烧掉数学书：重新发明数学

这是我见过的讲数学最好的书，没有之一。如果我在读高中时看到这本书，大学一定会选数学专业。下面说下这本书的亮点： 1.让我意识到了数学是最不需要死记硬背的，死记硬背是学习的毒瘤，我们真正要掌握的不是具体的知识或者结论，而是思考的能力。只要我们具备思考能力，我们就能从无到有的自行推导出所有公式，因此根本不需要死记硬背。死记硬背最大的坏处就是它无法处理新局面，换个新问题就不知道该如何解决了，自己过去在初高中死记硬背的解题套路对提升自己解决问题的能力毫无帮助，反而还有害。如果我们具备像作者那样的思考能力，就能自己发现生活中的新规律，不需要依赖别人去发现自己想知道的规律。总而言之，我希望自己成为像作者那样有深度思考能力的人。 2.数学的唯一真理就是我们可以随意的定义缩写，只要我们描述的是同一个规律，不管用什么符号，它们都是等价的。不同符号之间的差异就好像中英文之间的差异，虽然“hello”和“你好”看起来不同，但它们表达的其实是同一个意思，用数学家的话来说，这叫做“同构”。 3.在解决数学问题的过程中，我们会碰到很多等价的公式，它们都可以解决问题，但是有些公式比另一些公式更容易求解。就好像条条大路通罗马，但是有些路比另一些路更好走。这也让我意识到了要学会多尝试几种看问题的角度，多思考不同的方法，不要在一条走不通的路上钻牛角尖。用作者的话来说，虽然不同的公式之间是等价的，但是它们在心理上并不等价。 4.我们人类其实并不擅长使用符号思考，包括一些名垂青史的大佬，他们也没有使用符号和公式思考，他们也是用母语思考，等到他们用母语思考得出某个结论后再将母语翻译成公式和符号。我对此感同身受，当我看着数学符号时，我会犯迷糊，不知道从何入手，但是一旦将这些符号翻译成我熟悉的母语，问题就变的非常简单了。这让我意识到了，以后自己不要使用数学符号去思考，而是要使用母语思考，然后再将其翻译成符号语言。数学和我们说话的语言一样，都是一种语言，我们之所以发明数学，是为了更好的表达我们在生活中观察到的规律。数学家发明的各种缩写，比如求和的符号，积分符号，求导符号只是为了方便书写而已，符号本身并没有什么意义，它们只是一种表达自己想法的工具。如果我们对其他数学家的符号感到不满，完全可以发明自己的符号，然后利用自己的思考和推导得出等价的规律，虽然使用不同的符号可能会让同一个规律看起来不一样，但实际上说的是一回事。 5.数学家的工作和设计师很相似，那就是先想好自己想要什么效果，然后再想办法实现这个效果。就好像建筑师在动工前会画好设计图，然后再想办法完成设计图上的设计。也有点像最近流行的“以终为始”的思想，先确定自己的目标，然后再看看有些方法可以实现目标，最后再结合具体情况从这些方法中选择最合适的方法。书中经常会用到这个方法，作者会先确定想要得到什么样的公式，然后再看看有没有办法拼凑出自己想要的公式。 6.我很赞同作者在书中提到的，我们只能理解自己发明出来的东西。这让我意识到了最好的学习是模拟前人遇到的问题，然后踩着前人的脚印去思考问题，接下来尝试用自己的方法去解决它，也就是作者所说的前数学，用更流行的说法是：“重复造轮子会让你对轮子有更深刻的理解”。我希望自己在将来的学习中能够掌握作者在书中用的这种方法，那就是通过自己动手创造来理解新事物。 7.作者提到的绝大部分令人困惑的概念是有毒的，对此我非常赞同。它们只会破坏所有人使用数学的乐趣，比如正弦，余弦，平方根，立方根这些概念应该通通扔进垃圾桶。为了挽救自己对数学的热爱，我们最好只使用自己喜欢的概念和符号。

这是我读书的心理路程，我也没有我会把读完，下面都我阅读过程中真实的感受，也许以后我会整理成专门的长评，但现在就让这个评论陪还在书外面观看的你，一起看看我走的路吧 2024.8.11（周日） 现在看到300页（手机版本微信阅读）左右，我们通过多项式发明了初步的微积分，真的大受震撼，我丢，原来数学看起来想吐的符号是前面偷懒进行的缩写，而缩写前的意思就是加减乘除，当时就是被符号吓到了，也没有找到数学的意义。 还好现在我有点耐心，接着往下看吧 看到382页 复合函数求导？复合个鬼啊，书上确实定理很漂亮，语言很简洁，但是脑子要转几道弯，通过作者的方法，不就✖️1再约掉吗？讲的很清晰，对于自学的人真的是打破心中的枷锁。啊啊啊啊啊 2024.8.18（周日） 我回来了，目前看完第一遍，我认为对于有一点点基础，然后想学习的人，这本书真的很棒，因为他从一年级加减教到了大学偏微分，讲的很清晰，证明过程很全，看到中间AM型捕获机器，dx/dy=0，d（x+y）/dy=1时我不能理解，看的我吐血，几乎要放弃，回到继续对于数学畏惧和无知的状态。 但是我去搜索为什么，后面几经辗转在知乎搜到了《终点又回到起点（数学学习 039）》，这个作者对于这个过程进行了详细的解读，明白了原来dx=C（常数），C'=0。 我接着向后看，原来偏微分只是一个机械的变形，从输入一个得出一个机器变为输入多个得出一个机器。没有想象中那么恐怖嘛！ 接着往后就是无穷层面的积分了，和向量结合在一起，你看到别害怕，因为作者讲的很详细，你可以看懂的。 如果你想学数学，有一个问题，薄的数学书，讲的简洁，你不知道他是怎么推导的，想到快疯了都想不出为什么所以你看不下去； 厚的数学书，读刚刚开始觉得太简单了，不符合你知识水平，同时太厚了，读起来没有成就感，没有快速征服的快乐。 那么，我想问，你还有机会去接触数学吗，就想爬山竖直上爬一样，没有臂力不行，盘山公路嫌远不走，那就永远在在山脚下吧。 这是写给当时的我的，因为之前看数学，知识没有串联在一起，看到半路，难度太大了，放弃了；好在现在的我坚持看完了第一遍，真的原来数学是数学家帮助我我们更简单的理解公式，到后面是让问题越来越简单的。 在看第一遍学习中，我学到了，原来现在学习的知识不是数学家一次就发明的，也是不停的试错试出来的，但是数学书上删掉试错的过程，导致我们无法理解为什么这个就变成这样，他怎么想到的，有一种强烈的挫败感，，好在这本书会带我们一起经过试错找到答案的过程，原来数学也是可以出错的。出错后找到更好的数学。 “发明数学的过程就像在迷宫中大人牵着手带我们走路，虽然有可能出错，但是大人总能接着往下去试，找到正确的方向 我们能去学习的这种思维吗？而不是一开始就想要正确的答案是什么，我们能，也可以去试的” 好的，第一次的读完评论就到这里了，我准备再看一遍，因为已经知道了书的结局，数学没有那么难，但是过程中一些式子还是不太会推，再看一遍，自己再发明一遍，谢谢作者牵着我的手带我观光了数学迷宫，让我发现自己也可以再次获得挑战迷宫的机会，谢谢，谢谢，谢谢

我想这本书让我彻底明白了e,ln(x)是怎么来的，让我了解了数学中那些陌生的符号背后的含义。所以在数学探索中，性质先于本质，也许很多时候我们无法理解这个数学概念到底是什么，但为了让它有我们想要的性质，我们在万千定义中，选择了一个。 这是一本想了解数学的一本入门书，如果数学也曾让你感到困难和痛苦，不妨从读这本书看起，也许一会开始一段从虚空中创造数学的一段旅程。 对我来讲，这本书是一个起点，我将从这本书出发去创造更多的数学。感谢作者，让我有了一段快乐的数学之旅

如果你足够聪明或者遇到过好的数学老师，这本书可以合上了，因为你是幸运的。 如果你没那么幸运，不妨潜心读一读，一定会有不少收获。虽然有不少地方作者有些无聊和啰嗦。 有人说作者使用了大量的“同义替换”来说明解释问题，这样做简直是“化简为繁”、“多此一举”。 对此作者也表述的很清楚： “如果想锻炼出对数学的深刻理解，能将历史偶然从逻辑必然真理中分离出来是最重要的技能之一。事实上，这本书上的许多非标准做法的目的就是将必然从偶然中分离出来。大部分数学——标记、术语、对其进行探索时的形式化程度，以及课本上讲述其内容的社会传统——这些都可以改变。但就算这些全都改了，还是会有一些基本的真理会留下了来。那些基本真理，无论表述成什么样子，都构成了数学的真正精髓，也只有在将一切偶然剥离开并改头换面之后，我们最终才能看到底下这些不变的真理”

十分赞赏作者要把数学从严谨抽象的形式世界拉回鲜活具象的现实世界的动因和尝试，同时我丧失了读完的迫切性，作者细碎唠叨的叙述风格不适合我。此书的心意，与大数学家柯朗写的《什么是数学》如出一辙，但后者脉络分明，读感流畅舒适，每每捧在手中静思都有新的感悟。 这本《烧掉数学书》标题惊世骇俗，受过互联网常年坑害毒打的朋友们大多会警觉性地标记它是又一本为引流而不择手段的标题党。可万一错过呢，于是我试着读了开头，从作者的自述中，了解到他的经历和动机。作者在回顾的时候也承认当时年少气盛，起名"烧掉数学书"是鲁莽之举。他还是数学专业高材生的时候，也免不了觉得数学实在过于严谨枯燥，处处是形式证明。于是他萌生了让数学回归趣味的想法，带着读者从零开始，一起重走一遍数学之路，什么固有的符号书写全扔掉，什么形式性概念全扔掉。可谓勇气可嘉，就如同大物理学家费曼说的他理解不了现有的量子力学，于是自己重新发明了一遍。偶像图灵也有这样"重新发明"的习惯。我并不质疑“重新发明”学习法的巨大功效，不过你我毕竟不同，我"重新发明"的东西，对你来说可能只是又一个"难以理解"的东西，你只好"重新发明"专属于你的东西。此书叙述的方式，对我来说是"难以理解的"。它的目录就给我一种乱糟糟的感觉，仿佛是小孩子的涂鸦，什么"机器"，"锤子"，"怪兽"，"诱骗数学"，即使书页翻近过半，偶尔从书中惊觉作者的小心思，但回到目录索引上依然茫然不知所措，章与节之间有着怎样的有机联系呢？他在书中刻意回避正规的书写符号和概念，用圆形，三角形和方形等替代变量x，y，z，把"函数"称为"机器"，把一些有用的结论当作基本工具称它们为"锤子"等等，我个人并不觉得更好理解了，反而有阅读障碍。把"函数"当作"机器"是不对的，它们的共同特征是任一个"输入"都有唯一的"输出"，你把2放进平方函数f(x)=x*x里，它就会吐出4，你把苹果放进榨汁机里，它就会吐出苹果汁。但是数学上的函数是一个静态的映射关系，它告诉我们2与4是以平方的方式对应起来的，它就在那，永恒地挂在宇宙的黑板上，不生不灭。2的平方等于4不需要经历任何时间，只有当我们想知道2的平方等于几的时候才需要时间把它算出来，映射是永恒的，运算才需要时间，榨苹果才需要时间。而且我们在做平方运算的时候，并没有把2作为原料，把它榨掉吐出了4，无论运算多少次，2还在那里，4也在那里。而机器运作的方式则是吃掉"输入"，吐出"输出"，你把苹果放进去，苹果就没了，得到一杯苹果汁(可能还混进潮湿的空气异味)。整体上，作者的陈述事无巨细兜着圈子来来回回地磨蹭，好比明明读者的疑问只在A，B两个选项，他搞出A，B，C，D四个选项，然后原地绕圈如果C会怎样呢，D会怎样呢，哦，原来C和D行不通，我们就剩下A和B啦，一番自言自语后得出正确答案B。可C和D过于明显，一开始就不是问题的啦。 《什么是数学》没上架，不要紧，我有实体书哈。引用柯朗的序言”除非学生和教师设法超越数学的形式主义，并努力去把握数学的实质，否则产生受挫和幻灭的危险将会更甚“。斯图尔特的再版序言"它的目标之一是反击这样的思想'数学不是别的东西，而只是从定义和公理推到出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据自己的意志随意创造'，如果这个说法是正确的话，数学将不会吸引任何有理智的人。它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力也没有目标。简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中，所谓的非现实的现实性 "。这正是一度沉迷形式主义而视数学为形式游戏的我的惨痛写照，后知后觉。谨记"所有的数学命题最终应归结为关于自然数的命题，这一点已成为了现代的指导原则"，是所有的数学命题。"幸而数学家不必去讨论从具体对象的集合转化到抽象数的概念的哲学性质。因此，我们把自然数其及两种基本运算-加法和乘法当作已知的概念接受下来"。自然数以及加法和乘法的真实，不是你我桌面的那只杯子，那只苹果的那种真实，它是类似颜色般的真实("颜色"如"杯子"都是名词)，我们直觉上可以感知自然数的存在，它们的存在是客观的，它们不是任人捏造的虚构词语。

花了几天时间时间翻阅完，大受震撼，因此想好好写一篇书评，梳理一些思路，同时也希望有更多人能从本书获益。 学习数学最重要的能力是什么？在我看来，至少有三种: 第一，重复劳动带来的自律，解决难题带来成就感，对于大多数人而言，数学唯有勤做题才能带来成果，这是提高成绩唯一的方法，也符合量变引起质变的规律，而这种自律若养成，会成为以后工作极为重要的能力之一； 第二，数学带来的逻辑思考能力，这一点有助于人在思考问题时，表达演讲时，更有条理性，如从论点，论据，事例证明三段，基本会形成一个金字塔形式的思维结构，因此，数学对于养成一个人的思维方式有较大影响，这也是工作所需能力之一； 第三，对于将来研究数学的人而言，或者有志在空间和时间的哲学范畴有所突破的人而言，数学背后的思想是极为重要的，是连接形而上与形而下之间的桥梁，或许会成就一个基础突破也未可知。 现在返回到本书，先从整体而言，作者的目的是颠覆传统数学的教学模式，思维习惯，破开符号表面的幻像，直击符号背后的数学思想。认识论告知我们，必须经过感性认知到理性认知，而现在的数学课堂，通常都是直接从理性逻辑开始教学，唯有一些应用题可能会返回到感性认识或者叫做直觉认知，所以本书作者，就从最简单的设定，加上一些直觉认知，通过逻辑关系推导出从初中到研究生都能用到的一系列数学知识，实现了他所说的“前数学”想法，即告诉读者当初人类为了解决一个问题，是如何进行思考的，又是如何一步一步得引入不同符号来把这种思考的结果形式化。也实现了一个从简到难的认知过程。 可喜得是作者提到的几个基本思想都非常简单，只要是稍微有点数学基础的人，都可以读懂，比如描述二维空间长度的勾股定理，可以把一系列常数展开成加法和乘法的多项式，解决弯曲问题从而引进的放大思想，放大以后再引入无限小思想，从单元微积分，到多元微积分，再到变分，背后的指导思路全部都是一个简单的思想，即(一个方向的微小变动量)/(另一个方向的微小变动量)，所有复杂的问题都可以化成单元的解决方案，这就是本书最精彩的地方，它去掉了所有的常见符号，只留下一个最本质的东西，比如很多性质上一样的东西，不过是换了一套马甲，从而导致人们从心里上认为它们不同。 另外一个重要的思想是，利用数学的性质去定义数学，或者在数学的定义里已经隐含它的性质，二者不可分割，最不可思议的是，这个性质是人为规定的，是人类为了选取更符合美学性质，如对称、简洁等原因而选择的，尽管在规定以后它可能会衍生出很多规定之外的内涵，但是确实从最开始，人就是为了简化计算量而选择的一种形式，或许这就是数学不可思议的地方。 本书往深里说已经牵扯到空间的本质，因为在把三位的“长度”，即空间距离推广到n维的过程中(比如各个维度的方向都是垂直的，也许想象不来)，虽然只是一种类比，但并没有证明，尽管这种类比看起来是舒服的，符合人类认知的。构建于此的数学究竟会在基础物理里起多大作用，不得而知。或许将来会有所突破。 学校里学得数学，有一大部分就是解题技巧，都是在逻辑的圈子里打转，有时会通过变换不同的符号起到很大的迷惑性，但这并不是最根本的，关键在于，如何真正理解符号背后在说什么。这一点，作者至少尽力在说明了。 本书有的部分似乎有些废话，就当是一种调节，而且这是作者第一次写书，国外人写科普类的书，有时会有这种特色，电子书有些符号印错了，特别是上标，上划线等，读得时候如何有疑虑，不妨看看是不是印刷错误导致的。 综合看来，有微积分基础的看起来会更轻松，学过泛函和变分的，看完也不会再对那些头疼的符号头疼，高中生可以阅读到多元微积分前面，如果可以再深入，可以截止到变分，最后一章牵扯到向量，多维空间还有泛函分析，可能会有些难度。 祝大家读后数学越来越好，学理科的也可从中吸收作者考虑事情的思想，灵活变通。 天佑中华，福满人间。

不知道作者哪来的自信，竟然取名为烧掉数学书？太差了！如果能打负分，我愿意打负分！不是将原来数学书中的定义重新改几个名字，就能使数学本身更容易理解，把函数取名为机器，把求导叫锤子，我觉得本书写得像个锤子！换几个名词，反而使原来简单的公式定理更难理解了。这本书完全是不合格的科普图书，故弄玄虚大而无当。科普书应该化繁为简，而不是化简为繁，本书是反面典型！以下是我在书中的一段点评，几乎反映了我对此书的总体评价。“不太认可作者的观点，这是数学中著名的归纳思维，发明函数表达式是有高度的抽象归纳思维的。作者为了区分不同的函数表达式，每一个都用一个新的字母表示，这样啰嗦无当，就会有无穷无尽的函数字母。相比较而言，发明函数表达式的莱布尼茨比作者高明多了！”

这本书非常好，揭示了数学被创造出来的过程，这种创造的过程远比琐碎的事实陈述要重要，大部分的教科书都是在不断地灌输数学知识，死记硬背，让人感觉数学是复杂，无聊，天才的游戏。他们总是试图让学生感觉自己愚蠢，不聪明，反复强调一种学习的顺序，学习的基础。 但是，抛却那些古怪而无聊的考试题目，数学本身是简单而有趣的，每一个人都能够根据自己的经验去发明数学概念，因为数学就是从生活中来的。 我感觉这本书适合掌握了加法和乘法后的所有阶段的数学学习者阅读，当然，阅读时很重要的一点，不要把他当做教科书，而要视为一本行动指南。 思想是不可能通过别人灌输而获得的，必须通过自己的思考和行动来感受他。

这本书表达的一个中心想法就是“数学背后蕴含的思想非常简单和有趣，而基础教育使用各种繁杂的符号和表述掩盖了这种数学之美”。为了说明这个想法，作者将各种惯用的数学符号使用自己捏造的符号重新表述，从最简单的加法和乘法出发，使用直觉型的推导方式，“发明”出了微积分甚至变分法。这本书最大的优点就是聚焦于数学公式背后的思想而没有囿于细枝末节，作者反复告诉我们的就是，这个公式看起来很复杂，但是背后表达的东西谁都能搞懂，为了强化这一点，作者使用非常诙谐、有趣、吐槽式的写作手法将内容放在类似于童书的对话式结构中。这些给从小就害怕数学的我极大的激励，这让我想起考研时看着张宇老师的考研数学网课重学了一遍高数，他也是尽可能地用有趣的玩笑和形象的比喻让我们克服对数学的恐惧情绪。我认为作者和张宇老师都是真正热爱数学的理想主义的教育者。虽然如此，本书的缺点也很明显，来自作者的无意义碎碎念太多了，而且说实话作者写小说文笔并不好（不知道是不是翻译的问题），除去数学思想的对话部分，给人一种絮絮叨叨的感觉。瑕不掩瑜，总的来说，这本书给我很多的启发，我愿意推荐给所有对数学有兴趣但是敬而远之的读者。

这本书的确不怎么样，但这本书的作者理解数学的方式非常好。 我相信对于刚开始从头学数学的小孩，学这本书的比学课本的能更灵活的看待数学问题，但是对于已经接受了课本体系的小孩或者成人，没有太多实用价值。换句话说，这本书可能是真的数学渣渣的武林秘籍，唯有真渣渣学了可能才能有奇效。由于转换成本过高，不是渣渣或者不打算认真看了教渣渣反而很难看进去。但是这本书的作者的自圆其说，自成体系的理解方式值得借鉴。 不过从另一方面看，虽然我们数学平均水平很高，即使是数学不好的也比一般的外国人好，但是外国人喜欢写这类书，而且我认为能写出这类书的人理解了数学的本质。在相同的高水准的数学知识储备下，谁对这些知识理解得越透彻，越成体系，谁就能更好的运用知识。 不得不说，外国人在“把知识变成自己的”这方面值得学习，想一想，我们对于概念，定义，性质，定理能不能用自己的话而不是课本的话描述呢？能不能形成体系呢？能把数学课本的客观中立体系变成个人化理解体系，自圆其说，这一点能做到的人也不多吧。 这本书应该至少能启发我们关注这些问题：怎样避免成为应试教育下的流水线产品？如何在填鸭教育下保持自己的思考和理解？什么是自己的思考和理解？