數學思維

《數學思維》一書圍繞“數學究竟有什麼用、爲什麼值得學”這一核心問題展開，作者鄭樂雋沿着“生活化—抽象化—範疇化”的清晰路徑，一步步帶讀者跳出對數學“枯燥解題”的刻板印象，真正體會到數學背後的思維魅力。 書的開篇便從熟悉的生活情境切入，用一個個鮮活例子喚醒讀者的“數學眼光”：比如三個小朋友該如何公平平分蛋糕，甜甜圈和咖啡杯爲何在數學視角下屬於“同一種形狀”，按食譜做蛋糕時常失敗、可數學計算卻總能給出確定答案……這些貼近日常的場景，讓“數學無處不在”不再是一句空話，而是能實實在在感知到的存在。 在讀者建立起對數學的親近感後，作者又穿插數學史與數學思想的演變過程，解答了“數學的嚴謹性從何而來”。她着重強調，數學的核心並非複雜公式，而是邏輯推理與抽象化能力——即把具體問題中的非本質屬性剝離，提煉成具有普遍性的數學模型，進而揭示事物背後不變的本質關係。這種從“具體”到“抽象”的思維躍遷，正是數學能解決各類複雜問題的關鍵。 當讀者理解了數學的基本思維邏輯後，作者將視角進一步提升，深入探討被稱作“數學的數學”的範疇論。在講完常規的算術與幾何知識後，她用通俗的語言解釋範疇論的價值：它能把看似零散複雜的數學知識，梳理成更簡潔的結構，就像讓研究者站在更高的“思維塔臺”上俯瞰數學全貌，看清不同分支之間的關聯，真正實現“化繁爲簡”。 書中還借數學思維反觀人類認知，昇華了思維方法的意義。作者提出，數學存在的本質，是把困難的事情變容易；而範疇論的意義，正是讓複雜的數學變簡單。以此爲切入點，她進一步討論了直覺、猜想與形式化推理在知識建構中的互補作用——直覺能點燃思考的火花，猜想提供探索方向，而嚴謹的推理則爲想法築牢根基，三者共同構成了人類認識世界的完整思維鏈條。 整本書的目標清晰而深刻：它既是一次輕鬆的數學文化漫遊，帶讀者領略數學背後的歷史與思想；也是一堂實用的思維訓練課，鼓勵每個人用數學的結構化視角審視世界，用抽象與邏輯化解日常中的疑惑。作者始終在傳遞一個核心觀點：學數學不只是爲了解題，更是爲了掌握一種更清晰、更高效的“看世界的方式”。 總的來說，鄭樂雋用生動的比喻、層層遞進的論證，巧妙搭建起從日常經驗到抽象思維的橋樑，最終將讀者帶向範疇論的認知高處。她完整展現了數學如何通過結構化、抽象化和邏輯化，把複雜的現實世界“化繁爲簡”，讓原本看似高深的“數學思維”，成爲每個人都能掌握、都能運用的認知工具。

Ai時代：知識不再是祕密，但理解仍是祕密。 數學是什麼？數學的數學，範疇論是什麼？這兩個問題是貫穿全書的寫作線索。 作者沒有選擇用“專制”的形式或嚴格的證明，來給出一個學術定義。而是選擇用隱喻的方式，藉助生活中的示例來解釋、闡明，啓發學習者達成真正的理解。 學校教育期間自己按部就班的讀書，對數學談不上喜歡，也沒有過度的畏難。這麼多年自己對數學的認知，依然停留在讀書階段。 《數學思維》像是一本哲學書，通過解釋數學的思維方式，試圖給予我們某種啓示。讀完之後，我更新了對數學的認知，不再只是中學階段的理解了。 本書關鍵字【簡化】，上篇講數學是對生活的簡化，下篇講範疇論是對數學的簡化。在致力於簡化和追求簡單的過程中，作者也提醒我們要避免過度簡化，即丟失關鍵要素。 對書中的感情共鳴有兩點。 1.菜譜：書中作者用了大量的食譜來隱喻數學思維，所幸自己也是一個略懂廚藝的人，否則真不一定會有什麼共鳴。我和作者的感受相同，同樣認爲菜譜是一個簡化和抽象的過程。受限於語言的侷限性，最詳細的菜譜也是對做菜過程的省略。沒有師徒式的傳授，看菜譜的人無法做出和寫菜譜的人“完全一樣的味道”。 2.鍛鍊：作者讀書時運動能力之差，刷新了當時老師的認知底線，但現在的作者還參加了紐約馬拉松。我也有類似的經歷，這讓我想到了《運動改造大腦》和《鍛鍊》中對體育課的控訴，體育課並不鼓勵運動，老師們只會催促你跟上那些更快、更強壯、更有運動天賦的同學。諷刺的是膽怯、笨拙、肥胖的孩子原本應該是體育教育的最大受益者，卻被冷落在一旁，獨自在羞愧中承受煎熬。數學同樣可能是某些人的夢魘，如同原生家庭的概念一樣，讀書的意義就在於可以用當下的理解力，去幫助當年懵懂的自己。 對知識的共鳴有五點。 1.用聖保羅大教堂的三個拱頂，來隱喻知識的結構，一是內在動機，二是外在動機，三是“隱蔽的”描述，用以支持該情境的整個結構，以及讓前面兩種描述有機結合起來。這要我想到了太極圖，教堂的第三個拱頂就像分割陰陽的那條線。 2.最後一章對“真理之谷”的表達很有趣，同時我想到了達克效應的“絕望之谷”和《非暴力溝通》中的溝通過程。真理之谷的觀點，對內可以用於說服自己，減少自信偏差，對外可以用來和人溝通表達。 3.對數學界的“街gai溜子”埃爾德什的描寫，讓我想到了《複雜》裏介紹的網絡科學中的中心節點概念。 4.作者在解釋“母親被指控謀殺嬰兒”的案例時，指出了判決中的錯誤假設，是認定一個家庭內發生的嬰兒猝死症是獨立事件。這讓我想到了在讀《貝葉斯的博弈》時的另一個證明方式，就是提出另一個可能假設對比兩個假設的發生概率。雖然嬰兒猝死症的發生概率很低，但依然要比母親雙重謀殺新生兒的概率要高5-10倍。 5.作者對民主投票中不公平的邏輯論證，讓我從數學視角下看到了羣體決策的無力。由此想到了《烏合之衆》提到的“羣體的愚昧”和《噪聲》提到的“羣體的智慧”。 更多的一些引起思考的細節：理性是社會學概念，喝醉的你更真實還是清醒的你更真實，對混亂和整潔桌面的辯證思考，邏輯沒有起點必須有先驗即公理的存在，科學是概率數學是邏輯，肯定前件是一條公理，樹狀圖節點，情景對身份的確認，範疇論有時假設事物是相等的並找出在哪種情景下是相等的。

這本書有閱讀效率很低的文字、鬆散架構和矯情的敘述方式。 這不是一本有關數學思維和方法論的科普讀物。它的大部分內容是已經掌握數學的人寫的【散文集】。而且我感覺作者下一本書可能會憋不住，乾脆全書都寫哲學迷思或心靈雞湯。 如果讀者正是沒有數學思維的人，這本書絕對無法傳達什麼合上書還能記住的理念給你。能真實地讀完這本書的人本身已經是有數學思維的人（並且修養推測應該很好）。文字更可能是印證或嘴替了他們的想法，而不是給了他們什麼啓發。 以及，這本書的劃線非常奇怪。在其它知識類書籍中，劃線常常是該篇章或段落的核心句子，恨不得句子裏每一個詞語都是關鍵字。劃線句子也不可能太多。共享劃線功能是在線閱讀特有的集體學習。它是建立在大數據上的重點提示：先讀過的讀者們一起告訴你這句話是重點。 可是這本書不僅劃線密集，而且劃線內容所包含的知識密度極低，使我十分懷疑給【推薦】的一部分讀者到底讀了什麼。隨便複製一些劃線內容如下： “符合此描述的最重要的一個例子發生在幾何學領域，與平行線有關。”（這句交代不清楚的話沒有具體清晰的知識點。而且這句話說完並無下文，要你翻到下一篇章。） “也就是說，你會從一個你熟悉和喜歡的情形入手，看看你能對它做些什麼改變，讓它變得稍有不同——或者變得更好。”（這句話究竟有何核心信息？劃線的讀者可能是嚮往作者下一本書正式寫雞湯。） “我小的時候對食用色素過敏，因此我的父母出於對我的愛研究出瞭如何在不使用那些可愛（或可怕）的色彩鮮豔的果凍粉的前提下製作果凍。長大後，我開始跟某個對小麥過敏的人約會，於是我爲他發明了很多不含小麥粉的甜點食譜。”（這位讀者可能是前面被不經意冒出的意識流文字突襲過，這裏突然看到流暢的正常敘述，一時忘記本書與數學相關，激動地、重重地劃下了線。） 這是一本連劃線都很迷的書。也就是，不僅作者，連讀者都貢獻了迷。我前面說過，共享劃線是一種有幫助的集體學習。這裏沒有老師跟我說哪裏是重點，但是通過大數據，讀者們一起告訴我這裏是重點。（我當然還可以自己去發現一些別的被漏掉的重點。） 但是我們也可以逆向使用共享劃線這個建立在大數據基礎上的功能。如果共享出來的劃線很奇怪，是不是恰好也能證明這本書哪裏有問題？（尤其這是一本知識類書籍）前面有一篇評論說TA堅持讀了一百多頁才放棄。我們要跟上AI和大數據時代啊，不用懷疑自己，自信點。這種失靈的劃線，本身就是內容有啥問題的證明了。真不需要讀一百多頁。 （🙏感謝科技！讓我的吐槽具備可視可量化的依據！）

我覺得可以推薦這本書，不是說他講範疇論，講的有多好，最關鍵的是，講範疇論的書是非常少的。在這裏我會先給出範疇論的來源、思路，再給出範疇論的發展，最後評價這本書。 範疇論是屬於近世代數的一部分的。在這一點上，首先要提的就是範德瓦爾登的《近世代數數學》，它首次從更高的數學層次上對環、域、羣、向量空間等進行了清晰的闡述。他把這些數學體系融合到了一起，對他們進行了抽象的公理化處理，這種思想來源於希爾伯特、艾米諾特和阿廷等人，它催化了範德瓦爾登對近世代數的整合和抽象。這甚至導致了麥克萊恩和伯克霍夫出版的近世代數概論在剛剛出版26年後就進行了大量的改版（作爲學生們的教材），他們不僅把這本教材改名爲《代數》，還加入了函子、範疇、態射和偏序集等學習內容。 範德瓦爾登這種思維，迅速普及到了整個數學界，並形成了大家對近世代數的認知：完全抽象且精確公理化的用集合論的語言進行數學表述的方法。但這並不是抽象思維的終點，1942年艾倫伯格和麥克萊恩寫了一篇論文，叫《羣擴張與同調》，他們利用比範德瓦爾登更加抽象的方法研究了拓撲學中的同調問題。三年後，他們在另一篇論文《自然等價的一般理論》中，表達出了比之前更高的抽象層次，並且首次提出了範疇論的概念——它就意味着目前數學中最高的抽象。 範疇論的思路是這樣的：諸如羣、環、域、向量空間等的代數處理方法，是由其中的元素和這個元素的一種合成方法（類似於初等數學中數和函數的映射）進行的。在這個過程中，這個元素或者說數學對象本身的部分相關性質是可以清晰表達出來的（類似於連續、是否素數、是否可以合成等相關性質）。儘管他們是不同種類的元素（類似於向量和數和某些數的集合的差異），而且合成或者映射的方法也有很多種，但我們是否可以提煉出一種一般規則，或者說代數學的一般理論，使得這些對象和未來我們可能提出的對象還有這些對象的合成或映射方法都可以統一在一個超級公理之下呢？艾倫伯格和麥克萊恩給出了答案，是可以的。他們把羣、環、向量空間、代數等數學對象的集合配上這個集合之間具備良好性質的映射，這就是一個範疇，也就是範疇論的基礎，其中的映射叫態射。這幾乎意味着到達了數學中抽象的一個極端，但還不夠，你還可以更進一步（更艱難也需要更小心），建立一個範疇向另一個範疇進行超映射，這個超映射就叫做函子，這是我認爲到目前爲止數學中最高的抽象了。 範疇論本質上並不能解決問題，當抽象到這個地步的時候，他就具有了一些哲學上的含義，因此他更多的作用是像哲學一樣理解這些數學對象的抽象性質。數學的發展來源於抽象，例如羣的發展來源於代數中的對稱問題認知（拉格朗日、魯菲尼、柯西、阿貝爾等都有認識，最終由伽羅瓦提出），因此羣的本質就是一種對稱問題的抽象，它可以針對具有羣性質的數學對象統一認識統一處理，最終得到相應的答案，也就是說只有提高了對數學對象的抽象認識，纔可以解決很多數學問題。而範疇論是對這些抽象對象的進一步抽像，他的目的依然是提高對數學對象的認識，但是範疇論實在太抽象了，大多數數學家們還沒到需要進一步抽象理解這些抽象的數學概念的時候，因此對於大多數數學家來說提高認識的作用可以說幾近於無。但是對於天才來說確實有意外，格羅滕迪克，是一個真正應用範疇論的天才。他本身是研究代數幾何的，之後他利用範疇論將數論、拓撲學和分析學的一些關鍵內容融入到代數幾何，極大的發展了近世代數幾何學。1966年，他被授予了菲茲獎，理由是：在韋伊和扎里斯基工作的基礎上，爲代數幾何帶來了根本性的進展。還有，安德魯懷爾斯，費馬大定理和谷山志村猜想的證明者，當他將橢圓方程進行伽羅瓦表示，和將模形式進行自守表示後，其中利用科瓦利金——弗萊切和巖伬方法的改良方法來進行兩者之間的關鍵一躍，這也需要意識到其中存在着上同調和的深層次原因，如果沒有這種數學直覺，安德魯懷爾斯很難想到用這種方法，而這也是範疇論所討論的認識。也正因爲這一點，朗蘭茲綱領雖然是數學中的大一統理論，但個人感覺，範疇論幾乎可以稱得上朗蘭茲綱領可以實現的關鍵要素了。 p.s. 格羅滕迪克是一名傳奇，他還是一個自由主義鬥士，而且不在乎金錢（不去領菲茲獎和克拉福德獎的獎金可還行），還做過十幾年隱士，環保主義鬥士，而且他還是一個不關心別的事情的人，甚至包括不感興趣的數據，比如有一次他竟然認爲57是素數。 最後是範疇論的發展，範疇論目前最重要的發展已經進入了計算領域，他對於普遍數學規則的抽象，已經可以成爲一些對演繹規則、公理化方法和計算方法之間衝突感興趣的數學家和計算機學家。他們利用範疇論試圖回答一個非常重要的問題：是否可以用計算規則和演繹規則徹底代替公理和演繹規則，從而讓公理可以徹底離開數學體系，從而拋除掉數學證明中的謂詞邏輯體系，真正形成數學證明和數學實踐中的合一（計算）。如果這個思路被確定可以實現，那麼必然會誕生數學和計算機結合後的新發展道路，數學家們可以利用計算機進行數學證明，而不再像過去一下采用演繹推理的方法去證明，真正實現計算機和數學的大融合道路。或者回答不是，公理體系必然會存在於數學的某些方面，但也可以進一步促進人們對數學問題的理解：哪些可以計算機證明，哪些不可以。或者像連續統假設問題一樣可以被證明無法被證明（爲什麼這麼繞），一樣可以給我們帶來好處——尋找新的計算機數學的發展方向。 因此，我一直認爲，近世代數的特點就是抽象，而近世代數的抽象盡頭，就是範疇論。只有瞭解了範疇論，才能真正瞭解數學和計算機的融合發展。這本書本質上並沒有闡述太高深的範疇論知識，但他指出了範疇論的最大特點——抽象，抽象，還是抽象。鑑於目前科普範疇論的書籍幾近於無，個人認爲還是可以一讀的。

這本書寫的很精彩，是我今年讀過的最好的書之一，下面說下這本書的亮點。 1.讓我意識到了知識是很重要，但是理解知識更加重要。作者將我們對知識的掌握程度分爲三層。第一層是知道，第二層是理解，第三層是相信。我們的目標是讓自己對知識同時具備這三層的掌握程度，我們不僅要知道知識，還要理解知識，相信知識。 我感覺自己過去在初高中時就像是一個做題機器，我能夠按照書本和老師的教導根據規則在考場上考高分，但是我過去並沒有真正理解知識，比如我也是看了這本書以後才知道解方程背後的原理是什麼，而我過去從未想過這一點。 這也讓我意識到了自己在教別人某個知識時，不僅要教別人知識本身，也要主動教別人知識背後的原理，也就是不僅要告訴對方怎麼做，做什麼，也要告訴對方爲什麼要這麼做，爲什麼要做這件事，只有這樣才能讓對方充分領會自己的意圖，才能讓對方做出讓自己更滿意的效果，也只有這樣才能體現自己的領導力水平。 真希望我能早點碰到這本書，這樣我會更加熱愛數學，也希望咱們國家也能寫出這麼有水平的書。我看過很多書，感覺外國人寫書的水平和質量遠超咱們國家，說中國人的平均智商排名世界前幾名，我是一點都不相信。 2.讓我意識到了理解知識才是我們最重要的目標，因爲理解知識是從知道知識到相信知識的橋樑。我們只有理解了知識，纔能有能力去創造新的知識，這纔是學習能力。我認爲一個人的學習能力體現在他對知識的理解程度上，而不在於他能夠將知識背誦的滾瓜爛熟。所以，我們在學習和工作中要多問幾個爲什麼，爲什麼要這樣做？爲什麼這種方法可以解決這個問題？它背後的原理是什麼？爲什麼這個方法是有效的？爲什麼這樣做可以得出正確的結果？ 死記硬背知識的人只會刻舟求劍，不能靈活變通，而理解知識能讓我們有更大的活動空間，能讓我們想出更好的辦法，更好的替代方案，甚至創造新的知識。 3.讓我意識到了數學其實是一種簡化問題的工具，作者在書中用到了一個特別生動的比喻。如果將問題比作一個高樓大廈，那麼數學的目標就是去掉這座大樓所有的裝飾品，只留下支撐整個建築的牆體。如果整個問題是一個生物，那麼數學研究的就是骨架。在使用數學解決問題時，我們會去掉所有與問題無關的元素，只保留那些我們關心的元素。比如，我想知道2個蘋果加上2個蘋果後最終會留下多少個蘋果時，使用數學研究這個問題時，我們會忽略蘋果的顏色和口味，而只專于于蘋果的數量，也就是2+2=多少。正是因爲數學直達問題的本質，去掉了與問題無關的元素，所以數學纔會變的越來越抽象，而抽象的好處就在於讓數學有了更強的通用性，比如知道2+2=4，我們可以知道2根香蕉加上2根香蕉的結果是4根香蕉。同樣的，將問題換成梨子或者別的什麼東西我們也能很快得到結論。 抽象還讓我們可以更好的表達某個規律，比如我們知道一個機器做某種運算，我們輸入1和2，它會吐出3。我們輸入2和3，它會吐出5。通過這種描述我們無法完整的表達這個機器吞進去的參數和吐出的結果之間的關係，因爲這樣的數我們永遠也列不完。但是如果我們用c表示結果，用x和y表示參數，那麼我們就可以使用c=x+y來總結這個機器的運行規律。這就是抽象的力量，可以通過一個簡單的公式替代所有的數字組合。 總而言之，我認爲數學就好像我平時思考問題時用的作圖工具，它可以幫助我們簡化問題和理清思路。如果我們掌握了數學，我們就多了一種解決問題的工具，這是一種巨大的優勢！就目前來說，我解決問題的工具箱包括：AI，數學，畫圖，谷歌，請教專業人士。 4.讓我意識到了數學爲什麼要有公理，公理就是那些我們無法證明，但是我們相信它一定成立的。公理就好像樂高積木，然後我們看看使用這些樂高積木能夠搭出什麼東西來，我們搭出來的東西就是定理。公理之所以有存在的必要性是因爲如果沒有公理，我們就無法通過邏輯推理得到任何有用結論，我們把這些有用的結論稱作爲定理。 5.讓我意識到了數學爲什麼那麼重視證明過程，那是因爲數學的證明過程就是爲了說服其他數學家相信我們得出的結論。

這是2021年讀到的第2本令我有跪感的書（另一本是《愛的博弈》）。這本書的作者是劍橋大學的數學博士，本書最大的特色是每一章都從一道甜品的食譜切入，用比喻、逸事及學術語言之外的其他方法，把數學中的概念“翻譯”給讀者，把那些枯燥難懂、極其抽象的數學概念變得形象生動可感知。 讀完這本書，我才第一次感知到用數學思維看待生活是多麼有趣。數學這門學科存在的意義，就是把複雜困難的事情變簡單。上學時學到的數學知識，讓我以爲數學就是解方程式，事實上遠非如此。 最後一章關於“真理”的討論部分，讓我尤其激動。作者說真理有三種形式或者三個方面：知道、理解、相信。有些事物，是我們知道並理解且相信的；有些事物，是我們知道並相信，但並不理解的，比如我並不理解重力如何起作用，但我知道並且相信重力一直在起作用。 書中有這麼一句話，“數學研究的目的不只是說服我們自己這些事情成立，我們的最終目的是增進我們對周圍世界的認識，而不僅僅是堆積只能存在於我們自己頭腦裏的那些知識。” 由此我想到，我們讀書的目的不能止步於“知道”那些我們過去不知道的事物，而應該努力從“知道”走到“理解”，理解是通往“相信”的橋樑，而擁有了“相信的力量”，才能使我們的認知和行動真正發生改變。

當我只關注有什麼用、怎麼用的時候，我就把怎麼生長、怎麼發現交託給、依賴於老師了。 同時，數學有太多的疊牀架屋：在底下幾層，還可以靠自己發現、生長，但很快就需要大量記憶前人的成果，因爲這些基礎“元塊”(lego, block,公理)的排列組合迅速增加。這時候，僅憑“第一性”就會被累死。 “元塊”的排列組合、旁徵博引、觸類旁通，恰恰是數學家功夫！ 鄭博士帶領我們看了好多“元塊”，而真功夫是看不來的，要肌肉記憶。 多講無益，數學的確是難，普通人對此的感受是一致的。 其難在於越來越抽象，離具體生活越來越遠。爲了對抗這一點，“有什麼用、怎麼用”就像路燈，可以帶我回家。 感謝鄭樂雋博士，幫助我們記得回家的總圖。 又：“不談論數學的研究方法，而只討論數學的研究對象，我們就無法理解數學究竟是什麼” 這是此書的目的與精華：怎樣研究數學！ 總之，此書是數學家的研究心法！九陽真經！

數學不是尋求創意或差異性，而是找共性，找客體規律或捷徑，找到模型的一門學問。邏輯推理或範疇論。比如0不是一個客體，比如沒有絕對的正方形，而數學創造了一個絕對理念的模型世界，以解決問題。最後，數學是簡單的，而生活是複雜的。數學只是幫助我們理解問題，而追求真理需要自身的熱情。 數學是運用邏輯規則，對所有符合邏輯規則的事物進行的研究。 抽象是數學研究的重要的第一步。這也是一個會讓你感到有些不適的步驟，因爲它讓你離現實遠了一些 “簡單化”和“過度簡化”有一個微妙的差別：後者意味着你想錯了，而且忽略了重要的問題。 抽象好像會帶着你逐步遠離現實，但實際上，它會帶領你逐步貼近事物的本質或核心。要抵達核心，你就必須剝離衣服、皮肉和骨頭。 抽象也是數學看起來遠離“實際生活”的原因所在。這種與實際生活的疏遠正是數學發揮其優勢的地方，同時也是它的侷限性所在。每一層次的抽象都使得數學更加遠離實際生活，也使得解釋它與實際生活的關聯變得更加困難，因爲這種關聯有一種多米諾骨牌效應——抽象的數學也許不能直接應用於實際生活， 數學世界的美妙就在於，一旦你想象出一個數學概念，它就真正在這個世界中存在了。你的想象力越豐富，你就越有機會探索更多的數學領域。另一個我們很熟悉的抽象概念是形狀 數學是簡單的，生活是複雜的，因此數學不是生活。 知識不再是祕密，但理解仍然是祕密，至少在數學領域裏仍是如此。各個學力水平的學生都只被教授了規則，而沒有被告知原因。我們鼓勵孩子們問爲什麼——但只鼓勵到某個階段，因爲過了那個階段，我們自己可能也不理解了

必須五顆星，給我啓發很大，是我畫線筆記最多的一本書。讓我對數學有了新的理解，尤其是範疇論那一塊，還有內在動機和外在動機之間還有一箇中間層。作者的水平真實高，用通俗的語言、比喻，清晰說明白複雜的事情，現在特別欣賞和羨慕這個能力。書中還有很多做作者自己的理解和感悟，都很有思想啓發。如果說現在互聯網時代，知識隨處可見、隨處可學，那麼最核心的能力就是理解力，就是規則和定理背後的“爲什麼”，知道什麼不重要，研究“爲什麼”顯得視野更寬闊，理解層次更深，就像書中核心，範疇論是研究數學的數學，是把表象一步步拆掉，依賴資源最少的底層架構，尋找不同情境下可以共用的理論。猶如文中所說的範疇論是研究兩座城市的管理、技術、實施是否可以直接遷移複用的問題，剝去一層層外皮後，就像水電一樣的基礎實施，身邊隨處可見，以至於我們忽略它，數據學家就是不斷簡練它們，把複雜問題分解，挖掘更多的數學基礎設施。

⭐️⭐️⭐️ 對數學的重新思考，大有裨益，但analogies不夠那麼絲滑，觀點的“反覆強調”很明顯，部分內容是錯誤的，但根據查閱再版的英文原文，確認作者是做了校正的👍 第一部分，值得反覆品味，第二部分範疇論，即數學的數學，似乎是抽象的抽象，當作對第一部分結構的重新梳理，或許更有閱讀意義。 個人的總結和思考🤔（僅代表個人觀點） 1. 數學是抽象的。 四個典型的抽象轉換角度： * 數字➡️字母 * 微積分，推理無窮小∞ * 數字➡️圖像 * 數字➡️關係 ** 微積分：更接近真實世界🌎的本質，萬物都是在以某種速率波動變化着的； **➡️圖像：調用🧠裏的視覺思維，讓海馬體更加活躍，突觸連接🔗更頻繁和牢固，從而記憶更加牢固和系統 **➡️關係：即範疇論的主要研究scope 2. 數學是重結果更重過程的。 * 通過內在動機研究數學🧐： ** 💡定目標🎯🙋—>找原料🧱—>理原料之間的關係📇—>造機器⚙️—>加工原料⚙️🧱—>產出作品🖼️—>達成目標🎯 * 公理化和原理： ** 💡挖掘原理，是目標🎯；公理化，是暫且被認定爲公認的可用作數學基本配料的事物，這時就被視爲原理，直到被證僞。 3. 觸及真理的三位一體： 知道🤷‍♀️—>理解🫡—>相信🙆‍♀️ * 知道：已不是㊙️，這是個“知道”可以輕鬆獲取的時代 * 理解：核心是WHY⁉️ * 相信：你的相信不要🙅試圖直接➡️他人的相信；反之，他人的相信不應當🙅直接成爲➡️你的相信。前者需要引導，跨過“理解的橋樑”，後者需要質疑，打通“理解的隘口” 4. 數學和道德經在本書中打通了，👍： “All difficult things have their origin in that which is easy, and great things that which is small.”