数学女孩5：伽罗瓦理论

伽罗瓦15岁时候开始接触数学，17岁开始写论文，20岁的时候因决斗死去。 书里的一段话本身就可以作为推荐语，摘抄如下： . . 两个世界。 从这个世界到那个世界架设桥梁。 在这个世界不容易解决的问题，可能在那个世界很容易解开。 数学真是奇妙。 伽罗瓦理论把数学以最美的形式展现给我们。  . . 我忽然察觉， 外面的天色已暗。 我被米尔嘉动员来参加伽罗瓦节。 这个让我尽情享受伽罗瓦第一论文的活动已经结束。 假期也接近尾声。 为什么我们终将面临“结束”呢？ . .  伽罗瓦。 伽罗瓦面对问题， 在 17 岁时写下论文。 但是我—— 我有正视存在的问题吗？  . . “好痛！” 有人忽然往后拉我的耳朵。 一转头，发现是米尔嘉站在我的身后。 “原来你在这里啊。”她坐在我旁边，身上散发着柑橘的香气。 “嗯。”我搓着耳朵回答，“刚刚在发呆。” “这样啊。”她喝了我剩下的咖啡。  . . 我的身边有米尔嘉。 米尔嘉的身边有我……至少现在是。 但是我——  . . “你的兴趣是哭丧着脸吗？” 米尔嘉凑近脸庞。 “我才没有这种兴趣。” 我不自觉缩回身体。 “你总是用‘但是我’来打击自己。”米尔嘉说。 “我只是觉得自己什么都没做成。” “你不是伽罗瓦。”米尔嘉小声说。 “我又不是天才……好痛！” 我被她的手肘戳了一下。 “你不是其他任何人。”她小声说，“你是你自己。” “即使我什么都不会？”我小声说。 “你不是在这里吗？” “但只是在而已……” 这时我默不作声。  . . “他还不到 21 岁。”  . . 决斗前夕。 伽罗瓦一边大叫着没时间了，一边拼命书写。 写给未来的数学家。  . . 没有时间。但是我—— 没有时间。所以我—— . . 我期待有人能解开我在这里书写的潦草又难以理解的一切， 并让它进一步发展。 ——埃瓦里斯特·伽罗瓦 命运不允许我活到让我的国家记住我的名字， 所以请你们记住我吧。 我会作为你们的朋友死去。 ——埃瓦里斯特·伽罗瓦 认真记笔记： ✎群的定义（公理化定义） 即满足四个群公理的称为群。 G1　运算具有封闭性。 G2　对任意的元素而言，结合律成立。 G3　存在单位元。 G4　对于任意的元素，存在此元素的逆元素。 ✎论群之重要性：群是天才伽罗瓦留给我们的遗产，为了掌握方程的形式，伽罗瓦创造了群的概念。这个遗产由后来的数学家整理归纳成公理。 ✎群的基数也成为群的阶。 ✎S₃是三次对称群。 ✎ S₃：是S₃自身的子群，是三次对称群。（所有对称性的可能，组成的一个新的系统，系统自身仍是对称的？） C₃：三阶循环群。对应于等边三角形的“旋转”，只要旋转 3 次 120°即可恢复原状。（周期对称？）逆元素则是旋转 -120°。（轮换对称？）（周期对称可以表示成一系列轮换对称的乘积） C₂a，C₂b，C₂c：二阶循环群。对应于等边三角形的“翻转”，只要翻转 2 次即可恢复原状。差异在于翻转时使用的对称轴不同。（反射对称？）（轮换对称可以表示成一系列反射对称的乘积） E₃：单位群。只有一个元素。（反身对称？） ✎：S₃的子群共有 6 个，这是S₃的特征之一。 ✎循环群：用一个元素生成的群。 eg:C₃＝｛[231]¹，[231]²，[231]³｝，C₃是由[231]这一个元素生成的群。[231]叫做C₃的生成元。 ✎阿贝尔群：交换律成立的群称为阿贝尔群，也叫交换群。 ✎C₆：6阶循环群。在‘不可以翻转’的规则下旋转的正六边形。这个群的生成元经过 6 次旋转后会恢复原状 ✎S₃是对称群，C₆是循环群，二者基数都是6，但S₃不是循环群，故二者不是同一类型。依据是：S₃无法用一个元素生成整个S₃。即：C₆是循环群当且仅当C₆中所有元素可以用一个元素生成。 ✎不把数只当成数处理，不把形式只当成形式处理，不把功能只当成功能处理，而是在群的名义下将这一切整理在一起处理。 我们不单单要用群来计算数，还要把群当作掌握结构的道具。通过群，我们可以统一表示数、形式与功能。 图形的旋转或对称性可以用算式书写和计算。我们把移动图形视为积；把重复相同的操作视为幂运算；把重复同样的步骤绕一圈恢复原状的集合视为循环群。 ✎与正十二边形共有顶点的正多边形，它们的顶点数是 12 的约数。 思考共有顶点的正多边形就等于思考结构 ✎1 的n次方根：n次方等于 1 的数 1 的原始次方根根：n次方后第一次等于 1 的数 ✎复数域内因式分解与分圆多项式 ✎共轭的解共同拥有方程这个轭 ✎用代数方式解方程，关键在于因式分解。做因式分解，必须厘清用哪个域来思考。如果是包含方程的全部解的扩域，方程可以因式分解成一次式的积。方程论就是域的理论。 ✎线性空间——方程与域 费马大定理——代数与几何 （代数与分析） 哥德尔不完备定理——形式与意义 在三等分角问题——作图与数 ✎域是可以进行四则运算的集合，在里面添加元素，会形成扩域，这是域扩张的方法之一。 ✎线性空间是满足“向量与标量的乘法”与“向量之间的加法”的集合。用线性独立的向量组成线性组合，可以表示线性空间的任意元素，并且为唯一的表示方法。此线性独立的向量集合称为基，基集合中的元素数称为维度。 ✎扩域可以视为线性空间，此时的维度称为扩张次数。 ✎ [Q（√3）:Q]＝2（有理数域的二次扩张） [Q（√5）：Q（√5）]＝1 [Q（√2，√3）：Q]＝4（有理数域的四次扩张） ✎ ●不会不懂装懂 ● 找出不懂之处 ● 保持不懂的感觉 ● 找出不懂的理由 ● 竖立不懂的旗子 ✎扩张次数的积的定理。也叫链式法则。 通过添加几个数所形成的扩域的扩张次数’等于‘一个数一个数添加的各扩域的扩张次数的积。 ✎x⁴-10x²+1是√2+√3在域Q上的最小多项式 ✎共轭的数总会在一起。但共轭的数不一定属于相同的扩域。因为都不一定在域扩域内。 eg：x³-2＝0的三个根³√2，³√2ω，³√2ω²，后二者不属于Q（³√2），因为此内为实，而二者为复 ✎关于三等分角问题π/3是反例 ✎Q（cos20°）/Q是三次扩张（没看懂） ✎用线性空间的维度定义的扩张次数等于最小多项式的次数。作图是个几何问题，它涉及方程、三角函数与代数，又与整数论密切相关。数学渗透在各个领域。在“用直尺与圆规无法三等分 60°”的证明中，竟然会出现“因为 3 不是偶数”这个事实。 ✎正规扩张是域扩张的一种，当扩域L恰好是K[X]中某个多项式的分裂域时，称L/K为正规扩张。有限扩张B/F是正规的，当且仅当B的F-自同构个数等于[B:F]，此时伽罗瓦群的子群与中间域一一对应。 （等价表述：假设最小多项式有一个根属于扩域，其他根也一定属于此扩域。 这样的域扩张称为正规扩张。） ✎在思考方程的可解性时，我们建造了两座塔。 它们分别是“域塔”与“群塔”。 ✎五次及五次以上方程有根式解当且仅当方程的伽罗瓦群是可解群。

我要悄悄学好数学 成为一个酷酷的干倒数学的女孩 (题记) 作者写得这系列《数学女孩》真的很诙谐易懂！不过易懂非易懂也。 很新颖的主题，如果你也被标题和封面深深吸引，不妨大胆翻开，每一个章节前面都有一段美极了的引言。那应该也是我们心心念念寻求的点吧！

2025.02.28 这本书要每个地方都看明白的话不算容易。 即使前面的内容我都试图弄明白了，但是最后关于为什么五次及以上方程不能以代数通式解方程的结论，我看完后也还是不太明白，可解群、正规子群等这些内容的深入理解看来还是得以后深入了解下群论才行。 整本书最让我印象深刻的是找x¹²=1的解的内容。一开始跟着作者一起去不停地做因式分解，费很大劲找到了12个根，但是后来发现，居然x¹²=1的12个根，就是内接于单位圆的正12边形12个顶点的坐标！而根据欧拉公式，更是可以直接写出这12个根分别是1,cos30º+isin30º,...,cos330º+isin330º！这个结论实在优雅。 总之看的过程中有很多惊喜，我会陆续看下作者其他书的。

“伽罗瓦理论”对于我目前掌握的数学知识来说是超纲的，最后一章的证明我更是硬着头皮才坚持看完，并且跳过了关键证明部分。本来我计划通过进一步学习寻找突破点，在查阅资料的过程中，有位外国博主却说“要完全理解伽罗瓦理论，至少需要深入学习‘群’和‘域’两门课程”，另有网友说“需要对‘群’相关知识熟练掌握”，于是我意识到这并非是我短期内所能够理解的，只能寄希望于往后的学习生涯。 然而，虽然不能把握理论本身，我在本书前半部分的阅读中也再次体会到了数学之美，对于群、环、域也有了进一步的认识。鬼脚图、集合、群、代数式、方程等不同的数学概念之间有着深层的联系和隐秘的规律，这些人为定义的概念通过复杂的变化，仿佛拥有灵魂，在不断的纠缠、碰撞中向着神奇的方向生长，最终演化为一副完整的逻辑图腾。 最后我不禁思考，究竟是人们发明了数学，还是数学本就在那里，我们只是发现了它？

在数学旅程中随处可见的两个世界。 在费马大定理中，这两个世界是“代数”与“几何”。 它们还可以是“代数”与“分析”。 在哥德尔不完备定理中，这两个世界是“形式”与“意义”。 在三等分角问题中，这两个世界是“作图”与“数”。 而这次，这两个世界是“方程”与“域”。 数学家喜欢为两个世界架起桥梁。 ——这也是我总是为数学之美和数学家们的智慧深深折服无限倾慕之时。当两个看似不同的领域被意想不到的方式连接起来，这种震撼与感动我永远记得。

画图和计数是数学爱好者的基本功，示例是理解的试金石。 读完此书，最大的收获，莫过于此。所有学过近世代数的人，无不对其抽象难以理解，印象深刻。更令人难以接受的是，学完了群环域，却一头雾水，不知所云。 物理学家、诺贝尔奖得主理查德/费曼名言：我想知道这是为什么，我想知道为什么/我想知道这是为什么，我想知道究竟为什么我非要知道/我想知道为什么/我想知道这是为什么。 其实，所有学习伽罗瓦理论的人都想知道，这个理论到底是做什么的，又是怎么做的，做这个事情有什么用，等等。 只要思考上述问题，就必然涉及古老的方程及其解法，人类对未知数的不舍追踪，正是前进的动力。随着一二三四次方程的根式解的发现，五次及以上方程是否有一般根式解成了挑战人类智慧的难题。单纯考虑有没有根式解其实似乎意义不大，难能可贵的是，人们从中得到意想不到的收获，不仅顺便解决千年尺规作图难题，还为其它学科提供了方法和工具。它再次告诉我们：提出问题真的比解决问题更重要。 本书自始至终告诉读者，要理解抽象的数学概念，请画图。鬼脚图，真的把置换用形象的图表示出来了，特别是三条竖线的鬼脚图把S3的六种置换一一表示出来，比起抽象的符号表示来，有豁然开朗之感觉。 计数真的很重要！伽罗瓦正是从群、子群、商群的阶中发现了方程有一般公式解的奥秘。 示例，更是理解的不二法门。我常常在想，能不能举个最熟悉的二次或三次方程，说说它为什么有根式解。从简单、特殊的例子中发现一般的结论和规律，是数学大家最拿手的本事。 伽罗瓦正如牛顿所说，之所以创立群论，其实是站在巨人的肩膀上。 ①欧拉充分发挥其计算优势，将一般五次方程变化为x↑5+px+ q=0，离公式解仅一步之遥，但无功而反。 ②高斯分圆方程可解及代数基本定理，既解决了n次方程必有n个根的根的存在性问题，又指出了可解的充分条件。 ③韦达的根与系数的关系，揭示了根的某种对称性，告诉我们，一切关于根的对称多项式均可用系数表示。 ④拉格朗日预解式以及根的某种对称性的思考，似乎离问题解决已近在咫尺，但却失之交臂。 ⑤阿贝尔的域论，真的难人可贵。域，只是现在的说法，阿贝尔其实是对有理数集换了个说法，注意到至少含有0和1这两个数的集合，关于加减乘除四则运算封闭而已！并不是象现在抽象代数课本中搞的那么玄乎：可交换的除环，环是含加乘两种运算，且关于加法成群，关于乘法成半群。阿贝尔的域，域的扩张，正规扩域，m型扩域，根域，分裂域等，硬是整出了五次及以上方程无一般公式解的结论，令人叹为观止。不能不指出，在不知方程根的情况下，扩域并不是一个简单的事儿。 我猜想，如果没有阿贝尔的域，一定不会出现伽罗瓦的群！现在来看，群并不难理解，如整数关于加法成群，还是交换群，但这有用么？即便产生，也会很快消亡，因为它真没什么用。 伽罗瓦的群，就是方程的伽罗瓦群，它是阿贝尔域上的群，是一个置换群，它的运算是合成。这个群里的每一个置换，都是一个自同构映射，什么不变则已知，已知则不变，说的就是对域上的所有数施加作用，都不变，但对扩域中新增的数，则不尽然，将所有仍不变的置换留下来，构成子群，即不变子群，也叫正规子群，对应的扩域，必为正规扩域。天才的伽罗瓦正是看到了这个神奇的对应，将域的世界与群的世界勾连起来，找到了方程根式解的秘密：方程可根式解的充要条件是方程的伽罗瓦群是可解群。只要商群的指数为质数，则必可通过添加方根，让域扩大，此乃正规扩域，让群缩小，此为正规子群，直至能缩小为单位群，则为可解群，否则为不可解群。 群论不仅完满解决五次及以上方程不可根式解问题，还顺便解决了困扰人类二千年之久的三等分任意角、立方倍积尺规作图不能问题。怀尔斯的费马猜想证明也应用了群论。另外在物理化学等领域也得到应用，难怪近世代数课本搞的专讲抽象的群环域，让学的人不知所以。 伽罗瓦真的改变了数学研究的方向，从以计算为主转变为以结构为主，正如他所说：Jump calculations，Group  the  operations.This，l belive，is the mission of future mathematicians.

離重溫《數學女孩4》並整理筆記有段時間了，但連續數月高溫&工作繁忙沒有馬上繼續，近日終於重溫完《數學女孩5》並開始整理筆記。手邊有英文紙本書對照著看，紙本書的公式排版比電子書好太多，依然覺得英文版讀起來比較沒有語言障礙，整理筆記我也主要參照英文版。 與前四本的筆記整理不同，這次我選擇不按照章節順序，而是我覺得合理的邏輯順序，之後《數學女孩6》也會採取一樣的做法。雖然故事內容的章節順序有它的合理性，但難免出現「開始一個數學新領域的基礎」之後過了好幾章「解決另一個看似無關的問題」再重新回來的現象，這一系列5和6給我的感覺尤甚，所以整理筆記我會用自己的邏輯重排章節順序。我梳理的新順序如下：先從第2章和第7章開始，這兩章圍繞二次方程和三次方程求根公式，內容相對簡單；接下來是第5章和第6章，這兩章內容相對獨立，分別討論三等分角的尺規作圖和引入緯度與線型空間的概念；餘下的章節再依序串聯「鬼腳圖」與「多項式方程係數解」的相關內容，即伽羅瓦理論的核心。與同系列其他書一樣，第10章的內容比較深奧，待整理筆記時再深入研究。

伽罗瓦定理对于非数学专业的人来说，太难理解了。我也是出于好奇，想了解为啥五次方程无根式解，这一好奇就花了几个月的时间。。。看书，查资料，问AI，看bilibili视频，东拼西凑的了解了下来，伽罗瓦真是天才，不过应该也结合了很多前人的思考。这些资料看下来，觉得这个讲的还是比较好的，相比其它资料，这本书更加平易近人。但老实说，我估计光看这本书是不够的，这本书虽然简单易懂，但忽略了一些重要的证明步骤，还是要结合一些视频和其它书籍看，才能彻底弄明白伽罗瓦在讲什么。非常感谢这本书给我的帮助

非常浅显易懂的文章，没有复杂的故事也不是枯燥的说教深入浅出，对于业余和兴趣爱好者来说是个不错的入门读物。

虽然在最难最有分量的第十章，作者只是介绍伽罗瓦论文里的引理和定理而未给出证明，但作者把伽罗瓦理论的思路框架还是梳理得比较清楚的。