数学思维

《数学思维》一书围绕“数学究竟有什么用、为什么值得学”这一核心问题展开，作者郑乐隽沿着“生活化—抽象化—范畴化”的清晰路径，一步步带读者跳出对数学“枯燥解题”的刻板印象，真正体会到数学背后的思维魅力。 书的开篇便从熟悉的生活情境切入，用一个个鲜活例子唤醒读者的“数学眼光”：比如三个小朋友该如何公平平分蛋糕，甜甜圈和咖啡杯为何在数学视角下属于“同一种形状”，按食谱做蛋糕时常失败、可数学计算却总能给出确定答案……这些贴近日常的场景，让“数学无处不在”不再是一句空话，而是能实实在在感知到的存在。 在读者建立起对数学的亲近感后，作者又穿插数学史与数学思想的演变过程，解答了“数学的严谨性从何而来”。她着重强调，数学的核心并非复杂公式，而是逻辑推理与抽象化能力——即把具体问题中的非本质属性剥离，提炼成具有普遍性的数学模型，进而揭示事物背后不变的本质关系。这种从“具体”到“抽象”的思维跃迁，正是数学能解决各类复杂问题的关键。 当读者理解了数学的基本思维逻辑后，作者将视角进一步提升，深入探讨被称作“数学的数学”的范畴论。在讲完常规的算术与几何知识后，她用通俗的语言解释范畴论的价值：它能把看似零散复杂的数学知识，梳理成更简洁的结构，就像让研究者站在更高的“思维塔台”上俯瞰数学全貌，看清不同分支之间的关联，真正实现“化繁为简”。 书中还借数学思维反观人类认知，升华了思维方法的意义。作者提出，数学存在的本质，是把困难的事情变容易；而范畴论的意义，正是让复杂的数学变简单。以此为切入点，她进一步讨论了直觉、猜想与形式化推理在知识建构中的互补作用——直觉能点燃思考的火花，猜想提供探索方向，而严谨的推理则为想法筑牢根基，三者共同构成了人类认识世界的完整思维链条。 整本书的目标清晰而深刻：它既是一次轻松的数学文化漫游，带读者领略数学背后的历史与思想；也是一堂实用的思维训练课，鼓励每个人用数学的结构化视角审视世界，用抽象与逻辑化解日常中的疑惑。作者始终在传递一个核心观点：学数学不只是为了解题，更是为了掌握一种更清晰、更高效的“看世界的方式”。 总的来说，郑乐隽用生动的比喻、层层递进的论证，巧妙搭建起从日常经验到抽象思维的桥梁，最终将读者带向范畴论的认知高处。她完整展现了数学如何通过结构化、抽象化和逻辑化，把复杂的现实世界“化繁为简”，让原本看似高深的“数学思维”，成为每个人都能掌握、都能运用的认知工具。

Ai时代：知识不再是秘密，但理解仍是秘密。 数学是什么？数学的数学，范畴论是什么？这两个问题是贯穿全书的写作线索。 作者没有选择用“专制”的形式或严格的证明，来给出一个学术定义。而是选择用隐喻的方式，借助生活中的示例来解释、阐明，启发学习者达成真正的理解。 学校教育期间自己按部就班的读书，对数学谈不上喜欢，也没有过度的畏难。这么多年自己对数学的认知，依然停留在读书阶段。 《数学思维》像是一本哲学书，通过解释数学的思维方式，试图给予我们某种启示。读完之后，我更新了对数学的认知，不再只是中学阶段的理解了。 本书关键字【简化】，上篇讲数学是对生活的简化，下篇讲范畴论是对数学的简化。在致力于简化和追求简单的过程中，作者也提醒我们要避免过度简化，即丢失关键要素。 对书中的感情共鸣有两点。 1.菜谱：书中作者用了大量的食谱来隐喻数学思维，所幸自己也是一个略懂厨艺的人，否则真不一定会有什么共鸣。我和作者的感受相同，同样认为菜谱是一个简化和抽象的过程。受限于语言的局限性，最详细的菜谱也是对做菜过程的省略。没有师徒式的传授，看菜谱的人无法做出和写菜谱的人“完全一样的味道”。 2.锻炼：作者读书时运动能力之差，刷新了当时老师的认知底线，但现在的作者还参加了纽约马拉松。我也有类似的经历，这让我想到了《运动改造大脑》和《锻炼》中对体育课的控诉，体育课并不鼓励运动，老师们只会催促你跟上那些更快、更强壮、更有运动天赋的同学。讽刺的是胆怯、笨拙、肥胖的孩子原本应该是体育教育的最大受益者，却被冷落在一旁，独自在羞愧中承受煎熬。数学同样可能是某些人的梦魇，如同原生家庭的概念一样，读书的意义就在于可以用当下的理解力，去帮助当年懵懂的自己。 对知识的共鸣有五点。 1.用圣保罗大教堂的三个拱顶，来隐喻知识的结构，一是内在动机，二是外在动机，三是“隐蔽的”描述，用以支持该情境的整个结构，以及让前面两种描述有机结合起来。这要我想到了太极图，教堂的第三个拱顶就像分割阴阳的那条线。 2.最后一章对“真理之谷”的表达很有趣，同时我想到了达克效应的“绝望之谷”和《非暴力沟通》中的沟通过程。真理之谷的观点，对内可以用于说服自己，减少自信偏差，对外可以用来和人沟通表达。 3.对数学界的“街gai溜子”埃尔德什的描写，让我想到了《复杂》里介绍的网络科学中的中心节点概念。 4.作者在解释“母亲被指控谋杀婴儿”的案例时，指出了判决中的错误假设，是认定一个家庭内发生的婴儿猝死症是独立事件。这让我想到了在读《贝叶斯的博弈》时的另一个证明方式，就是提出另一个可能假设对比两个假设的发生概率。虽然婴儿猝死症的发生概率很低，但依然要比母亲双重谋杀新生儿的概率要高5-10倍。 5.作者对民主投票中不公平的逻辑论证，让我从数学视角下看到了群体决策的无力。由此想到了《乌合之众》提到的“群体的愚昧”和《噪声》提到的“群体的智慧”。 更多的一些引起思考的细节：理性是社会学概念，喝醉的你更真实还是清醒的你更真实，对混乱和整洁桌面的辩证思考，逻辑没有起点必须有先验即公理的存在，科学是概率数学是逻辑，肯定前件是一条公理，树状图节点，情景对身份的确认，范畴论有时假设事物是相等的并找出在哪种情景下是相等的。

这本书有阅读效率很低的文字、松散架构和矫情的叙述方式。 这不是一本有关数学思维和方法论的科普读物。它的大部分内容是已经掌握数学的人写的【散文集】。而且我感觉作者下一本书可能会憋不住，干脆全书都写哲学迷思或心灵鸡汤。 如果读者正是没有数学思维的人，这本书绝对无法传达什么合上书还能记住的理念给你。能真实地读完这本书的人本身已经是有数学思维的人（并且修养推测应该很好）。文字更可能是印证或嘴替了他们的想法，而不是给了他们什么启发。 以及，这本书的划线非常奇怪。在其它知识类书籍中，划线常常是该篇章或段落的核心句子，恨不得句子里每一个词语都是关键字。划线句子也不可能太多。共享划线功能是在线阅读特有的集体学习。它是建立在大数据上的重点提示：先读过的读者们一起告诉你这句话是重点。 可是这本书不仅划线密集，而且划线内容所包含的知识密度极低，使我十分怀疑给【推荐】的一部分读者到底读了什么。随便复制一些划线内容如下： “符合此描述的最重要的一个例子发生在几何学领域，与平行线有关。”（这句交代不清楚的话没有具体清晰的知识点。而且这句话说完并无下文，要你翻到下一篇章。） “也就是说，你会从一个你熟悉和喜欢的情形入手，看看你能对它做些什么改变，让它变得稍有不同——或者变得更好。”（这句话究竟有何核心信息？划线的读者可能是向往作者下一本书正式写鸡汤。） “我小的时候对食用色素过敏，因此我的父母出于对我的爱研究出了如何在不使用那些可爱（或可怕）的色彩鲜艳的果冻粉的前提下制作果冻。长大后，我开始跟某个对小麦过敏的人约会，于是我为他发明了很多不含小麦粉的甜点食谱。”（这位读者可能是前面被不经意冒出的意识流文字突袭过，这里突然看到流畅的正常叙述，一时忘记本书与数学相关，激动地、重重地划下了线。） 这是一本连划线都很迷的书。也就是，不仅作者，连读者都贡献了迷。我前面说过，共享划线是一种有帮助的集体学习。这里没有老师跟我说哪里是重点，但是通过大数据，读者们一起告诉我这里是重点。（我当然还可以自己去发现一些别的被漏掉的重点。） 但是我们也可以逆向使用共享划线这个建立在大数据基础上的功能。如果共享出来的划线很奇怪，是不是恰好也能证明这本书哪里有问题？（尤其这是一本知识类书籍）前面有一篇评论说TA坚持读了一百多页才放弃。我们要跟上AI和大数据时代啊，不用怀疑自己，自信点。这种失灵的划线，本身就是内容有啥问题的证明了。真不需要读一百多页。 （🙏感谢科技！让我的吐槽具备可视可量化的依据！）

我觉得可以推荐这本书，不是说他讲范畴论，讲的有多好，最关键的是，讲范畴论的书是非常少的。在这里我会先给出范畴论的来源、思路，再给出范畴论的发展，最后评价这本书。 范畴论是属于近世代数的一部分的。在这一点上，首先要提的就是范德瓦尔登的《近世代数数学》，它首次从更高的数学层次上对环、域、群、向量空间等进行了清晰的阐述。他把这些数学体系融合到了一起，对他们进行了抽象的公理化处理，这种思想来源于希尔伯特、艾米诺特和阿廷等人，它催化了范德瓦尔登对近世代数的整合和抽象。这甚至导致了麦克莱恩和伯克霍夫出版的近世代数概论在刚刚出版26年后就进行了大量的改版（作为学生们的教材），他们不仅把这本教材改名为《代数》，还加入了函子、范畴、态射和偏序集等学习内容。 范德瓦尔登这种思维，迅速普及到了整个数学界，并形成了大家对近世代数的认知：完全抽象且精确公理化的用集合论的语言进行数学表述的方法。但这并不是抽象思维的终点，1942年艾伦伯格和麦克莱恩写了一篇论文，叫《群扩张与同调》，他们利用比范德瓦尔登更加抽象的方法研究了拓扑学中的同调问题。三年后，他们在另一篇论文《自然等价的一般理论》中，表达出了比之前更高的抽象层次，并且首次提出了范畴论的概念——它就意味着目前数学中最高的抽象。 范畴论的思路是这样的：诸如群、环、域、向量空间等的代数处理方法，是由其中的元素和这个元素的一种合成方法（类似于初等数学中数和函数的映射）进行的。在这个过程中，这个元素或者说数学对象本身的部分相关性质是可以清晰表达出来的（类似于连续、是否素数、是否可以合成等相关性质）。尽管他们是不同种类的元素（类似于向量和数和某些数的集合的差异），而且合成或者映射的方法也有很多种，但我们是否可以提炼出一种一般规则，或者说代数学的一般理论，使得这些对象和未来我们可能提出的对象还有这些对象的合成或映射方法都可以统一在一个超级公理之下呢？艾伦伯格和麦克莱恩给出了答案，是可以的。他们把群、环、向量空间、代数等数学对象的集合配上这个集合之间具备良好性质的映射，这就是一个范畴，也就是范畴论的基础，其中的映射叫态射。这几乎意味着到达了数学中抽象的一个极端，但还不够，你还可以更进一步（更艰难也需要更小心），建立一个范畴向另一个范畴进行超映射，这个超映射就叫做函子，这是我认为到目前为止数学中最高的抽象了。 范畴论本质上并不能解决问题，当抽象到这个地步的时候，他就具有了一些哲学上的含义，因此他更多的作用是像哲学一样理解这些数学对象的抽象性质。数学的发展来源于抽象，例如群的发展来源于代数中的对称问题认知（拉格朗日、鲁菲尼、柯西、阿贝尔等都有认识，最终由伽罗瓦提出），因此群的本质就是一种对称问题的抽象，它可以针对具有群性质的数学对象统一认识统一处理，最终得到相应的答案，也就是说只有提高了对数学对象的抽象认识，才可以解决很多数学问题。而范畴论是对这些抽象对象的进一步抽像，他的目的依然是提高对数学对象的认识，但是范畴论实在太抽象了，大多数数学家们还没到需要进一步抽象理解这些抽象的数学概念的时候，因此对于大多数数学家来说提高认识的作用可以说几近于无。但是对于天才来说确实有意外，格罗滕迪克，是一个真正应用范畴论的天才。他本身是研究代数几何的，之后他利用范畴论将数论、拓扑学和分析学的一些关键内容融入到代数几何，极大的发展了近世代数几何学。1966年，他被授予了菲兹奖，理由是：在韦伊和扎里斯基工作的基础上，为代数几何带来了根本性的进展。还有，安德鲁怀尔斯，费马大定理和谷山志村猜想的证明者，当他将椭圆方程进行伽罗瓦表示，和将模形式进行自守表示后，其中利用科瓦利金——弗莱切和岩伬方法的改良方法来进行两者之间的关键一跃，这也需要意识到其中存在着上同调和的深层次原因，如果没有这种数学直觉，安德鲁怀尔斯很难想到用这种方法，而这也是范畴论所讨论的认识。也正因为这一点，朗兰兹纲领虽然是数学中的大一统理论，但个人感觉，范畴论几乎可以称得上朗兰兹纲领可以实现的关键要素了。 p.s. 格罗滕迪克是一名传奇，他还是一个自由主义斗士，而且不在乎金钱（不去领菲兹奖和克拉福德奖的奖金可还行），还做过十几年隐士，环保主义斗士，而且他还是一个不关心别的事情的人，甚至包括不感兴趣的数据，比如有一次他竟然认为57是素数。 最后是范畴论的发展，范畴论目前最重要的发展已经进入了计算领域，他对于普遍数学规则的抽象，已经可以成为一些对演绎规则、公理化方法和计算方法之间冲突感兴趣的数学家和计算机学家。他们利用范畴论试图回答一个非常重要的问题：是否可以用计算规则和演绎规则彻底代替公理和演绎规则，从而让公理可以彻底离开数学体系，从而抛除掉数学证明中的谓词逻辑体系，真正形成数学证明和数学实践中的合一（计算）。如果这个思路被确定可以实现，那么必然会诞生数学和计算机结合后的新发展道路，数学家们可以利用计算机进行数学证明，而不再像过去一下采用演绎推理的方法去证明，真正实现计算机和数学的大融合道路。或者回答不是，公理体系必然会存在于数学的某些方面，但也可以进一步促进人们对数学问题的理解：哪些可以计算机证明，哪些不可以。或者像连续统假设问题一样可以被证明无法被证明（为什么这么绕），一样可以给我们带来好处——寻找新的计算机数学的发展方向。 因此，我一直认为，近世代数的特点就是抽象，而近世代数的抽象尽头，就是范畴论。只有了解了范畴论，才能真正了解数学和计算机的融合发展。这本书本质上并没有阐述太高深的范畴论知识，但他指出了范畴论的最大特点——抽象，抽象，还是抽象。鉴于目前科普范畴论的书籍几近于无，个人认为还是可以一读的。

这本书写的很精彩，是我今年读过的最好的书之一，下面说下这本书的亮点。 1.让我意识到了知识是很重要，但是理解知识更加重要。作者将我们对知识的掌握程度分为三层。第一层是知道，第二层是理解，第三层是相信。我们的目标是让自己对知识同时具备这三层的掌握程度，我们不仅要知道知识，还要理解知识，相信知识。 我感觉自己过去在初高中时就像是一个做题机器，我能够按照书本和老师的教导根据规则在考场上考高分，但是我过去并没有真正理解知识，比如我也是看了这本书以后才知道解方程背后的原理是什么，而我过去从未想过这一点。 这也让我意识到了自己在教别人某个知识时，不仅要教别人知识本身，也要主动教别人知识背后的原理，也就是不仅要告诉对方怎么做，做什么，也要告诉对方为什么要这么做，为什么要做这件事，只有这样才能让对方充分领会自己的意图，才能让对方做出让自己更满意的效果，也只有这样才能体现自己的领导力水平。 真希望我能早点碰到这本书，这样我会更加热爱数学，也希望咱们国家也能写出这么有水平的书。我看过很多书，感觉外国人写书的水平和质量远超咱们国家，说中国人的平均智商排名世界前几名，我是一点都不相信。 2.让我意识到了理解知识才是我们最重要的目标，因为理解知识是从知道知识到相信知识的桥梁。我们只有理解了知识，才能有能力去创造新的知识，这才是学习能力。我认为一个人的学习能力体现在他对知识的理解程度上，而不在于他能够将知识背诵的滚瓜烂熟。所以，我们在学习和工作中要多问几个为什么，为什么要这样做？为什么这种方法可以解决这个问题？它背后的原理是什么？为什么这个方法是有效的？为什么这样做可以得出正确的结果？ 死记硬背知识的人只会刻舟求剑，不能灵活变通，而理解知识能让我们有更大的活动空间，能让我们想出更好的办法，更好的替代方案，甚至创造新的知识。 3.让我意识到了数学其实是一种简化问题的工具，作者在书中用到了一个特别生动的比喻。如果将问题比作一个高楼大厦，那么数学的目标就是去掉这座大楼所有的装饰品，只留下支撑整个建筑的墙体。如果整个问题是一个生物，那么数学研究的就是骨架。在使用数学解决问题时，我们会去掉所有与问题无关的元素，只保留那些我们关心的元素。比如，我想知道2个苹果加上2个苹果后最终会留下多少个苹果时，使用数学研究这个问题时，我们会忽略苹果的颜色和口味，而只专于于苹果的数量，也就是2+2=多少。正是因为数学直达问题的本质，去掉了与问题无关的元素，所以数学才会变的越来越抽象，而抽象的好处就在于让数学有了更强的通用性，比如知道2+2=4，我们可以知道2根香蕉加上2根香蕉的结果是4根香蕉。同样的，将问题换成梨子或者别的什么东西我们也能很快得到结论。 抽象还让我们可以更好的表达某个规律，比如我们知道一个机器做某种运算，我们输入1和2，它会吐出3。我们输入2和3，它会吐出5。通过这种描述我们无法完整的表达这个机器吞进去的参数和吐出的结果之间的关系，因为这样的数我们永远也列不完。但是如果我们用c表示结果，用x和y表示参数，那么我们就可以使用c=x+y来总结这个机器的运行规律。这就是抽象的力量，可以通过一个简单的公式替代所有的数字组合。 总而言之，我认为数学就好像我平时思考问题时用的作图工具，它可以帮助我们简化问题和理清思路。如果我们掌握了数学，我们就多了一种解决问题的工具，这是一种巨大的优势！就目前来说，我解决问题的工具箱包括：AI，数学，画图，谷歌，请教专业人士。 4.让我意识到了数学为什么要有公理，公理就是那些我们无法证明，但是我们相信它一定成立的。公理就好像乐高积木，然后我们看看使用这些乐高积木能够搭出什么东西来，我们搭出来的东西就是定理。公理之所以有存在的必要性是因为如果没有公理，我们就无法通过逻辑推理得到任何有用结论，我们把这些有用的结论称作为定理。 5.让我意识到了数学为什么那么重视证明过程，那是因为数学的证明过程就是为了说服其他数学家相信我们得出的结论。

这是2021年读到的第2本令我有跪感的书（另一本是《爱的博弈》）。这本书的作者是剑桥大学的数学博士，本书最大的特色是每一章都从一道甜品的食谱切入，用比喻、逸事及学术语言之外的其他方法，把数学中的概念“翻译”给读者，把那些枯燥难懂、极其抽象的数学概念变得形象生动可感知。 读完这本书，我才第一次感知到用数学思维看待生活是多么有趣。数学这门学科存在的意义，就是把复杂困难的事情变简单。上学时学到的数学知识，让我以为数学就是解方程式，事实上远非如此。 最后一章关于“真理”的讨论部分，让我尤其激动。作者说真理有三种形式或者三个方面：知道、理解、相信。有些事物，是我们知道并理解且相信的；有些事物，是我们知道并相信，但并不理解的，比如我并不理解重力如何起作用，但我知道并且相信重力一直在起作用。 书中有这么一句话，“数学研究的目的不只是说服我们自己这些事情成立，我们的最终目的是增进我们对周围世界的认识，而不仅仅是堆积只能存在于我们自己头脑里的那些知识。” 由此我想到，我们读书的目的不能止步于“知道”那些我们过去不知道的事物，而应该努力从“知道”走到“理解”，理解是通往“相信”的桥梁，而拥有了“相信的力量”，才能使我们的认知和行动真正发生改变。

当我只关注有什么用、怎么用的时候，我就把怎么生长、怎么发现交托给、依赖于老师了。 同时，数学有太多的叠床架屋：在底下几层，还可以靠自己发现、生长，但很快就需要大量记忆前人的成果，因为这些基础“元块”(lego, block,公理)的排列组合迅速增加。这时候，仅凭“第一性”就会被累死。 “元块”的排列组合、旁征博引、触类旁通，恰恰是数学家功夫！ 郑博士带领我们看了好多“元块”，而真功夫是看不来的，要肌肉记忆。 多讲无益，数学的确是难，普通人对此的感受是一致的。 其难在于越来越抽象，离具体生活越来越远。为了对抗这一点，“有什么用、怎么用”就像路灯，可以带我回家。 感谢郑乐隽博士，帮助我们记得回家的总图。 又：“不谈论数学的研究方法，而只讨论数学的研究对象，我们就无法理解数学究竟是什么” 这是此书的目的与精华：怎样研究数学！ 总之，此书是数学家的研究心法！九阳真经！

数学不是寻求创意或差异性，而是找共性，找客体规律或捷径，找到模型的一门学问。逻辑推理或范畴论。比如0不是一个客体，比如没有绝对的正方形，而数学创造了一个绝对理念的模型世界，以解决问题。最后，数学是简单的，而生活是复杂的。数学只是帮助我们理解问题，而追求真理需要自身的热情。 数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。 抽象是数学研究的重要的第一步。这也是一个会让你感到有些不适的步骤，因为它让你离现实远了一些 “简单化”和“过度简化”有一个微妙的差别：后者意味着你想错了，而且忽略了重要的问题。 抽象好像会带着你逐步远离现实，但实际上，它会带领你逐步贴近事物的本质或核心。要抵达核心，你就必须剥离衣服、皮肉和骨头。 抽象也是数学看起来远离“实际生活”的原因所在。这种与实际生活的疏远正是数学发挥其优势的地方，同时也是它的局限性所在。每一层次的抽象都使得数学更加远离实际生活，也使得解释它与实际生活的关联变得更加困难，因为这种关联有一种多米诺骨牌效应——抽象的数学也许不能直接应用于实际生活， 数学世界的美妙就在于，一旦你想象出一个数学概念，它就真正在这个世界中存在了。你的想象力越丰富，你就越有机会探索更多的数学领域。另一个我们很熟悉的抽象概念是形状 数学是简单的，生活是复杂的，因此数学不是生活。 知识不再是秘密，但理解仍然是秘密，至少在数学领域里仍是如此。各个学力水平的学生都只被教授了规则，而没有被告知原因。我们鼓励孩子们问为什么——但只鼓励到某个阶段，因为过了那个阶段，我们自己可能也不理解了

必须五颗星，给我启发很大，是我画线笔记最多的一本书。让我对数学有了新的理解，尤其是范畴论那一块，还有内在动机和外在动机之间还有一个中间层。作者的水平真实高，用通俗的语言、比喻，清晰说明白复杂的事情，现在特别欣赏和羡慕这个能力。书中还有很多做作者自己的理解和感悟，都很有思想启发。如果说现在互联网时代，知识随处可见、随处可学，那么最核心的能力就是理解力，就是规则和定理背后的“为什么”，知道什么不重要，研究“为什么”显得视野更宽阔，理解层次更深，就像书中核心，范畴论是研究数学的数学，是把表象一步步拆掉，依赖资源最少的底层架构，寻找不同情境下可以共用的理论。犹如文中所说的范畴论是研究两座城市的管理、技术、实施是否可以直接迁移复用的问题，剥去一层层外皮后，就像水电一样的基础实施，身边随处可见，以至于我们忽略它，数据学家就是不断简练它们，把复杂问题分解，挖掘更多的数学基础设施。

⭐️⭐️⭐️ 对数学的重新思考，大有裨益，但analogies不够那么丝滑，观点的“反复强调”很明显，部分内容是错误的，但根据查阅再版的英文原文，确认作者是做了校正的👍 第一部分，值得反复品味，第二部分范畴论，即数学的数学，似乎是抽象的抽象，当作对第一部分结构的重新梳理，或许更有阅读意义。 个人的总结和思考🤔（仅代表个人观点） 1. 数学是抽象的。 四个典型的抽象转换角度： * 数字➡️字母 * 微积分，推理无穷小∞ * 数字➡️图像 * 数字➡️关系 ** 微积分：更接近真实世界🌎的本质，万物都是在以某种速率波动变化着的； **➡️图像：调用🧠里的视觉思维，让海马体更加活跃，突触连接🔗更频繁和牢固，从而记忆更加牢固和系统 **➡️关系：即范畴论的主要研究scope 2. 数学是重结果更重过程的。 * 通过内在动机研究数学🧐： ** 💡定目标🎯🙋—>找原料🧱—>理原料之间的关系📇—>造机器⚙️—>加工原料⚙️🧱—>产出作品🖼️—>达成目标🎯 * 公理化和原理： ** 💡挖掘原理，是目标🎯；公理化，是暂且被认定为公认的可用作数学基本配料的事物，这时就被视为原理，直到被证伪。 3. 触及真理的三位一体： 知道🤷‍♀️—>理解🫡—>相信🙆‍♀️ * 知道：已不是㊙️，这是个“知道”可以轻松获取的时代 * 理解：核心是WHY⁉️ * 相信：你的相信不要🙅试图直接➡️他人的相信；反之，他人的相信不应当🙅直接成为➡️你的相信。前者需要引导，跨过“理解的桥梁”，后者需要质疑，打通“理解的隘口” 4. 数学和道德经在本书中打通了，👍： “All difficult things have their origin in that which is easy, and great things that which is small.”