牛津通识读本：数学（中文版）

常言道，隔行如隔山，就是同行时常也是如此，除非有高人指点，如同四两拨千斤。这套丛书的特点就是请国内的专家写导言。个人发现读后收获非常大，往往先读它数遍后，才决定是否购与读。例如，导言作者说，本书特点之一是，“作者在不便于或不需要进行严格数学推导的时候，会巧妙地绕过去，但对于必要的推导和论证，绝不偷工减料，而是不遗余力地以十分详尽的方式加以说明，一步步地将读者引向有关的结论，同时也加深了读者对逻辑论证严密性的理解”。这归根结底是和作者深厚的数学功力、对数学内涵及其精神实质的深刻理解和把握分不开的。所以，咬牙跺脚买了它。因为个人特别欣赏书中作者，反复强调并解释的一个基本的观点：“对于数学，不要问它是什么，而只要问它能做什么。这一抽象化的思考方法，将重点放在数学内部体系的相容性，强调新的数学概念、方法与内容和已有的数学体系应自然地融为一体，强调要将有关的数学内容脱离其物理上的实在、变为符合一些特定规则的记号，就会更利于应用，更利于正确地理解高等的数学”。 令人惊奇的是，这本说数学的书，几乎全部都只是具体的文字描述，没有用那些很多唬人的数学公式。而且，每章都是那么简洁！这大概就是真正数学家，真明白人的特点。本书的特点还有，数学不深，道理深。 因为它只是想引导人：思考数的哲学本质？数学有一种特别的思维方式。特别是，书中的数学表达公式，是乎都没有超过高中水平，没有任何微积分的公式等。 作者蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）教授获得菲尔茨（Fields）奖的著名数学家。读完他的书，不敢像说一些人吹的，可以数学功力大增，至少可以说，哪感觉就像，现在三伏天从外回家，立刻就送上一杯现榨，带各种热带水果，外加冰镇牛奶果汁，那是一个爽快！ 读完本书读者可能还会有的最大惊奇是：它帮助你产生幻觉，好像任何高中学历以上的人，是乎都可以写本有关数学书，在牛津大学出版社发表。😂😂😂！所以，我们不能不佩服本书作者的智慧与写作能力与素质。

大道至简—读《牛津通识读本：数学（中文版）》 昱宬 字数 1596 2019-03-07 19:40 本书开篇就️以20世纪初，伟大数学家大卫·希尔伯特的发现：【有很多数学中的重要论点在结构上十分类似】道出了，大道至简，结构当然相似，而且是从底层开始构建。 书中的概念，比如内积空间（大部分读者会云里雾里），它由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。至少我们都学过欧几里得的平面几何，即使忘记了也无妨，阅读此书它会让我们重温欧几里得四大公设，并理解了抽象思考的方法，假如读者愿意跟随本书的节奏，不仅可以掌握些许抽象思维的方法，并把通过对欧几里得第五公设平行线的思考，衍生出对球面的思考，得出双曲几何、球面几何的概念。从而由抽象思考形成抽象思维习惯后，能帮助自己从纷繁复杂的现象中迅速归纳出一个或者多个规律，并会由此心生欢喜。因为我们可以得到，在地球表面上，有一个各角均等于直角的等边三角形。作者指出【“原则上”这个短语在这里被过度使用了，因为这样的计算将会是极端复杂的，并且需要知道骰子的形状、材料、初始速度、旋转速度等更为精确的信息，而这般精确的信息在实际中是根本无法测出来的。】，是不是感觉到，如果我们在与人讨论”看到都不一定是真实”这样民间智慧的时候，可以帮助我们更智慧方式就是使用抽象思考得出规律，然后将具体情况再代入呢？是不是也可以理解了，凡事从公理出发，充分应用、遵循特定的“规则”，最后以有趣的数学陈述结束，那么这样的陈述就可以当作定理接受，否则就不能被视为定理。是否觉的佛教理论的因果论也如是说呢？ 科幻《三体》里一个概念“降维打击”被众人津津乐道。什么叫降维？又怎么升维？在数学中可以将其特征表述出来吗？高维与低维的距离怎么算？假设已知二维面积，向三维扩大一倍，三维的为什么是二维的四倍？还有，为什么这个时候不用体积来做单位？其中的含义又如何？此书会一一给你到来，读者只需拿着笔和数张草稿纸跟着计算即可。 通过阅读此书，或者类似的书籍，我们也许可以开个脑洞，在数学中将求导高阶函数，也是一种降维；也可以在与人的交流过程中，对方如果习惯使用陈述句，那么至少交流对象是一个对自己很负责任的人，因为作者引用了一个宣言【逻辑实证主义者的宣言：“陈述的意义就是其证实的方法。”如果你出于哲学方面的考虑，认为我的观点令人生厌，那你不妨不要将它看作一个教条式的断言，而是视为一种可供采纳的态度。实际上，我希望表明的是，要想正确地理解更高等的数学，采纳这种态度是至关重要的。】，理由是数学即使无法做到精确的时候，至少它不放弃，而采纳一种误差允许范围内的近似；阅读此书，它还可以帮助我们如何理解俗语说的“那只是一种理论，与实际脱节”的真正内涵是什么？原来，理论本来就是解决现实问题的，说这样话的人并没有对理论熟悉到能解决实际问题的能力，所以他要么想绕过去，要么想掩盖自己的理论不扎实，或者羞于承认自己浪费了一些本可以不浪费的时间。 由于人类的心理作用，认为公理都是因为它的真实性，阅读此书，我发现了【公理系统的主要问题并不是公理的真实性，而是公理的自洽性和有用性。】于是，我们对根号2具体是什么数字，为什么是无理数也就释怀了。 阅读此书，我觉的数学一直在践行着科学精神中的质疑、探索、理性、实证四要素。启发较大的是，数学思想在生活、工作中应用，就是提醒自己，不要考虑一步到位的完美解决方案，因为那样有可能让人一筹莫展，却又很装逼似得暗示自己，“我在追求完美”。 作者还提出“思维体操”这个概念，这个词义表示需要数学需要基础训练，而且存在已知的高难度的动作，还有不可预知的难度。从这个概念出发，我们也理解了为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学？因为数学总是持续在自身的基础上构建，所以学习时的步步跟进就显得很重要。也理解了，如果对数学研究的艰难程度没有一点概念，不了解要想做出重大的原创性工作，必须要花上数年的时间来充分发展知识和专长，也不知道数学是一项多么需要集体合作的活动。那么数学的确是令人望而却步的。

我发现我对数学，尤其是高等数学，存在一个始终都难于逾越或者说适应的东西，那就是这些抽象的符号、定义、公式到底是什么，意义是什么，一旦我这样思索（无法控制、下意识），试图具象化，我就很容易停滞不前，再加上数学规则逻辑链十分缜密，往往严重的依赖之前的证明和规则，总是持续在自身的基础上构建，不牢靠和充满困惑的知识怎么指望让人完全掌握甚至感兴趣呢？ 在实践中，关于数和其他数学对象，重要的只是它们所遵循的规则，规则是最重要的，作者在用整本书说明这个。对于数学，不要问它是什么，而只要问它能做什么。好像从来没人告诉我？又或者没人郑重其事的和我聊这个，以至于我的大脑始终残存着开篇那样的思考方式。 数学作为最高层次的抽象思考，可以消除许多概念和哲学问题，而我也明白了，真正无趣的并不是数学，而是我所受的数学教育。 这本书对于把握数学特征和研究方法提出了高屋建瓴、深入浅出的见解，建议所有对自然科学感兴趣的朋友都来看看。

怎样的一本书可以做到：话题既深刻又有趣，行文既从容又精炼？本书当合此意。 霍金大致说过，公式加一，读者减半。那么，一本以《数学》为名的书，仿佛就不该出版。 公众对于数学的“敌意”是强烈的，但这不是数学之错。 很可能并不是因为数学很无聊，而是数学课的经历很乏味。 印象一旦崩坏，想扭转的难度之大可想而知。因此本书评仅面向如下两类人： 1 对数学不那么讨厌，甚至还有点喜欢； 2 即便讨厌，也会反思是否只因自己偏食。 至于那些数学的深度仇视者，或许可以借本书开启一场救赎之旅： 1 在一个自媒体横行的年代，我们至少应该具备的是区分小丑和高手的能力。数学大家很少写书，也许数学证明就是他们的生命之书。所以请珍惜本书，作者为1998年菲尔兹奖得主。 2 全书字数不足8万，每章节短小精悍，基本可能做到在你准备放弃前读完。如果你感觉某些章节困难，读一段想一天的少食多餐策略是推荐的。我无意散播本书很难的印象，只是数学本身的很多话题就不存在于很多人的生活中，是陌生感产生的隔阂，绝非作者故弄玄虚。 3 我们当然不可寄望在如此浓缩的一本书里能做到面面俱到，但竟然能将数学最精要处展示出来。尤为可赞的是，凡其所写的，几乎都能做到清楚明白，这就是一个内功深厚的高手所为。 本书行文轻快，既可能是作者的一种隐忍，也可能出于追求简洁的一种数学本能。但其内涵却足够丰富，全书8章大致分为三部分： 1 一般性数学（第1-3章） 前两章主题是“抽象”，而且作者还将其分为三个层次的抽象，我将其理解为物理抽象、哲学抽象和数学抽象。 物理抽象是将现实世界中繁杂的现象去芜存菁后，追求本质的过程； 哲学抽象是对完成物理抽象后的，对所获得的“不是具体的、有形的”数学对象进行研究的过程； 数学抽象则是彻底不用顾及现实世界，而以逻辑为其边界的放飞自我的过程。 正所谓“欲穷千里目，更上一层楼”，对每一层抽象的理解或接受，都会越少束缚，难怪那些纯数学家仿若行走于云端。也难怪一些人会感叹数学之美，另一些人一脸懵逼地问“你说啥”。 如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是——我们应当学习抽象地思考…… 第3章论及证明。如果说抽象让数学超然世外，而证明则令其清澈透明。其实证明与公理化思想放在一起更完整，因为这才足以体现数学的演绎逻辑特征，这也是数学有别于科学以归纳逻辑为起点之处。 2 主要数学分支（第4-7章） 这部分的前三章分别论述了数学三大分支的分析（极限与无穷）、代数（维度）和几何。 第7章很有特点，直言“大多数人认为数学是一门纯净、精确的学科……这样的想法实在是大错特错”，好像前面为数学苦心经营的很仙儿的人设一下子崩溃了，其实不然。数学是一门不设限的学科，它不为人设而活，而为人类的自尊心而活。我们可以承认对很多事情的无知，但在此之前，我们决定探索一下兔子洞到底有多深。 3 数学家的故事（第8章） 本部分8篇小文章，读起来都轻松愉快，或许有助于消除很多人对数学或数学家的误解。 其中的第7篇《有没有著名数学问题被业余爱好者解决过？》尤其有意思，它告诉我们，如同整个人类文明的发展一样，数学也是一门需要积累的学问，那种“掉进一个洞，偶遇一本书，练就一身功，从此称霸武林”的武侠观，或者我们追求顿悟的想法，极其有害。 对很多人来说，数学像一堵高墙，殊不知走出墙外，就是一场摆脱思想囚笼的自由之路。 墙外也许无杏，但一定有美好。一生囿于围城，甘心吗？

数学即哲学！这是我的观点。而且，数学是一门真正普世真理。不受任何人，任何地域，任何国家，任何意识形态影响和左右的学科。 自人类诞生，数学即诞生。人类开始进行理性思考以来，就一直在发现、论证关于数学的基本问题。 因此，数学即是逻辑。数学的本质是按照规则对字符的操作。数学是一门心灵活动的修正主义哲学。

通识读本的意义在于科普。当然专业是数学的根本用不着读这样的书，估计都深度掌握了。数学即关于数的学问，既准确又模糊，既有意义也充满玄机，1是什么？指的是一头牛，一只蝴蝶，一棵树，一朵花，一株苗？还是一个国家，一个民族，一个地球？都是，都不是。这便是哲学的追问吧？一生二的意义是什么？也许是人生的岔路口。哈哈😄，1+1等于几？0，或1，或N，在时间长河的变量中的确寓意万物，生生不息吧。在我看来，至少学好数学买菜时能算清帐，知道多退少补的意思，知道开源节流指是啥，买房要耗银几何？活多久，体重身高血压值，横竖撇捺几斤几两即心中有数，你瞧，数来了，哈哈😄，不知天高地厚即糊涂虫，尽可能（近似的概念）不做这样的糊涂虫吧。边看边想，读这样的书，会觉得自己不怎么聪明。读不懂不能怪作者。 胡言乱语，闲时可补脑洞。谢谢高尔斯和译者。

三维世界无法确定四维世界物体的真实形状，这就好比你捅破一层窗户纸，纸上的二维生物只认为有类似圆形的不明物体入侵，根本无法判定是人类还是其他什么生物，同理，假如能看到高维生物，也只是其部分身体在三维世界投影，根本无法确定到底是什么模样，数学有N维空间的定义，但是却无法真实描绘N维世界，这需要N维世界的知识来定义。 ----梦回冰河纪，己亥九月十七于乌鲁木齐

读完这本数学科普书，尽管有些数学概念深奥，晦涩难懂，但书中提出的数学学习和研究的思想、方法、态度，却是值得人们去思考、借鉴、运用。数学作为一门自然学科，已成为整个科学研究的基石，引领着众多的自然学科、社会学科的发展，并催生了许多新的学科，丰富和发展了现代科学技术。特别是计算机技术的迅猛发展，数学思想方法和技术的科学基础更加重要，甚至会为未来的人工智能和生物技术等学科发展输入强大的动力，未来的科学技术发展的希望在数学！

数学的本质是表达的艺术。2019年读完的第203本书。

很简洁的把数学的美表达出来。成书年份偏早，一些内容已经过时。 比如庞加莱猜想被证实。 比如如今数学家很频繁的使用电脑去辅助研究（不是单纯的计算），如陶哲轩，无论是用 lean 还是 AI。 而且优秀的女性数学家越来越多，比如 2025 年最重要的数学进展有很多就是女性数学家贡献的，包括王虹等证明三维挂谷猜想。