爱与数学

第一本阅读完的数学书《爱与数学》，作者富有激情讲述了自己一路研究数学的美和坚持，一开始我很疑惑，数学和爱，怎么会联系起来呢。但确实是数学是大爱，它包含了宇宙的客观规律，那些看不到的背后规律。 这本书专业性很强，我读不懂，但是没有关系，我跳过去读不懂的东西继续阅读。数学的知识很广阔，慢慢来～ 因为这本书，我去看了费马大定理的证明着怀尔斯的记录片，着实被他努力的坚持而又朴实的语言震撼到了，最后证明了他几乎快要哭了，那是一件多么不容易的孤独之旅！

Je pense，donc je suis人类大脑的构造决定了我们无法想象维数大于二的弯曲空间，我们只能借助数学才能理解复杂的空间。逻辑严谨的数学语言所表达的意思不存在多种理解的问题，其真实性也是客观的。我们对物理世界的认知很容易失真，但对数学真理的认知却一成不变。数学真理是经久不变、客观且必然的存在。原来，费金也一直在思考这些公式，而且思路跟我差不多。因此，从一开始的时候，我们一个人说完上句，另一个人立刻就能接出下句。这是一种非常特殊的感觉：他清楚我的每一个想法，我也能听懂他的每一句话。世界上存在这种客观真实、持久不变的知识（而且为我们全人类所掌握）也的确是个奇迹。世界奇观就在我们身边，与现实交织在一起，从某种意义上讲，它就埋藏在我们内心深处。数学指引着宇宙的运行，隐藏在各种形状与曲线背后，掌控着小到原子、大到一颗颗恒星的世间万物。数学就等于严谨加上学术诚信再乘以事实准绳。我们必须通过数学来不断推动社会进步，促使更多的人掌握数学知识与数学工具，以保护自身的权益免受少数当权者的肆意践踏。没有数学，就没有自由。如果某个群的各个元素都可以通过某种一致的方式表现为某个n维空间的一种对称操作，我们就说该群有一种“n维表示”。突然之间，我有了灵感。那种豁然开朗的感觉太棒了，就像在拼图游戏完成之后，一幅精美绝伦的图画呈现在我面前，那种摄人心魄的美让我兴奋不已。那些无法入睡的不眠之夜，也一下子变得无比值得了。没有人指导，任何学生都无法独立完成研究工作，导师绝对不可或缺。在学会一两个和弦之后，我们就可以用吉他弹奏好几首歌了。你不会因此成为世界上最优秀的吉他手，但你的生活却变得更加丰富多彩了。当年的我有强烈的明星情结，我发誓我当时看到盖尔范德头上有一圈光环。只要有爱，还有什么可以阻止你呢？数学的一个主要作用是对信息进行排序，信息的排序分类是梵高的画作区别于随意涂鸦的根本原因。伽利略（Galileo Galilei）说得非常好：“自然界的法则是用数学语言写就的。”数学是一种描述现实、揭示世界运行规律的语言，这种普适性语言已经成为检验真理的黄金标准。我这才知道，数学不仅典雅美好，而且它还像诗歌、艺术和音乐一样，充满了无限可能。于是，我深深地迷上了数学。

《爱与数学》的作者是爱德华.弗伦克尔，博士毕业于哈佛，目前是加州伯克利大学的数学教授，目前的主要研究领域是"朗兰兹纲领研究"，同时他也是一位电影工作者，制片并执导了电影《爱与数学的仪式》，为观众提供了一个看待数学家的非一般浪漫视角。 他写本书的主要目的旨在让人们更好的认识数学，行文中将自己的艰难求学经历和数学理论的通俗讲解交叉呈现，作者因有犹太血统而在前苏联求学困难重重，也因此不得不放弃其兴趣所在的理论数学，转而研究应用数学，辗转冒险之后，终于来到哈佛求学。他讲述自己经历的同时，用大家易于理解的语言解释数学这门学科，一边梳理经典的、令人惊叹的数学原理；一边陈述学习数学和研究数学并成为21世纪最著名数学家之一的个人经历。他鼓励读者探索内涵丰富、五彩斑斓的数学世界，让大家领略到数学的美感，比如“对称中令人震撼的美”、比如如何利用数学知识对信息进行整理、排序，也能将信息转变成物理现实等等。还有作者认为“所有公式都是爱的公式”，无论是对世界的爱，还是人与人之间的爱，越了解数学，越能使爱更加丰富和深刻。 数学是一门比其他学科更抽象并令人难以理解的学科研究，研究对象是抽象对象与概念，能给外行和内行都带来无数的挫败感，其结果的不确定性更让人望而生畏。在数学领域，关于成功有明确的界限，没有部分的成功可言，失败或成功两者泾渭分明。但在内行人眼中，数学也是迷人的，不仅因其能给人以美的享受（我本人特别遗憾于无法体验这种享受，每次想起来都自惭形秽），更多的，数学是一种描述现实、揭示世界运行规律的语言，这种普适性语言已经成为检验真理的黄金标准。数学是科技的基础，已经成为人类力量、财富与进步的源泉，并且在不断巩固地位。也因为如此，就我所知，数学家高高站在学术鄙视链（如果有的话）的顶峰。基本上科学上重大的突破中，都有数学的身影，比如狭义相对论要用方程式来表示。数学让我们了解如何搭配传统的壁垒，如何在追求真理的过程中充分发挥想象力，从教条和偏见中解放出来。数学等于严谨加上学术诚信再乘以事实准绳。此外，数学真理一成不变，客观且必然，经历上千年也不会发生变化，那些公式和定理都归人类所共有，小到原子，大到恒星，经由了解各种形状与曲线，数学引领我们探索宇宙和宇宙的运行。但任何人都无法申请专利，它如此深奥和精致，却无法被任何人垄断。这样的知识宝库，价值非凡并使人难以置信。 作者希望通俗的展现数学的力量和美，并关注广阔的图景和不同概念及不同数学分支之间的逻辑关系。从对称群开始讲起，研究对称性的破坏机制，可以帮助人们深入了解自然界基本构成单位的作用机制，它有这些特点：普适性、客观性、持久性、相关性，这些基本上也是数学理论应当具备的特征。然后是辫群，有很多实际应用，比如构建高效安全的公共密钥和研究DNA与酶结合而成的链环，从而更好地掌握DNA的重组机制，他解释“层”、“斐波那契数列”、“罗塞塔石碑”、“黎曼曲面”、“李代数”等等术语，对我这个完全的门外汉来讲，大多数都是看不懂的。还有非欧几里得几何学对杜尚、毕加索等人的启发，在那个时代，数学帮助艺术找到了创新的突破口，艺术家借助数学知识，看到了隐蔽性极高的新维度，他们深受启发，以新的美学形式表现出现实世界中蕴含的深邃真理，并影响我们的集体意识，又反过来对数学界产生了推动。数学可以帮助我们理解几何学中的所有变化、图形和表现形式，是一门通用语言，适用所有维度的空间。 之后，他主要介绍他的研究课题——数学界近50年来的重要思想“朗兰兹纲领”，朗兰兹纲领是数学家罗伯特.朗兰兹在20世纪60年代后期提出的一个数学理论，本质上是一个关于对称的开创性数学理论。朗兰兹纲领研究似乎属于抽象的纯理论研究，不会产生任何形式的直接应用价值，但基础性学科研究是所有进步的基础。作者认为朗兰兹纲领是数学中的大一统理论，它揭示了数学不同领域的共同规律，把世人的目光聚焦于此，进而深入探索各领域之间不为人知的联系。朗兰兹的理念之所以意义非凡，还因为它可以对数论中看似杂乱无章的数据加以整理，使之形成规律，表现出对称性与统一性。朗兰兹纲领能将数字、对称操作与方程式编织在一起，涉猎的内容广博，一大批人都在为之努力。今天，朗兰兹纲领已经被看做现代数学的一个基石，是众多学科中人们耳熟能详的一个概念，是现代社会的炼金术。它可以贯穿数论、有限域平面上的曲线及黎曼曲面，使数学中多个分支领域发生关联，连卡茨—— 穆迪代数甚至也被融入其中。这些不同数学领域中存在着相同的模式和现象，虽然表现形式不一，但总能被找到相同特征，这些共同特征有指向所有数学分支中的底层结构（源代码）。并且越来越多的数学家和物理学家认识到，也许朗兰兹理论与量子物理对偶性之间存在难以分割的联系：有可能存在某种对称性，使波色子和费米子可以互换，这种对称性被称为“超对称性”，因此朗兰兹纲领与电磁对偶性的联系迅速成为一个研究热点，并发展成为一个朝气蓬勃的研究领域。还有关于统一理论，书写终极统一理论核心内容所使用的必定是数学语言。数学概念似乎是一种客观存在，无须借助物理学，也超越了人脑的限制。 值得一提的是他用应用数学的统计学帮助医生进行建模并分析病情。医生们因为针对性的医疗诊断而难以发现一般性规律和原则，而数学家可以在这方面为他们提供帮助，因为数学家思维方式与医生完全不同，可以寻找并分析一般性规律。医生们需要数学家的帮助，因为数学家们能解构自己本身的思维方式，设计出正确的问题，然后通过不带有任何偏见的冷静分析得出结论。这就是数学思维的力量。 在哈佛不息探索的精神和浓厚的求知氛围下，他如饥似渴的研究数学，同各类数学家一起探索数学的奥秘并在科研活动中顺便做环球旅行。每一次取得的研究成果都会把未知领域的面纱撩起一角，但我们看到的却并非最终答案，而是新的问题或方向。无论基础物理和数学，都是如此，都需要花费大量的人力物力，给学者们足够的自由与优渥的生活，让他们可以尽情探索思考，等待那灵光一闪的瞬间。 也许有人会问，为什么要把那么多钱投入到这种基础研究，而非民生、国防等可以立竿见影的项目上？回答是：我们必须从长远的角度和技术发展的角度看待这个问题……基础研究虽然不会起到什么直接作用，但会推动科技的进展，使人民过得更好，国家更富强，让我们在国防和民生上的投入更有意义。 最后，是他导演的关于数学的电影《爱与数学之祭》，剧本讨论的是现实世界与抽象世界之间的碰撞。他希望这部电影是一个寓言，告诉人们数学公式与诗歌、绘画和音乐一样，也富有美感。强调数学中人文与精神层面的内容，有助于激发观众的好奇心。 作者尽力通俗解释数学原理，其中不乏用“醉汉三人份两瓶伏特加还是五人分三瓶哪个更多？”这种通俗比喻用以趣味比较2/3和3/5哪一个数更大，有很多想明白公式或有新发现之后的豁然开朗和顿悟的快感，有很多数学家的贡献与轶事（比如伽罗瓦这种不正经的）和他在数学领域的良师益友的科研经历、观点和性格等，读起来比较有趣，除了讲解数学公式的部分，都很流畅好读。而关于书的名字，“我们无法通过公式来描述或解释爱。我讨论爱与数学的联系，并不表示爱可以与数学相提并论，而是要告诉大家数学的内涵远比我们想象的要丰富。” 而我最喜欢的一段话是：“即使数学公式并不足以表现世间万物，但总的来说，数学公式仍然是表现人类已知真理的最纯粹、适用面最广也是最经济的表达方式。它们不会人云亦云，而是忠实地向所有人传递永恒、珍贵的知识，而且，它们是一座座巍峨挺拔的现实之塔，所表达的都是人类必需的真理，引导着人类走过时空的征程。”

作者是俄国犹太人数学家。他这本书像是一本个人自传，同时介绍他自己在当时俄国反犹太人的生长环境下如何成为数学家的心路历程。他后来本科毕业就在哈费被聘为教授，后移居美国。就像学习数学分析的人曾经都受益于吉米多维奇的数学分析习题集，今天世界各国对于俄国数学家的杰出贡献都不敢轻视。他是当今是数学/量子物理学领域一位非常了不起人物。他在哈佛大学用一年时间获得数学博士学位。作者发现了一个惊天秘密：“朗兰兹纲领竟然与量子物理学之间存在难以分割的联系，而且，连接它们的纽带是对偶性，这是物理学与数学中都存在的一个属性”。 看本书作者介绍他们高中时代数学补习或者学习考虑的数学问题，就会发现与中国与俄国在数学教学之间的极大距离。豪不奇怪，他们在高中就有群理论及现代几何学方面的投入，就不能不感叹。所以，俄国如果将来在量子物理基础研究可能会有什么最大突破，也不应该会有什么稀奇。特别世界各国，今天在数学基础理论上的投入比例，必然将来成为在AI与量子力学等科学领域创造力上的本钱。 读本书目录部分就可以得一个大画面。本书也再次提到人生中导师的重要性，有名人指路，一生受益。他分享了何为数学家的特殊灵感及俄国数学大师们在莫斯科大学数学学术讨论会的语境，及他个人数学研究课题经历与故事等令人耳目一新内容。他通过讲故事同时也介绍数学相关领域的发展。本书也再次证实一个说法，第一流导师指方向，第二流，指……。读本书作者的故事经历，任何人都可以品出，数学在日常生活中的重大意义。 一般来说，数学家与哲学家写作重要区别在于，前者逻辑思维条理清晰，后者有些除了自己像疯一样，读其书者不小心也有可能会疯。尽管本书中及其它一些数学普及书内容中，都有可能会有一些数学细节，普通读者可以跳过，但是都可以不影响识大局。这就是读数学作者书的好处，本书也没有另外。

一部融合了个人故事、哲学思考和社会评论的作品。 一. 数学的普遍性与美 作者强调数学的普遍性，认为它超越文化、语言和国界。 他认为，数学不是精英的玩具，而是可以像爱一样超越文化、地域和时空，将世间万物联系在一起的普遍语言。 二. 朗兰兹纲领 这是现代数学中的一个重要理论框架，旨在统一数论和几何等领域。 可以证明像费马大定理之类的难题，也是把数学和量子物理学等其他自然科学连接起来的桥梁。 1.提出背景与历程  ①提出者：加拿大数学家罗伯特·朗兰兹  ②提出时间：1967年，在一封给美国数学家安德烈·韦伊的信中首次提出。  ③发展历程：朗兰兹纲领最初以猜想的形式出现，随着时间的推移，这些猜想逐渐演变成了一套完整的理论体系，并对数学界产生了深远的影响。  2.核心思想 朗兰兹纲领的核心思想是建立不同数学领域之间的“桥梁”，特别是数论和调和分析之间的联系。它提出一系列猜想（称为“朗兰兹猜想”），认为某些数论对象（如伽罗瓦表示）可以与调和分析中的对象（如自守形式）对应起来。这种对应关系被称为朗兰兹对应或朗兰兹互反性。  3.主要组成部分 ①伽罗瓦表示：数论中研究代数方程的解的对称性（通过伽罗瓦群描述）。 ②自守形式：调和分析中研究的具有特定对称性的函数。 ③ L-函数：一种将数论和几何信息编码为复函数的工具，朗兰兹纲领试图揭示不同L-函数之间的联系。 ④对偶性：朗兰兹纲领提出了一种对偶性，将数论中的伽罗瓦表示与自守形式联系起来。 4.重要意义 朗兰兹纲领的意义在于它试图统一数学中看似不相关的领域。如果这些猜想被完全证明，将改变我们对数学的理解。 ①数论与几何的联系：朗兰兹纲领揭示数论和几何之间的深层关系，例如通过“几何朗兰兹纲领”研究曲线和曲面的性质。 ②数学的统一性：它展示数学的内在一致性，表明不同领域之间可能存在隐藏的联系。 ③应用潜力：虽然朗兰兹纲领主要是纯数学研究，但它的一些成果已经在物理学（如弦理论）和密码学中找到了应用。 5. 研究进展 ①类域论：朗兰兹纲领在特殊情况下（如阿贝尔扩张）已经被证明，这是类域论的核心内容。 ②费马大定理的证明：安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在证明费马大定理时，使用了朗兰兹纲领中的思想。 ③几何朗兰兹纲领：近年来，几何朗兰兹纲领是代数几何中一个深刻而活跃的研究领域，它将经典的朗兰兹纲领推广到几何背景中，并揭示代数曲线、D-模和局部系统之间的深刻联系。通过与数学物理的结合和新工具的发展，几何朗兰兹纲领在近年来取得许多进展，同时也提出了许多新的挑战和问题。它不仅是纯数学的前沿领域，也为物理学提供了新的视角和工具。 三. 个人经历 有两个主轴： 一是梳理经典的、令人惊叹的数学原理； 二是作者学习数学、研究数学，并成为21世纪著名的数学家之一的个人经历。  四. 数学与艺术 作者认为数学不仅是逻辑工具，也是一种创造性艺术形式。 他通过实例展示数学如何激发艺术灵感，通过生活中的实例，如比较分数大小、制作罗宋汤时的食材配比等，展示数学在现实生活中的应用。 五. 数学的社会意义 作者还讨论数学在现代社会中的重要性，特别是在科技和加密领域的应用。 所以他呼吁更多人理解数学，认为它是推动社会进步的关键力量。 六. 数学教育 书中批评当前数学教育的不足，认为它过于机械，忽视了数学的创造性和美感。 作者主张改革教育方式，以激发学生对数学的兴趣。 七. 数学思维的力量 作者强调数学思维的重要性，认为它可以丰富我们的生活，帮助我们更好地了解这个世界以及自己在世界中的位置。 通过习得数学思维方式，我们可以更加理性地看待问题，找到解决问题的有效方法。

很喜欢这本书，作者从自身的经历写起，因为父母和自身犹太血统的原因对数学产生浓厚的兴趣，后来在叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇·彼得罗夫教授的影响下坚持研究数学，也表现出了在数学上的非凡才能。然而在考大学的时候，却遭遇了莫斯科大学数学系反犹太主义的一系列阻拦，以诬陷和莫须有的结论被拒之门外，而后在父亲辗转各处的努力下最终进入政策相对宽松的石油研究学院，因为个人的非凡才能而终于引起了莫斯科大学著名教授的关注和指导，然后开始了个人的数学研究生涯，在本科阶段就取得了多项闻名于国际数学界的成果。然而在苏联当时的政治背景下，一个有犹太血统的人无论多么努力，都不会有很好的前景，正在这时哈佛大学向全球招募4名数学系客座教授，作者便收到了其中一张邀请函，在权衡一切后作者选择并最终留在了美国，在这一更具有学术氛围的环境中进行数学研究，并取得了很多举世瞩目的成绩，为基础数学做出卓越的贡献。最后作者在巴黎参加研讨会时，偶尔结识了电影文化，于是将本身对数学的想法拍成了一部电影《爱与数学之祭》，想要摆脱“通俗电影往往会把数学家塑造成几近精神错乱、与社会格格不入的怪人，让观众觉得数学是一门与现实毫不相干、枯燥无味的学科”之印象，以男主人公将数学公式以纹身的形式存在于女主人公身上的方式，来回应女主人写给他的情书，“在电影的结尾，这位数学家在真理子的身上文了一个数学公式，这是他对那首情诗的回馈。因为在这位数学家的心中，这个公式表现的就是爱。公式可以承载情诗所表达的那种激情与感性，我们正是利用这一点来表现数学与诗歌之间的相似性。对于这位数学家而言，这个公式是他的创造性成果，是激情与想象力的产物，是一份爱的礼物，是他写给她的一封情书”。 在阅读的过程中，作者所提到的很多数学概念:群，数论，李代数，黎曼曲面，罗塞塔石碑，朗兰兹纲领，伽罗瓦群，模的运算，费马大定理，谷山-志村-韦伊猜想等等，听过的那些很容易让我想起高中和大学学数学的日子，而没听过的概念也会让我有种想要去了解的冲动，更想去了解我们的数学系学生都学些什么。 而文中所讲到的数学运用的领悟，比如量子物理，计算机编程，医学中对病例分析形成医生判断方案的直观树状图，现代网络密码钥匙等等，让我不禁感叹数学的美妙与伟大，尤其是运用客观数据总结医生诊断的方法与过程，感受到了数学与生命的结合。 而作者也会经常提到的猜想-论证法，赋值法等数学家研究的方法，也是我在教学中经常跟学生讲解的方法，让我感到其实我们离数学家也没有那么遥远，这不，我们也运用同样的方法嘛。数学是一个无法申请专利的研究领悟，它的成果是人类共同的财富，“比如，爱因斯坦不能为自己提出的公式E=mc2注册专利。原因在于，如果这个公式是正确的，那么它所表示的是宇宙的某个永恒真理，因此不可能私有化，只能由大家共享。无论贫富、肤色与年龄，谁也不能把它从我们手中夺走。在这个世界上，再也没有其他任何事物能像数学那样深奥、典雅而又不属于某个人的了。” 读的过程中也时常会思考，作者在考大学时遭遇的经历，以及到美国后遇到越来越多的来自苏联的犹太血统数学家，想想中国人的智慧其实受到全世界人的认可，然而，我们国家走出的大有成就的科学家，最后几乎也都和本书的作者一样加入了美国国籍，他们是否也有过和作者一样的遭遇，是否也曾迷茫，纠结，彷徨，最终做出了无奈的选择，所以我们的“土壤”是不是也有很多问题？ 最后，个人觉得这本书最适合对数学有一定兴趣的高中毕业生阅读，他可能会坚定你研究数学的方向和决心，也真诚的希望有一天我们的土壤能培育出真正属于我们的科学家，更希望有一天人们谈到数学时会觉得它和诗歌、音乐、舞蹈一样动人，而不是，天啦，学数学的过程简直是折磨人，或者，数学毁了我整个童年。

爱与数学 [Love and Math: The Heart of Hidden Reality]这本书是一个师姐推荐给我的，作为一个文科生，我居然把它读完了。原因有三点：这是师姐的推荐书目，抱着肯定值得一看的心态翻开的第一页；我是个文科生，但其实喜欢理科，高中分科让我痛苦了两年，很遗憾的错过了理科，但是对于自然科学兴趣还在；最后就是这本书本身了，讲的理论简单的有过了解，更多的内容对我来说犹如天书。但是，我还是深为弗伦克尔所倾倒，跟随他的笔记，就像走过一段梦幻的旅程，他把我带去了一个陌生的神秘的数学世界，他让我看到那些最聪明的人是怎样生活的，他们对真理无比执着，热爱无与伦比，他们让我觉得天才之间仍然有一道巨大的鸿沟，数学、物理和精神是相互独立而又相互作用，很多物理的洞见都源于数学真理的发现，我想起了三体里面杨东冬说的物理学已死，基础科学的裹足不前限制了整个人类的文明发展，所以，作者呼吁更多人爱数学，感受数学之美，从而更多的人从事数学研究，一代一代去真理之海拾贝，虽然我们不能像柏拉图、牛顿、爱因斯坦、彭罗斯以及作者这些伟人一样去夺取真理殿堂的王冠，但我们可以永葆一颗探索的心，带着问题去生活，从而真正发现数学之美，生活之美和世界之美。

诚然，书中阐述的知识外 无不体现数学无用而强大魅力，强大是因为它主动选择忽略什么，并为此承担后果。 数学的概括 、精确及显式都是有代价的。因为它触及数学有一些“反身性”层次。 形式化不是消除模糊，而是把模糊显式化，（比如群论，数论 ，几何 各个数学理论的产生） 当然，精确性是有代价的（抽象、假设、适用域）。同时，数学语言本身也会遮蔽现实的某些维度。 同时 数学是可验证的民主，不是意见民主。（当然这也体现了数学明晰性及确定性的魅力） 为什么数学是“民主的”？但真理未必属于多数。 首先，很显然吧！数学的民主性在于任何人可以检查证明，结论不靠投票产生，多数人不能改变一个定理的真假。 但注意这个微妙差别：数学是真理对所有人开放≠真理由多数人决定。 其次，真理未必属于多数。历史上，多数人常常是错的（尤其在早期阶段）。日常很容易发现一些经典模式：新理论刚出现时，只是少数人理解，而多数人怀疑甚至反对，后来才被接受。 所以，多数人的一致性，很多时候是 滞后的共识，不是真理的源头。 最后，当然值得强调的是——数学民主 ≠认知能力完全均等。 当然，“所有人对数学概念都会得出相同结论”。显然是不够严谨的。更严谨的说法是：一旦理解并验证正确，结论一致。 但不难理解的现实是——不是所有人都能立刻理解数学结论。故此，认知门槛是真实存在的 。很显然，数学是开放的，但不是自动可达的。 最后，用我的话来说就是——数学是真理最民主的领域之一，因为它不依赖身份与权威；但真理从不由多数决定，（真理不是多数人的意见），多数人只是迟早会抵达它，最终连多数人也无法否认的结构。 当然，关于数学的概括 、精确 、反身性等。都可以从书中的研究及论证得出 。比如关于群变换到流形维度研究里谈到的维度。 书里阐述 维数是对象的属性，不是环境的属性。若就维度而言，将对象属性定义为“对象自身的维数（intrinsic / manifold dimension）”，而将环境属性定义为“嵌入维数（embedding dimension）”。很显然，通常二者不相等。（我写“通常”，因为比如：人本身就是一个三维区域（3D volume），而不是由更高维空间中的方程切出来的低维对象。）当然，就逻辑学层面而言，这是一个规定定义 。（显然也体现了数学的概括）。 换我的话来说。Embedding dimension（嵌入维数） 说的是——把一个对象“放进”某个欧几里得空间里而不丢失其结构，所需要的最小环境维数。（也就是说至少要多大的空间才能“装下它”且不自交）。 而对象的维数——内在维数（intrinsic / manifold dimension），也就是对象需要多少参数可以完整描述。 当然，通常嵌入维数大于内在维数（这里为了严谨我表达为“通常”），因为至少要给对象足够的“展开方向”。更强的结论来自 Whitney 嵌入定理（光滑流形）： 任意 d 维光滑流形都可以光滑嵌入到 R^2d（甚至很多情形下 R^（2d-1））。 这给了一个上界，但最小嵌入维数往往更小需要具体分析。 可以直观地说，把对象放进n维欧几里得空间(n-dimensional Euclidean space)里，同时保持它的结构（常见有两种语境）： 拓扑嵌入：连续、单射、同胚到其像（不撕裂、不粘连、不自交） 光滑嵌入：在拓扑嵌入基础上还要求可微、导数满秩（也就是Jacobian，Jacobian 描述是当输入发生微小变化时，输出如何变化，一个很直白的理解，它其实就是多变量函数的“导数”而已） 所以“嵌入维数”通常是：min{ n ｜X /Rⁿ｝ 当然， 刚说过，通常嵌入维数大于内在维数（这里为了严谨我表达为“通常”），因为存在一个非常重要的普遍规律： 如果一个对象由n维空间 + k个独立约束 通常：Dim= n - k。 同样，Dim = n-k 只是一个在良好条件下成立的定理推论，而不是普遍真理。它成立需要一整套隐含前提。 可设设对象由：F_1=……=F_k=0；定义在 Rⁿ中。如果满足关键条件： 约束函数光滑（至少 C^1）； 约束条件彼此独立； 在该点处 Jacobian 满秩； 接下来 rankDF=K，那么剧隐函数定理就存在Dim= n - k，这时候的对象就是个Dim= n - k维的流形。比如： x²+y²+c²=R²（球心在三维原点的球面）；n=3 k=1，梯度≠0。 Dim=n-k=2（成立！） 当然，有不成立的。比如约束条件不独立： 像x=0 ，2x=0。 很显然吧 ，实际只有一个约束条件。所以Dim=n-k=2。而不是1。 再比如 一种简单容易验证的情况——出现奇点，也就是Jacobian（雅可比）降轶。 y²=x³。此为在原点 梯度=0，不是流形 所以Dim=n-k 显然失效。很显然出现奇性和尖点。 另外 ，再比如约束条件是并集的 也不成立。比如：xy=0，这显然是x轴并y轴。不能说你=2，k=1，于是Dim=n-k=1。因为它不是单一流形。 当然，一些不规则图形，比如分形就不成立，例如科赫曲线 、康托集均不成立。因为它们没有光滑约束及参数方程 ，公式直接实效。 所以"Dim=n-k"不是定义，也不是普遍定律，而是隐函数定理在正则约束情形下的推论；一旦约束失去独立性或出现奇点，该关系立即失效。 最后 存在真正正确的数学版本(严谨表述) 如果：F: Rⁿ →R^k， 且a是正则值：rank DF=k。 那么：F^（-1）(a)是一个：Dim=n-k维流形。这才是数学上真正可靠的命题。 Jacobian 是一个“局部线性化矩阵”，描述函数在某一点附近如何改变。 如果有一个函数：F: Rⁿ →R^k，也就是：输入 n 个变量，输出 k 个数。那么 Jacobian 是一个：k x n的矩阵。 当然，为什么它决定"约束是否独立"。 设有约束：F_1=0,F_2=0,...,F_k=0。 这些约束的"方向信息"就是：各个梯度向量，也就是Jacobian的行。 如果：rank(J)=k。 说明：没有一个约束是其他约束的线性组合； 每个约束真的减少一个自由度； 于是：Dim=n-k。 当然 在数学里没有“约束数 = 维数减少数”的定论（这显然是非常狭隘的）。真正存在的是rank(Jacobian) = 局部自由度减少数。 也就是说真正的公式是：Dim = n - rank(J)，而不是 n−k。 当然之前说，为什么“人”的内在维数是 3？ 如果把一个人抽象成几何对象。它有长宽高。在身体内部移动，你需要(x,y,z)三个独立参数。 所以人的内在维数 = 3。这和有没有约束没关系。 为什么嵌入维数也是 3？因为我们生活的空间本身就是三维。而“人”只是这个空间中的一个有体积的子集，它们不需要更高维空间才能存在也不是从更高维里“切出来”的表面。所以，最小嵌入维数 =3。 很显然 但这里可以有效的说明：维数相等 ≠ 没有约。有没有约束，是另一个问题。举几个对比就会瞬间清晰。比如 球体（实心）：x²+y²+c² ≤ R²。 内在维数 = 3 嵌入维数 = 3 但它有约束（不等式） 说明：有约束 并不等于是降维了。 球面（只有表皮）：x²+y²+c²=R²。 内在维数 = 2 嵌入维数 = 3 有一个等式约束 这里才出现：降维。 立方体：0 ≤ x,y,z ≤ 1 有6个不等式约束 仍然是3维体 所以，真正决定维数的不是“有没有约束”。 而是约束是否减少自由度。（也就是减少了对象延展或者活动的自由方向）。 当且仅当约束是等式；且局部独立（Jacobian 满秩）。才会减少维数。 如果人类生活在四维空间，那么人仍然可能是三维体，只是嵌入维数变成4。 故此，没有约束不意味这维数高 ，相反有约束不代表着维数低。真正决定维数的是局部可以自由运动的独立方向数。

这本书颠覆了我对数学家的印象，大部分内容看不太懂。 数学之路 爱德华·弗伦克尔出生于1968年，在苏联一个叫科诺姆纳的小镇渡过了童年。 他出身于知识分子家庭，从小就显出了对科学的浓厚兴趣。 童年的爱德华并不喜欢数学，觉得数学枯燥、乏味且缺乏实用性。 他喜欢物理，尤其是关于量子力学的知识，深深让他着迷。 少年总是热爱幻想，若一个概念有些浪漫色彩，自然更容易吸引少年的心。 量子力学吸引爱德华的，是“夸克”（一种比质子、中子更基本的物质构成粒子）。夸克的物理和哲学属性让他着迷，“夸克”这一名称的来源也让他倾心——一部叫《芬尼根的守灵夜》的梦幻小说。 《芬尼根的守灵夜》和其作者詹姆斯·乔伊斯小说中的一首诗第一次以呓语的方式呈现了“夸克”，后来这一名词被物理学家采用： 冲马克先生叫三声夸克！ 他肯定没有从叫喊声中听到什么， 因为他听到的都是毫不相干的内容。 物理学家命名粒子时从文学中找灵感，这让小爱德华惊叹不已，也让他觉得科学不只是冷冰冰的逻辑和事实。 在那之前，他有很多“不务正业”的爱好，比如踢球、绘画等，一度认为自己不是干科学家的料，直到他了解提出夸克理论的诺贝尔物理奖得主盖尔曼也常常“不务正业”——爱好文学、语言学、建筑学，他才打消这种顾虑。 让爱德华喜欢上数学的，是他父亲的一位数学家朋友——叶夫根尼。 叶夫根尼看出了爱德华的聪慧和热情，想将这位充满潜力的年轻人引到数学之路。他向爱德华展示了盖尔曼夸克模型的数学基础，告诉爱德华如果要深入了解“八重道”（暗合佛教的“八正道”）和“夸克模型”（量子力学理论），就必须了解SU（3）群，要了解SU（3）群就必须先了解“对称”的概念，然后叶夫根尼给爱德华看了一些八重态的图和公式。 正是这些图和公式，让爱德华心中产生了一种前所未有的悸动，当时他还看不懂，但求索的愿望已被点燃。 八重态 在这之前，爱德华心目中的数学无非是二次方程、三角函数、微积分之类的知识，再难的问题也跳不出这些框架，通过和叶夫根尼的交流，让他窥探到了一个截然不同的、完全超乎想象的数学世界。 从此，爱德华义无反顾地踏上了数学之路，那一年他才15岁，是一个即将踏入高中的少年。 后来的求学路途并不顺畅。 爱德华的父亲是犹太人，上个世纪八十年代的苏联，对犹太人的歧视非常严重，在升学和工作中，血统是相当敏感的因素。 爱德华的姓——“弗伦克尔”明显地显示着他的犹太血统，这一点，在报考大学时给他带来了莫大的麻烦甚至羞辱。 当时苏联最好的数学专业在莫斯科国立大学，这是爱德华心仪的学校。但是从他提交报考信息后，就受到了连续不断的阻挠。 起初是招生老师暗示他放弃报考，他没有退缩，在考场上，他以优异成绩通过了笔试，而在面试时，他遭遇了明目张胆的歧视：他的数学知识在一同参加面试的学生中矫矫不群，考官每提出一个问题，别的学生还在埋头思索，他已经得出了答案并举手示意，可考官竟视而不见，硬是等其他人举手回答； 在单独面试中，别的学生问答大都简单而顺利，考官唯独对他百般刁难，比如考官问他“圆的定义”，他回答“平面上与已知点距离相等的点的集合”，考官说：“错！应该是平面上与已知点距离相等的 所有 点的集合。” 类似这样鸡蛋里挑骨头的抬杠还有不少，即便爱德华才华横溢，这样的“考试”是无论如何也过不了的。 那时爱德华还是一个十几岁的孩子，这样的经历对他的打击可想而知。他沮丧、失望，但毫无办法，最终，和父母商量后，他决定报考石油天然气学院，那里的数学系不算最好，但也不差，最重要的是，石油天然气学院是苏联为数不多的不歧视犹太学生的学校。 在石油天然气学院，爱德华结识了很多有才华的同学，他们大都是被莫斯科国立大学拒绝的学生，后来成为了世界数学界有建树的翘楚。在那里，爱德华也结识了很多德才兼备的老师，受到了数学家瓦尔琴科和富克斯的指导，旁听了莫斯科国立大学基里洛夫的理论数学课（石油天然气学院只有应用数学课程），参加了著名的盖尔范德研讨会...... 爱德华的人生转折点 有的老师虽然在莫斯科国立大学任教，但他们从不歧视犹太学生，看重的只有热情和才华，所以尽管入学时遭遇了挫折，但几年的大学生活，还是让爱德华充实了不少，不论是学术上还是精神上。 1988年，20岁的爱德华从大学毕业了，充满激情、探索和乐趣的学术生活也将告一段落，虽然大学里取得了一些不菲的成就，他的前途依然黯淡——严酷的政治环境让有犹太血统的他很难在莫斯科学术界有一席之地。 好在第二年，他收到了哈佛大学的橄榄枝——全额奖学金在哈佛的学习和研究。 这是爱德华人生的转折点，在哈佛，他遇到了来自全世界各地的优秀数学家（其中包括华裔数学家丘成桐），和他们一起学习、讨论、研究，极大地丰富了爱德华的视野和知识；在美国，他也如饥似渴地吸收当地的文化，电影、脱口秀、音乐等等，都丰富了爱德华的见闻和精神。 在良好的学术氛围中，爱德华迅速成长为世界一流的数学家，并参与了数学界的“大一统理论”——朗兰兹纲领的研究，目前，这仍然是爱德华的主攻方向，虽然经历过一些坎坷，他依然继续着童年的梦想——对数学与量子物理对称的求索。 爱与数学，爱予数学，我想，除了好奇和理想，爱，也是爱德华在数学大道上一路前行的重要力量。 数学之理 书中，“数学之路”和“数学之理”是穿插并行的，作者将学术道路每个阶段所掌握的数学原理都用尽量通俗有趣的文字介绍给读者，尽管如此，这些深奥的数学知识还是很难理解，所涉及的深度已经是某些领域的核心或前沿，比如关于对称、辫群、李代数、n维空间等等。 不过，这也非常正常，完全不用因看不懂而沮丧，即便是数学从业人员，除了他自己研究的领域，也不可能尽数理解。 爱德华在前言中就说道：某些内容一时看不懂其实无伤大雅，我在从事数学研究时，有90%的时间会有不甚明白的感觉，所以，不必紧张。困惑（有时甚至是挫败感）是数学研究的一个必不可少的组成部分。 不过，我们要看到积极的一面：如果生活中的一切都无须费力便可理解，那样的生活将会多么无聊！ 书中介绍了很多深奥的数学原理，虽然我自己连一知半解也谈不上，但皮毛之解不一定无益，下面就挑朗兰兹纲领做一些简单介绍。 朗兰兹纲领 在美剧《生活大爆炸》中，可爱的谢耳朵最终获得了诺贝尔奖，他的研究对象是弦论。弦论是大统一理论中的一种，大统一理论统一的是什么呢？ 我们都知道相对论和量子力学是二十世纪最伟大的两大理论，可它们之间存在着一些不可调和的矛盾，即四种微观粒子相互作用力——万有引力、电磁力、强相互作用力、弱相互作用力各自为阵，互不融洽，没有遵循统一的规律，如果能找到一种理论能和谐地描述四种作用力，解决量子力学和相对论的冲突，那将多么完美！ 所以从爱因斯坦到当今的理论物理学家，无不有着发现大一统理论的雄心，弦论以及后来超弦论，都是在这一征程中所发现的理论，然而离最终目标还有相当的距离。 言归正传，“朗兰兹纲领”，就是数学界的大一统理论。 数学分支领域众多，有数论、代数几何、约化群等等，它们仿佛一块块彼此隔绝的小岛，数学家们择善而居，埋头从事各自的研究。人们发现不同领域中衍生出来的各种理论其实有着一脉相承的联系，于是把各个领域统一起来的想法也就应运而生。 1967年，在一封加拿大数学家朗兰兹写给法国数学家韦伊的学术交流信件中，首次提出了朗兰兹纲领。 朗兰兹在普林斯顿大学的办公室，这曾是爱因斯坦使用过的办公室 要说明白什么是朗兰兹纲领，需要了解迦罗瓦群、李群、自守层等等的深奥概念，要讲清楚它们远超我的能力学识，普通的读者也无需深入了解，但是我们可以从最粗浅的框架一窥其奥： 我们中学都学习过，用一对数字可以表示平面上的一个点，称为“坐标”，用方程式可以表示平面诸如直线、圆等的图形，由此推广，可知数和平面是对应的，特定的图形可以转化成特定的数组，所表达的内容是一致的。 同理，数学中还有一些概念也具备这样的对应性质，如函数和层，群和范畴，这些概念有些属于数论，有些属于几何学，但是它们之间的联系不像数字和平面那么显而易见，朗兰兹纲领要做的，就是试图在貌似风马牛不相及的内容中捕捉潜在的联系，将它们统一起来。 也许有读者会提出这样的疑问：数学中各样的领域是在发展中自然产生的。 为什么要费力气将它们统一起来呢？ 首先，这是在数学研究中浸淫深入的数学家们本能的追求，支离的数学碎片散发出互相联系的信号时，也激发了只有数学家们才能体验到的神秘和诱惑，和谐统一的美感和魅力，是他们无法抵挡的。古往今来人类的很多努力，都不一定是功利物质的，对神秘的好奇，对美感的追求，一直都是人类活动的重要动力。 其次，朗兰兹纲领与量子力学有难以分割的联系，其纽带是对偶性，物理和数学中都有这一课题，这也是爱德华的研究领域。物理的对偶性典型的就是电磁理论，电磁的相互转化就是对偶性的体现； 数学的对偶性很常见，比如乘法运算的交换律：a×b=b×a。这貌似微弱的相似性，当把它们推广深化到对偶群的概念时，就会出现令数学家激动的强相关。 所以朗兰兹纲领有可能揭示量子对偶性未被发现的秘密。 再次，虽然一些基础理论科学的研究似乎看不出实用价值，但它是技术进步甚至爆发的基础，数学与物理领域中的一些看似抽象、深奥的发现，常常会带来各种创新，并在日常生活中得到应用。 比如数论中的一些成果现在已经广泛应用在网络购物，每一笔交易，都会用到其中的模N算法。此外，基础科学的发展也是一个国家文化和实力的体现，关乎国家荣誉，这与艺术、哲学等是一样的。 在美国，朗兰兹纲领的研究得到了DARPA（美国国防部高级研究计划局，the Defense Advanced Research Projects Agency）的资助，获得了高达数百万美元的资金支持，这是迄今理论数学研究获得的最高支持。 数学之美 爱德华在本书序言中提到一个悖论：一方面，我们的日常生活离不开数学，网购、用GPS导航、上网检索信息，无不需要数学公式和运算法则；另一方面，大多数人却觉得数学是一门让人头疼的学科，唯恐避之不及。 爱德华也给出了对此的解释：首先，数学的确较其他学科更为抽象，难以理解；其次，学校里教的数学是很久以前的“陈芝麻烂谷子”，现代的数学已经有了长足发展，“珍藏着琳琅满目的珍宝”，只是大多数人不得其门而入，这就像美术课只教油漆刷墙，却从不展示达芬奇和毕加索的名作。 我相信，数学造诣如爱德华之深，枯燥已不复存在，费解已化为探索的乐趣，剩下的只是神秘、好奇、攀登和成就感。 可对于初入门径的学子，要体验到这种美感，还是要在枯燥抽象的漩涡中挣扎一番的，能随随便便就获得的，那叫“快感”，不是“美感”。 作为一个非数学专业的普通人，我更是无缘数学之美，但借着作者真诚激情的文字，对数学和数学家有了更美好的印象。 以前，我以为包括数学家在内的科学家，大概是《生活大爆炸》中谢耳朵的形象——聪明却执拗，骄傲而单纯，在自己的领域鲜有匹敌，生活其他方面却显得有些幼稚低能，虽没有如电视表现的那般夸张，但或多或少都会有这些气质。 而爱德华有着完全不同的形象，他热爱艺术，生活丰富，富有激情，爱憎分明，没有一点“呆气”，反而“灵气”满满。 以前，我以为数学研究是这个世界上第二枯燥的工作（第一枯燥是在实验室摇瓶子），每天对着一大堆数字、公式和图表苦思冥想，这得需要多大的毅力才能坚持啊！ 而爱德华在书中却展现出，数学研究如艺术创作一样，是一个激情四射的求索过程，是一种个性十足的体验，需要热情，需要奉献精神，需要全身心投入，从中体验到的是思考的快乐、解决难题的成就感，其中当然有困惑和挫折，但更多的是心流和幸福。 数学之美是独特的，这在于数学规律是客观现实，而不是感官现实，它是一种独立存在，与人类意识无关的东西。 没有乔布斯，也许不会有现在的苹果手机，但没有哪一个数学家敢宣称没有自己，某条原理就不会出现，更没有人去为某个公式申请专利。 因为数学表达的，是宇宙的永恒真理，它对一切众生，不论肤色年龄性别种族，都是平等的，它无法私有，只能共享。 正如爱德华在书中的感叹：在这个世界上，再也没有其他任何事物能像数学那样深奥、典雅而又不属于某个人的了！

弗伦克尔结合自身的数学启蒙经历与研究历程，讲解了现代数学中的对称概念与群论。普通人通常认为数学就是研究数字的学科，但现代数学的核心是对称，核心工具是群论。弗伦克尔早期的核心研究方向是无限维对称。朗兰兹纲领是数学界的大统一蓝图，也是一整套宏大的猜想：原本看似割裂的数论与分析，底层由同一套对称结构连接，二者可以互相翻译、互相转化。正如物理学追求“力的统一”，朗兰兹纲领追求的是“数学结构的统一”。朗兰兹纲领以对称为核心打通了数论与分析，建立起全域数学对应；弗伦克尔进一步推动了朗兰兹纲领的几何化与物理化，实现了数学与量子场论的深层统一。他还倡导，数学教育不应该只聚焦数学的技术层面，更应当展示数学本身的美丽图景。数学是永恒客观的隐藏实在，人类只是发现而非发明了数学结构。