模型）。 更残酷的是： 哥德尔说“有些真理无法证明”，图灵说“有些问题连计算机都算不出来”。 人类理性，遭遇了双重暴击。 宇宙并非完全可理解的——爱因斯坦的名言，成了悖论——因为宇宙的可理解性，所以人类发现，宇宙是人类最强大的自然工具，逻辑，所不可理解的。 更要命的是，物理学自己也开始动摇了。当后现代主义开始勃兴，薛定谔的《我的世界观》正在频频刊印之际，物理学又跳出来补刀：宇宙本身，就是不完备的—— 量子力学：测不准原理 + 波函数坍缩 → 宇宙在根本层面拒绝确定性描述；混沌理论：对初始条件极端敏感 → 即使是经典牛顿力学，也存在不可预测的现象（三体问题长期不可解，庞加莱图）；奇点定理（彭罗斯-霍金） → 广义相对论自己预言了自身的崩溃（黑洞奇点、宇宙大爆炸奇点）。 约翰·惠勒（费曼的博士导师）甚至直接喊出了那句最著名的口号：“It from Bit”（万物源于比特）。 他的意思是：物理现实的终极本质，可能就是信息和逻辑本身。 宇宙不是“存在的东西”，而是一台巨大的量子计算过程。 当然，就像牛顿的钟表宇宙，瓦特的蒸汽机宇宙，或《圣经》时代的上帝的天书一样。惠勒对宇宙的抽象描绘，或许只是人类认知局限性下的，对宇宙的又一个具象化描述罢了。 结果就是，现在数理逻辑哲学，分裂成了三个死硬派： 柏拉图主义（彭罗斯、马克斯·泰格马克）： 数学世界是独立存在的“第三世界”（既不是物理也不是精神）。 我们不是发明数学，而是发现一个早已存在的结构。 宇宙之所以“通数学”，是因为宇宙本身就生活在数学世界里。 形式主义（希尔伯特残党）： 数学只是符号游戏，只要无矛盾就行。 它能描述物理只是“意外的有用”（尤金·维格纳称为“数学在自然科学中不合理的有效性”）。 建构想主义/直觉主义（布劳威尔后继者）： 数学是人类心智的产物，不存在“客观的”数学真理。 哥德尔定理只是证明了“无限”这个概念本身有问题。 但无论是哪一个数理逻辑的死硬派，都面临着这些，我们可能永远无法回答的终极悖论： 为什么哥德尔句子“恰好”是真的？ （我们凭什么相信系统外的“直觉”比系统内的证明更可靠？）；数学的有效性是发现的，还是被物理世界“筛选”出来的？ （泰格马克：只有通数学的宇宙才能存在？）；如果宇宙是一场计算，那么计算的“硬件”是什么？规则从哪来？ 所以说，微积分只是冰山一角，有很多内容，斯托加茨应该是担心读者们搞不明白，因而干脆没有讲，而是将对终极悖论的绝望，寄托于像阿尔法零之类的模型黑箱中。毕竟，无论最抽象的终极理论有多么严重的冲突，微积分在应用物理方面的重大作用，仍然是永恒的。 所以说，斯托加茨讲的牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦……那只是故事的开头。 真正的故事是： 人类用纯粹的思考，造出了一把刀。 这把刀不仅能切割现实，还能切割“可能性的空间”本身。 但当我们把它磨到最锋利时，突然发现—— 刀刃上还刻着一行小字：“此刀不可完全自证，且不可预测自身是否会断裂。” 这就是数理逻辑哲学的终极暴力美学。 我们用理性证明了理性的局限， 用逻辑证明了逻辑的不完备， 用数学证明了数学的不可计算性。 然后我们站在废墟上，抬头看星空， 发现星星仍在按照400年前牛顿所写下的方程运行。 这可能是人类有史以来， 最接近神性的荒诞时刻吧。 不管怎样，今晚南洋的星空之上，仍然是众星捧月，云淡风轻，这是我在写完这篇书评后，专门去了门前的庭台上去看的。 为了什么呢？ 为了多年前，斯托加茨在写完全书时的那个夜晚，所看到的冬夜的星空吧。 这让我不禁想把最近写过的一首诗刊于此处，以作对在窄门前窥探到上帝的书房后的，感触： 今宵月挂露疏桐，人待黄昏后。 云沉山前山后明，三两星火萤。 暮光皑皑月溶溶，表里俱澄澄。 人攀明月不可得，月行与人同。 《乙巳年十月十五·侗水观山月》 南洋新居 乙巳年十月廿三 A.W.

宇宙是高度数学化的，但原因尚无人知晓。这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式，因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。尽管细节会随着我们探讨的具体内容而有所不同，但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。微积分利用了这种规则，并将其表述出来。        艾萨克·牛顿是最早瞥见这一宇宙奥秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。如今，我们把这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来，每当有新的宇宙奥秘被揭开，我们就会发现同样的模式一直有效。从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵从微分方程的规则。也许这就是费曼说“微积分是上帝的语言”时想要表达的意思。如果有什么东西称得上宇宙的奥秘，那么非微积分莫属。        人类在不经意间发现了这种奇怪的语言（先是在几何学的隐秘角落里，后来是在宇宙密码中），然后学会熟练地运用它，并破译了它的习语和微妙之处，最终利用它的预测能力去重构世界。        诚如斯托加茨在结尾中对微积分的感叹:我是在一个晴朗的冬夜写下这篇结语的。走出家门抬头仰望，遥远的星星和漆黑的太空让我不由地心生敬畏。         作为飘浮在一个中量级星系中的一颗微不足道的行星上的一个无足轻重的物种，智人是如何成功预测出，在距离地球10亿光年之遥的浩瀚宇宙中的两个黑洞相撞后，时空会发生怎样的震颤呢？我们早在引力波到达地球之前就知道它的声音应该是什么样子了。而且，多亏有微积分、计算机和爱因斯坦，我们的预测是正确的。        引力波是人类有史以来听过的最微弱的耳语。在我们成为灵长类动物之前，在我们成为哺乳动物之前，甚至在我们还是微生物的时候，这种轻柔而微小的波就已经开始朝我们漾来。当它在2015年的那一天抵达地球的时候，因为我们正在倾听，也因为我们通晓微积分，所以我们才能听懂这轻柔的耳语意味着什么。         即使人类在大自然面前如此渺小，甚至是微不足道，却能够不断地突破“坐井观天”的局限，通过各类工具(哲学、神学、数学、天文学、物理学……）去探索世界，探索文明。未来世界何其多样，智人又何去何从？微积分又是怎样发挥它的作用，去解读未知的奥秘，让我们拭目以待吧!

《黑天鹅》作者纳西姆·尼古拉斯·塔勒布对这本书的评价是：“高能预警：这是一本危险的书。它会让你爱上数学，甚至有可能把你变成一位数学家。” 是的，这是一本关于微积分如何帮助人类探索自然和世界、展开科技发明和创新，从而推动人类文明进程的科普读物，它也是一本讲述阿基米德、毕达哥拉斯、牛顿、伽利略、开普勒等鼎鼎有名的人物如何解开了曲线之谜、运动之谜和变化之谜的科学史著作。 在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？ 在《微积分的力量》书中，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你一一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。” 因此，哪怕你对数学及其在这个世界上扮演的角色只有一点点好奇心，也请你读读这本令人惊叹的书。教师、学生、你和我，都会因为这本书而受益匪浅。

看到书名的时候，我就知道我会遇到困难，而实际上也是如此，每当遇到不懂的专业知识时，手上莫名就会出现一个动作：滑动关掉微读。心里也很清楚，那只是暂时的逃避，问题依旧摆在那里，书已经写成，你不读压根不会对它有什么影响…再三催促下，我还是一次次捡起了它。 要问为什么会想读这本书，还是源于自己的遗憾吧，大学并未系统的学习过高数，但后来也在宋浩（义父）、张宇（宇哥）的课程里对高数有了印象。数学很难，难到很多东西我没办法理解：麦克斯韦方程、傅里叶级数、热传导方程、薛定谔方程……可以说，我只是在书中和他们简单的碰撞了一下 至于为啥我大部分不懂依旧给出推荐，还是因为书里有很多东西是可以学习的，掺杂了一些趣味知识以及最重要的：我们学过老师从未进行过讲解的、那些被我们认为理所当然的东西。有时豁然开朗，有时迷惑不解，这就是数学的甜与苦吧。在这里见到了很多老熟人：阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、费马……也有很多新名字，记不住了，正是因为有了他们，才有了现在的我们。 微积分的路还太长，其中不乏很多未解决、或者已经解决却有可能被推翻的，我们像一个小小的蚂蚁，在窥探世界的奥秘，这就是人类的伟大吧。 我的路依旧很长，从某方面来看，我和它一样，未来是未知的，前方有很多东西在等着我，所以，我要往前走了。

一、微积分是神灵的语言 微积分建立在宇宙奥秘虚体上，无穷。它的意图是把繁复的难题化简。 在某种意义上，微积分的定义：对连续体进行切分与重组，量化局部，是微分的责任。量化整体，是积分的任务。 艾萨克牛顿，宇宙奥秘的参悟者。他发现，行星轨道，潮汐韵律，炮弹飞翔，都能用一组微分方程来描述、解释和预测，即牛顿运动定律和万有引力定律。 从最古老的土、气、火、水，到新潮的电子、夸克、黑洞、超弦，这些宇宙奥秘都符合微分方程。因此，费曼说：“微积分是神灵的语言”。 二、毕达哥拉斯起点 公元前550年左右，毕达哥拉斯学派陶醉于由整数比支配的音乐，作出了万物皆数的预言。 三、迷雾重重的中途跑 三个谜题激励微积分的发展，曲线、运动、变化。三个悖论阻着微积分的发展，二分法、阿基琉斯与乌龟、飞箭不动。 四、阿基米德，极限，第一顶皇冠 阿基米德经常洗澡，直觉很好，他融合数学物理，统一理想现实，合众为一，求出圆周率数值，逻辑上破解曲线之谜，为微积分戴上第一顶皇冠。 五、伽利略和开普勒，第二顶皇冠 伽利略和开普勒继承阿基米德的方法，在直觉范畴将物体切成无穷薄的片状，伽利略用抛体、钟摆、斜面实验证明了，神灵用微积分牵引地球上的运动。 开普勒的椭圆轨道、等时间等面积、公转周期三大定律证明了，神灵用微积分语言牵引天体运动。 六、笛卡尔费马坐标系，大舞台 费马与笛卡尔论辩时，建立平面坐标系，提出最小作用量原理，在解决最大值和切线问题时，费马离发现导数仅有一步之遥，可惜最终擦肩而过。 七、牛顿与莱布尼茨，第三顶皇冠 牛顿站在巨人肩膀上，命令代数、几何与物理服从他，构建出前所未有的综合体。 一般而言，变化方式符合三种模型：上升、下降、波动，而函数是通用建模工具，如线性函数、平方函数、指数函数、对数函数、自然对数函数等，它们共同召唤着迟来的导数。 导数的性质是用函数而非数字描述变化率。变化率是两个变化的商。 常见的导数有：速度，加速度，坡度，斜率，白天的长度等等。速度是距离的一阶导数，加速度是距离的二阶导数。 获得导数这把利器，咱们就能直面微积分的三个大题了，正向问题，已知一条曲线，求它各处的斜率。反向问题，已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线。面积问题，已知一条曲线，求曲线下方的面积。曲线求积问题的难度较大，是微积分的圣杯。 面对曲线求积，牛顿的直觉建模是一个流动扩大的面积，不妨借助油漆滚筒模型加深理解。牛顿使用了常人难及的徒手计算能力，得出圆和双曲线优美的幂级数，而幂级数是雕刻牛顿综合体的瑞士军刀。 莱布尼茨的直觉建模依赖着和与差，不妨借助楼梯模型加深理解。一部分结论由莱布尼茨单独得出，另一部分则是他从牛顿嘴里巧妙的撬出来的。 八、爱因斯坦也拿不出来的虚体 爱因斯坦等后世科学家，早已突破了牛顿和莱布尼茨划下的圈，推动微积分学取向前走了很远很远。然而，强如爱因斯坦，他也不能用绳子牵着一个小东西，大声告诉咱们，快来看啊，这是我的新宠，它叫无穷小。 无穷，仍然是不可见的虚体，神灵的默示。