像数学家一样思考

#《像数学家一样思考》 #科普名家经典 这本书很有趣，讲了22个数学逻辑，但我读得比较匆忙，有些细节没有细细品味（否则一个月都读不完），希望后面再二刷。 数学，特别是数论，是人类纯粹理性令人惊叹的展现。2000多年前，欧几里得就用简明扼要的反证法证明了存在无穷多个质数，其证明之美实在可以称得上是人类文明的瑰宝。 本书也讲了不少段子，摘录一个如下: “上帝不可能拥有大学教席的原因： · 只发表过一本著作。 · 有些人怀疑不是他自己写的。 · 世界有可能是他创造的，但在那段时间他都做了些什么事？ · 科学很难重现他所做出的实验结果。 · 他几乎没现身在课堂上，只叫学生读他的著作。 · 他把自己的头两位学生开除学籍了，理由是他们会学习。 · 他没有固定的面谈时间，有的话大部分也都在山上举行。”

为什么说‘极值原理’能帮助找到最优解？ 在数学与最优化理论里，所谓“最优解”就是“在满足所有约束条件下，使目标函数达到最大或最小值的那一点”。因此，只要我们能把问题转化为“求某个目标函数的极值”并找到该极值点，就同时得到了最优解。极值原理之所以能帮助找到最优解，主要体现在以下三个层面： 1. ​​数学等价性​​：最优解 ⇔ 极值点。 • 当目标函数一阶可导且约束写成等式或不等式时，极值点就是梯度为零（或为鞍点）的平稳点；二阶导数（或 Hessian 矩阵）正定则说明该平稳点是严格局部极小点，从而成为最优解。 2. ​​算法与计算的桥梁​​： • 线性规划单纯形法、非线性梯度法、分支定界、启发式搜索等算法，本质上都是“寻找极值”的过程。分支定界可以在小规模问题中精确找到全局极值；启发式方法则在大规模问题中用近似手段快速锁定接近极值的可行解。 3. ​​问题简化与直观判断​​： • 在具体应用中，先假设最优情形（例如“最大值 m”）并分析其极端性质，往往能把搜索空间大幅压缩。以书中选首都的例子：先找出道路最多的城市 M，再通过极值假设证明它满足首都条件，整个推理因“极端情形”而变得简洁明了。 综上，极值原理提供了“把最优解问题转译为极值点问题”的理论基础，也给出了“如何系统搜索、判定并逼近极值”的方法论，因此能够帮助我们在各种约束条件下高效地找到最优解。

翻译掩盖了背后的光辉，推荐寻找原版

《像数学家一样思考》核心主旨：彻底打破“数学=公式计算、刷题解题”的刻板认知，提出数学思维是一套可迁移至生活所有场景的通用理性工具，核心是清晰、严谨、结构化地看待问题，无关数学天赋，普通人都能通过训练掌握，以此规避直觉谬误、高效拆解难题、做出理性决策。 一、数学思维的核心原则 1. 先明确定义，再展开讨论 生活中绝大多数争执、无效沟通，都源于概念模糊。如同数学先界定研究对象，思考任何问题前，先厘清关键词的内涵与边界，杜绝模糊表述。 2. 质疑一切前提，不盲从权威与常识 不默认既定观点、经验直觉为真理，先验证前提是否成立，很多错误决策的根源，是接受了未经检验的假设。 3. 抽象剥离细节，抓住问题本质 舍弃无关紧要的细枝末节，提炼问题的核心模型，把复杂现实问题简化为可解决的基础问题，是破解难题的关键。 4. 逻辑线性推演，拒绝思维跳跃 从可靠的前提出发，一步步严谨推导，不被情绪、碎片化信息干扰，形成完整无漏洞的逻辑链。 5. 善用反例证伪，识破绝对化谬误 面对“所有、一定、必然”等绝对结论，只需找到一个反例即可推翻，快速辨别伪科学、鸡汤与片面观点。 6. 拆解复杂问题，化繁为简 将庞大、棘手的难题拆分为若干小问题，逐个突破，对应数学的化归思想，降低思考与执行难度。 7. 接纳近似与不确定性 不执着于追求绝对完美的答案，数学本身也存在近似解与概率思维，生活决策重合理逻辑，而非极致完美。 8. 识别规律模式，学会类比迁移 通过归纳寻找事物共性，将成熟的思维模型迁移到新场景，用已有经验高效应对未知问题。 二、全书核心结论 数学思维的本质不是计算能力，而是理性思考的底层框架。 它能帮我们摆脱认知偏差、理清混乱问题、减少无效内耗，无论是日常决策、职场工作还是人际沟通，这套严谨清晰的思考方式，都是普通人提升判断力与解决问题能力的核心工具。

作者学历是数学博士，职称是数学教授，具有一定的权威性。

能够成为数学家的十大征兆： ·看到e时，会先想到一个数，然后才想到字母。 ·精通希腊字母，但不懂希腊文。 ·可以靠着手指计数到1023。 ·曾经尝试用反证法说服交通警察，你的车并不是停在禁止停车区。 ·如果要看漂亮的图片，宁愿找一本关于碎形的书来看，而不是去看色彩缤纷的周刊。 ·知道几何级数的极限值，但不知道自己的腰围大小。 ·看到分数这个词的时候，不会先想到考试。 ·你知道：老数学家永远不会死，只是失去了一些功能（function）。 ·认为复杂化可以把事情变简单。 ·读完上述这些，但没笑出来。

2022-08-11 有没有人能查到作者的初高中来头，我觉得像是搞过数学竞赛的，而且不是大学数学竞赛的那种，数学题讲得比《陶哲轩教你学数学》还要多种多样，而我们知道陶哲轩15岁出的首作就是上面提及的竞赛入门引导。 本书的图片和公式等的编辑那叫一个直呼过瘾，数学本来就有无声的证明一说，图片比文字就更是无声无字了，虽然还是有很多我看不懂的地方，但不影响我给它好评加油，如果搞初高中数学竞赛的同学，可以多读读算算书中举例习题，和作者比较一下答案思路，哈佛博士的数学神威在此接受挑战。 pls: 读完我想称书名为：《由数学题引发的思考》。

作者介绍了解决各种问题的思路，但举的例都挺难的，初看时根本想不到解决办法。书中的图都被省略了，影响了理解。有的公式被胡乱的排版给弄得支离破碎。所以不推荐读这本书。

这不是一本适合普通读者的书， 更加适合于数学专业或者有相当数学基础的人。

思考的方式比较新奇和友好。但电子书很多图形和方程表述不清楚。还是应该看纸质版的。