數學女孩3：哥德爾不完備定理

世界非常偉大，我們單從表面觀察到的無法與之相比。 ——哥德爾 作爲一個自恃理解力特別好的直覺型選手，這是我選擇數學系時最大的依仗，結果卻成了我在數學道路上前進的最大障礙。數學這個東西，越是學下去，反直覺的東西就越多，以及，有時尋找意義是沒有意義的，形式就是一切。很多定理公式，是需要很艱難很一頭霧水很義無反顧地推導下去，在很久以後才能看到其中蘊含的深遠含義，這也是數學讓我又愛又恨的地方。“數學的本質在於它的自由”這句話是沒錯，但你要先在不自由中掙扎磨鍊多年，纔有可能到達真正自由的境界。真是太難了。 說回這本書，數理邏輯是我上學時就最喜歡的一門課，也勉強算是學得最好的一門，所以這一本的內容對我來說還是非常直白明瞭的。但我覺得這套《數學女孩》的意義，可能就是把“形式”和“意義”的距離拉近了一點，讓人不至於時常發出“這有什麼用”的疑問；把大定理的證明拆分成許多部分逐個擊破，也是降低理解門檻的有效做法。說到底，真正有用的並不是某個公式或定理，而是建立不再依賴感覺和語言、而要依賴邏輯和算式的數學思維。這就像學習一門新語言，雖然過程痛苦，但新世界的大門也隨之打開。祝大家都能體會到這種樂趣。

斷斷續續大半年, 終於看完了.「選聰明的還是選可愛」這個世紀難題還是沒揭開, 不會又是喜聞樂見的套路吧. 不過在我舒一口氣的同時: 中文版只出到了 3, 日文原版出到了 6, 而且還沒完結!

看完以後感覺，哥德爾是個天才，抽象數學領先計算機程序語言幾十年被其發明出來，看不懂是我的問題不是哥德爾的問題[偷笑]作者也很厲害，十章的篇幅將抽象代數和數理邏輯講的算很透徹的了（除了第十章，知識難度陡然提升）

不管是什麼樣的真理，只要一經發現，就很容易被人理解。重點在於，要去發現真理。

科普很棒，不過如果想看小說劇情就不必了，像初中生寫的日漫風[捂臉]。由於我是外行，感覺最後一章難度比較大就沒看。

前面九章還是挺不錯的，可以算很好的科普，甚至最後一章的“春”“夏”“秋”都還是正常的。結果到了“冬”，作者一口氣甩出46個定義，我兩眼一黑差點沒暈過去，這是直接把哥德爾的論文複製過來了吧。 作者在後記中對自己的評價算是中肯:“在開始寫作本書時，我自以爲已經大概理解了哥德爾不完備定理。然而隨着寫作的推進，我發現自己的理解很不透徹。”如果寫作者對內容的掌握沒有達到鞭辟入裏的地步，自然是無法向讀者準確清晰地傳遞信息。

雖然是科普書，但沒有純談數理邏輯的演化史，從概念出發，到推理結束，一環裹一環，像不斷裹挾上升的浪花，看得非常過癮。裏面主體講的是數理邏輯，還講了一小些極限、連續、正餘弦函數（並不知道爲什麼插入這些內容）。 可以瞥見，數理邏輯是計算機軟件的雛形和基礎，尤其是從羅素到哥德爾的一路論證與反論證，都是一步步地擴大形式系統，爲了計算機的不可判定問題進行充分的理論準備。皮亞諾公理用來定義自然數集，將集合與邏輯結合在一起，建立了數學的基礎。但集合如果只研究有限的話，其實很 trivial，集合被提出來的核心問題是研究無限。邏輯學的兩大研究方法——語義學（Sematics）和句法學（Syntax），都是編譯器乃至自然語言處理的基石。尤其是句法學研究，在不瞭解語義的情況下，使用與外延相對的內涵方式，使用一系列的集合來定義形式系統，更貼近計算機程序的日常思維。形式系統的組成包括公理、邏輯公式和推理規則，將三者結合在一起就能從形式上表示“證明”，得到的就是“定理”。而形式系統本身可以被定義爲“相容”和“完備”的，這兩者都是使用形式系統本身得到的定義，也就是形式系統的形式系統，希爾伯特計劃就是想要證明數學可以被形式系統完全表示，並且具有相容性。哥德爾的兩種不完備定理就是對這種形式系統能否用來描述形式系統進行了一番推理，他將形式系統的符號序列中的每個符號用質數來唯一描述，得到乘積，這一乘積被稱爲哥德爾數——因爲是質因數，可以一一對應，所以哥德爾數可以用來唯一表達與確定形式系統。 形式系統裏的邏輯公式可能會有自由變量，在自由變量還存在時邏輯公式就能被稱爲謂詞，即 Predicate，消除掉自由變量後就是語句，語句纔在語義上存在現實邏輯中的對錯，而謂詞不會。將自由變量用哥德爾數的數項替換後，就是對角化。對角論證法，就是將邏輯公式的現實含義代入形式系統，康托爾用它論證了實數是不可數集合。 在書裏還提到了形式系統裏的不同類（第 1 類、第 2 類……），類似於泛函裏高階函數的概念，很有趣。另一個有趣的形式系統表示是，將公理、定理都定義成形式系統裏的數組項，前些項是公理，最後一項是定理，大概是醬紫研究形式系統本身。 分析、拆分和綜合，形式化後又返回有含義的問題，醬紫形式和本質統一起來研究，會促進理解，也就是數學建模的核心所在。在數學中，形式相似時本質便也相似。數學歸納法，之所以有“數學”的前綴，是因爲把它應用在其他學科時，很容易得出一些玄學結論。書裏也批評了“濫用不完備定理，把它當成證明理性界限的定理”這樣的玄學應用法。 另，書裏幾乎給出了哥德爾不完備定理的完整證明（說幾乎是我根本沒有跟着推……），如果有興趣的話也可以就着哥德爾的原始論文單看這個。 前邊都挺科普，最後一章開啓狂奔模式——一步接一步地定義了一堆定義，代入一堆需要往前翻的公理，推出了哥德爾的兩個不完備定理（這一部分建議當作傳統教科書，拿起紙筆推演）。

近日終於重啟我的「數學女孩」之旅，繼續整理擱淺了近一年的筆記。約莫一年前完成了1&2的筆記整理，重溫之後開始著手第3本。這個系列的數學小說我第一次讀時其實沒有按順序，沒記錯的話3是我最後讀的一本，去年初初次讀完。 重溫這本書的內容我還算有印象，尤其是第十章的超級證明過程——引入46個定義之後從形式邏輯上證明數學的不完備性，非常燒腦，幸而這次閱讀手邊有英文版紙本書，不像初讀中文版電子書那麼雲裡霧裡。對照著看，果然我之前的感覺是對的——我對中文版很有語言障礙，英文版看著順眼多了；英文的用詞很直觀，但中文真的很讓人困惑（每個字都認識，但連在一起是在說什麼）。目前正在整理筆記，還沒到「超級證明」那章，目測會很費紙，彩墨們很有用武之地。我一如既往地喜歡寫筆記的感覺:)

「不，我還不明白」 算起來這是我看過的第三本有關哥德爾不完備定理的書籍了，前兩本是侯士達的《G.E.B》和他編寫的《哥德爾證明》。其中給我最多我好像有點懂了的幻覺的是《哥德爾證明》，《G.E.B》則多數時候覺得在看天書，而本書，則在前九章看得我信心滿滿，直到翻開第十章直接瞌睡連連。 撇開證明本身，對於一本以數學主題內容而言的書，本書從高中生學園生活角度切入，帶上一點青澀文學，的確給冰冷嚴謹的證明敷上了層浪漫的光暈。以對話形式構建數學證明也有助於降低理解的難度。前九章選的數學證明內容也頗具啓發性。儘管在臨門一腳的不完備定理證明上讓人有點摸不着頭腦，但對於不完備的數學意義的反覆強調仍另我印象深刻。

這個問題本來就是很難和不懂的人講清楚，作者還是用了很大的力氣的，但是感覺還是沒有講太清楚，可能最大的問題還是直觀的例子不夠豐富吧。 涉及到自指涉的問題都是很繞的，如果沒有足夠的淺顯的例子，對大多數讀者來說，這些文字就只是一堆繞口令式的拗口又難懂的佛經而已了。 向作者的努力致敬，但確實覺得還有改進的空間，畢竟努力的目標是讓更多的人理解所講的東西，而不是讓大多數讀者不明覺厲。